大学《高等数学》知识点梳理全册.docx
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大学《高等数学》知识点梳理全册
大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一.数列函数:
1.类型:
（1）数列:
*;*
（2）初等函数:
（3）分段函数:
*;*;*
（4）复合（含）函数:
（5）隐式（方程）:
（6）参式（数一,二）:
（7）变限积分函数:
（8）级数和函数（数一,三）:
2.特征（几何）:
（1）单调性与有界性（判别）;（单调定号）
（2）奇偶性与周期性（应用）.
3.反函数与直接函数:
二.极限性质:
1.类型:
*;*（含）;*（含）
2.无穷小与无穷大（注:
无穷量）:
3.未定型:
4.性质:
*有界性,*保号性,*归并性
三.常用结论:
,,
,,,
四.必备公式:
1.等价无穷小:
当时,
;;;
;;;
;
2.泰勒公式:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）.
五.常规方法:
前提:
（1）准确判断（其它如:
）;
（2）变量代换（如:
）
1.抓大弃小,
2.无穷小与有界量乘积（）（注:
）
3.处理（其它如:
）
4.左右极限（包括）:
（1）;
（2）;;（3）分段函数:
,
5.无穷小等价替换（因式中的无穷小）（注:
非零因子）
6.洛必达法则
（1）先”处理”,后法则（最后方法）;（注意对比:
与）
（2）幂指型处理:
（如:
）
（3）含变限积分;
（4）不能用与不便用
7.泰勒公式（皮亚诺余项）:
处理和式中的无穷小
8.极限函数:
（分段函数）
六.非常手段
1.收敛准则:
（1）
（2）双边夹:
*,*
（3）单边挤:
***
2.导数定义（洛必达?
）:
3.积分和:
4.中值定理:
5.级数和（数一三）:
（1）收敛,（如）
（2）,
（3）与同敛散
七.常见应用:
1.无穷小比较（等价,阶）:
*
（1）
（2）
2.渐近线（含斜）:
（1）
（2）,（）
3.连续性:
（1）间断点判别（个数）;
（2）分段函数连续性（附:
极限函数,连续性）
八.上连续函数性质
1.连通性:
（注:
“平均”值:
）
2.介值定理:
（附:
达布定理）
（1）零点存在定理:
（根的个数）;
（2）.
第二讲:
导数及应用（一元）（含中值定理）
一.基本概念:
1.差商与导数:
;
（1）（注:
连续））
（2）左右导:
;
（3）可导与连续;（在处,连续不可导;可导）
2.微分与导数:
（1）可微可导;
（2）比较与的大小比较（图示）;
二.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;（注:
）
2.法则:
（1）四则运算;
（2）复合法则;（3）反函数
三.各类求导（方法步骤）:
1.定义导:
（1）与;
（2）分段函数左右导;（3）
（注:
求:
及的连续性）
2.初等导（公式加法则）:
（1）,求:
（图形题）;
（2）,求:
（注:
）
（3）,求及（待定系数）
3.隐式（）导:
（1）存在定理;
（2）微分法（一阶微分的形式不变性）.
（3）对数求导法.
4.参式导（数一,二）:
求:
5.高阶导公式:
;;
;
注:
与泰勒展式:
四.各类应用:
1.斜率与切线（法线）;（区别:
上点和过点的切线）
2.物理:
（相对）变化率速度;
3.曲率（数一二）:
（曲率半径,曲率中心,曲率圆）
4.边际与弹性（数三）:
（附:
需求,收益,成本,利润）
五.单调性与极值（必求导）
1.判别（驻点）:
（1）;;
（2）分段函数的单调性
（3）零点唯一;驻点唯一（必为极值,最值）.
2.极值点:
（1）表格（变号）;（由的特点）
（2）二阶导（）
注
（1）与的匹配（图形中包含的信息）;
（2）实例:
由确定点“”的特点.
（3）闭域上最值（应用例:
与定积分几何应用相结合,求最优）
3.不等式证明（）
（1）区别:
*单变量与双变量?
*与?
（2）类型:
*;*
*;*
（3）注意:
单调性端点值极值凹凸性.（如:
）
4.函数的零点个数:
单调介值
六.凹凸与拐点（必求导!
）:
1.表格;（）
2.应用:
（1）泰勒估计;
（2）单调;（3）凹凸.
七.罗尔定理与辅助函数:
（注:
最值点必为驻点）
1.结论:
2.辅助函数构造实例:
（1）
（2）
（3）
（4）;
3.有个零点有个零点
4.特例:
证明的常规方法:
令有个零点（待定）
5.注:
含时,分家!
