数学中考复习专题二次函数压轴题.docx
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数学中考复习专题二次函数压轴题
2017年中考数学冲刺复习资料:
二次函数压轴题
面积类
【例1】.如图1,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在
(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?
若存在,求m的值;若不存在,说明理由.【考点:
二次函数综合题.专题:
压轴题;数形结合.】
【巩固1】.如图2,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.
【考点:
二次函数综合题.专题:
压轴题;转化思想.】
平行四边形类
【例2】.如图3,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
等腰三角形类
【例3】.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.【考点:
二次函数综合题.专题:
压轴题;分类讨论.】
【巩固3】.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(﹣1,0),如图所示:
抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
规律探索类
【例4】如图,已知点A、A、A、A…、A在x轴的正半轴上,且横坐标依次为连续的正整数,过点A、A、A、A…、A分别作x轴的垂线,交抛物线y=x+x于点B、B、B3、B…、B,交过点B1的直线y=2x于点C、C、C…、C。
若△BCB、△BCB、△B3CB…、△BCB的面积分别为S、S、S、…、S。
⑴求S-S与S-S的值;⑵猜想S-S与n的数量关系,并说明理由;
⑶若将抛物线“y=x+x”改为“y=x+bx+c”,直线“y=2x”改为“y=(b+1)x+c”,其它条件不变,请猜想S-Sn-1与n的数量关系(直接写出答案)。
综合类
【例5】.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5).
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;
(3)在
(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
【考点:
二次函数综合题.专题:
压轴题.】
【巩固6】.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:
△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:
在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
2017年中考数学冲刺复习资料:
二次函数压轴题【参考答案】
【例题1】考点:
二次函数综合题.专题:
压轴题;数形结合.
分析:
(1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长.
(3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:
S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB,MN的表达式在
(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值.
解答:
(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣3),则:
a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;
∴抛物线的解析式:
y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.
(2)设直线BC的解析式为:
y=kx+b,则有:
,解得;故直线BC的解析式:
y=﹣x+3.
已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).
(3)如图2;∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB,
∴S△BNC=(﹣m2+3m)•3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);
∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.
【巩固1】【考点:
二次函数综合题.专题:
压轴题;转化思想.】
分析:
(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.
解答:
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣x﹣2.
(2)由
(1)的函数解析式可求得:
A(﹣1,0)、C(0,﹣2);∴OA=1,OC=2,OB=4,
即:
OC2=OA•OB,又:
OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB,得:
∠OCA=∠OBC;∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:
(,0).
(3)已求得:
B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:
y=x﹣2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:
y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:
x+b=x2﹣x﹣2,即:
x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;∴直线l:
y=x﹣4.
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:
,解得:
即M(2,﹣3).
过M点作MN⊥x轴于N,S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
【例2】考点:
二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定..
专题:
压轴题;存在型.
分析:
(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:
把A(3,0)B(0,﹣3)分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,然后根据二次函数的最值得到;
当t=﹣=时,PM最长为=,再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可;
(3)由PM∥OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:
当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能;当P在第一象限:
PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;当P在第三象限:
PM=OB=3,t2﹣3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.
解答:
解:
(1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得
解得,所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3.设直线AB的解析式是y=kx+b,
把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得,解得,所以直线AB的解析式是y=x﹣3;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),因为p在第四象限,
所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,
当t=﹣=时,二次函数的最大值,即PM最长值为=,
则S△ABM=S△BPM+S△APM==.
(3)存在,理由如下:
∵PM∥OB,
∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,
①当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3.
②当P在第一象限:
PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,解得t1=,t2=(舍去),所以P点的横坐标是;
③当P在第三象限:
PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=(舍去),t2=,所以P点的横坐标是.所以P点的横坐标是或.
【例题3】分析:
(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标.
(2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)根据
(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、B坐标已知,可先表示出△OPB三边的边长表达式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点.
解答:
解:
(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°,
∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,
又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=4×=2,∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);
(2)∵抛物线过原点O和点A、B,∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得,解得,
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
(3)存在,如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y=±2,
当y=2时,在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD==,∴∠POD=60°,∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三点在同一直线上,
∴y=2不符合题意,舍去,∴点P的坐标为(2,﹣2)
②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,解得y=﹣2,故点P的坐标为(2,﹣2),
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,解得y=﹣2,故点P的坐标为(2,﹣2),
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2),
【例题5】【考点:
二次函数综合题.专题:
压轴题.】
分析:
(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线BC的解析式;同理,将B(5,0),C(0,5)两点∑的坐标代入y=x2+bx+c,运用待定系数法