（柯西定理）
6.附（达布定理）:
在可导,,,使:
八.拉格朗日中值定理
1.结论:
;（）
2.估计:
九.泰勒公式（连接之间的桥梁）
1.结论:
;
2.应用:
在已知或值时进行积分估计
十.积分中值定理（附:
广义）:
[注:
有定积分（不含变限）条件时使用]
第三讲:
一元积分学
一.基本概念:
1.原函数:
（1）;
（2）;（3）
注
（1）（连续不一定可导）;
（2）（连续）
2.不定积分性质:
（1）;
（2）;
二.不定积分常规方法
1.熟悉基本积分公式
2.基本方法:
拆（线性性）
3.凑微法（基础）:
要求巧,简,活（）
如:
4.变量代换:
（1）常用（三角代换,根式代换,倒代换）:
（2）作用与引伸（化简）:
5.分部积分（巧用）:
（1）含需求导的被积函数（如）;
（2）“反对幂三指”:
（3）特别:
（*已知的原函数为;*已知）
6.特例:
（1）;
（2）快速法;（3）
三.定积分:
1.概念性质:
（1）积分和式（可积的必要条件:
有界,充分条件:
连续）
（2）几何意义（面积,对称性,周期性,积分中值）
*;*
（3）附:
）
（4）定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重
2:
变限积分的处理（重点）
（1）可积连续,连续可导
（2）;;
（3）由函数参与的求导,极限,极值,积分（方程）问题
3.公式:
（在上必须连续!
）
注:
（1）分段积分,对称性（奇偶）,周期性
（2）有理式,三角式,根式
（3）含的方程.
4.变量代换:
（1）,
（2）（如:
）
（3）,
（4）;,
（5）,
5.分部积分
（1）准备时“凑常数”
（2）已知或时,求
6.附:
三角函数系的正交性:
四.反常积分:
1.类型:
（1）（连续）
（2）:
（在处为无穷间断）
2.敛散;
3.计算:
积分法公式极限（可换元与分部）
4.特例:
（1）;
（2）
五.应用:
（柱体侧面积除外）
1.面积,
（1）
（2）;
（3）;（4）侧面积:
2.体积:
（1）;
（2）
（3）与
3.弧长:
（1）
（2）
（3）:
4.物理（数一,二）功,引力,水压力,质心,
5.平均值（中值定理）:
（1）;
（2）,（以为周期:
）
第四讲:
微分方程
一.基本概念
1.常识:
通解,初值问题与特解（注:
应用题中的隐含条件）
2.变换方程:
（1）令（如欧拉方程）
（2）令（如伯努利方程）
3.建立方程（应用题）的能力
二.一阶方程:
1.形式:
（1）;
（2）;（3）
2.变量分离型:
（1）解法:
（2）“偏”微分方程:
;
3.一阶线性（重点）:
（1）解法（积分因子法）:
（2）变化:
;
（3）推广:
伯努利（数一）
4.齐次方程:
（1）解法:
（2）特例:
5.全微分方程（数一）:
且
6.一阶差分方程（数三）:
三.二阶降阶方程
1.:
2.:
令
3.:
令
四.高阶线性方程:
1.通解结构:
（1）齐次解:
（2）非齐次特解:
2.常系数方程:
（1）特征方程与特征根:
（2）非齐次特解形式确定:
待定系数;（附:
的算子法）
（3）由已知解反求方程.
3.欧拉方程（数一）:
令
五.应用（注意初始条件）:
1.几何应用（斜率,弧长,曲率,面积,体积）;
注:
切线和法线的截距
2.积分等式变方程（含变限积分）;
可设
3.导数定义立方程:
含双变量条件的方程
4.变化率（速度）
5.
6.路径无关得方程（数一）:
7.级数与方程:
（1）幂级数求和;
（2）方程的幂级数解法:
8.弹性问题（数三）
第五讲:
多元微分与二重积分
一.二元微分学概念
1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续（必要条件与充分条件）,
（1）
（2）
（3）（判别可微性）
注:
点处的偏导数与全微分的极限定义:
2.特例:
（1）:
点处可导不连续;
（2）:
点处连续可导不可微;
二.偏导数与全微分的计算:
1.显函数一,二阶偏导:
注:
（1）型;
（2）;（3）含变限积分
2.复合函数的一,二阶偏导（重点）:
熟练掌握记号的准确使用
3.隐函数（由方程或方程组确定）:
（1）形式:
*;*（存在定理）
（2）微分法（熟练掌握一阶微分的形式不变性）:
（要求:
二阶导）
（3）注:
与的及时代入
（4）会变换方程.
三.二元极值（定义?
）;
1.二元极值（显式或隐式）:
（1）必要条件（驻点）;
（2）充分条件（判别）
2.条件极值（拉格朗日乘数法）（注:
应用）
（1）目标函数与约束条件:
（或:
多条件）
（2）求解步骤:
求驻点即可.
3.有界闭域上最值（重点）.
（1）
（2）实例:
距离问题
四.二重积分计算:
1.概念与性质（“积”前工作）:
（1）,
（2）对称性（熟练掌握）:
*域轴对称;*奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;
（3）“分块”积分:
*;*分片定义;*奇偶
2.计算（化二次积分）:
（1）直角坐标与极坐标选择（转换）:
以“”为主;
（2）交换积分次序（熟练掌握）.
3.极坐标使用（转换）:
附:
;;
双纽线
4.特例:
（1）
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