高等数学2下册试题答案以及复习要点汇总.docx

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高等数学2下册试题答案以及复习要点汇总

高等数学2（下册）试题答案以及复习要点汇总（完整版）

高等数学

（2）试题答案以及复习要点汇总

一.选择题（每题3分,共15分）

231.设f（x,y）具有一阶连续偏导数，若f（x,x）=x，fx（x,x）=x-2x，则

2fy（x,x）=[A]224

（A）x+x3；（B）2x2+2x4；（C）x2+x5；（D）2x+2x2。

解：

选A。

f（x,x2）=x3两边对x求导：

fx（x,x2）+fy（x,x2）×2x=3x2，将fx（x,x2）=x2-2x4代入得

x2-2x4+2xfy（x,x2）=3x2，故fy（x,x2）=x+x3。

2．已知（axy3-y2cosx）dx+（1+bysinx+3x2y2）dy为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为[C]

（A）–2和2；（B）–3和3；

（C）2和–2；（D）3和–3；

解：

选C。

¶Q¶P=bycosx+6xy2==3axy2-2ycosxb=-2,a=2¶x¶y

3.设∑为曲面z=2－（x2+y2）在xoy平面上方的部分，则I=òòzdS=[D]

S

（A）òdqò2p

（B）ò0

（C）ò0

。

02p2p（D）ò02p（2-r+4rrdr；dqò（2-r+4rrdr；dqò（2-r）rdr；dqò（2-r1+4rrdr2-r222022202202220

解：

选D。

I=òdqò02p20（2-r2+4r2rdr。

4.设有直线L:

íìx-y-4z+1=0，曲面z=x2-y2+z2在点（1,1,1）处的切平面Õ，则îx+y-3=0

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第1页共65页

直线L与平面P的位置关系是：

[C]

（A）LÌÕ；（B）L//Õ；（C）L^Õ；（D）L与Õ斜交。

解：

选C。

ijkv曲面F（x,y,z）=x2-y2+z2-z=0在L的方向向量s=1-1-4={4,-4,2}，

110

v¶F¶F¶Fvv点（1,1,1）处的切平面Õ的法向量n=,,（1,1,1）={2,-2,1}。

由于n//s，¶x¶y¶z

因此L^Õ。

225.设f（x,y）=x+2y+y+x-y+1，则下面结论正确的是[B]

11（A）点（-，-）是f（x,y）的驻点且为极大值点；22

11（B）点（-，-）是极小值点；22

（C）点（0，0）是f（x,y）的驻点但不是极值点；

（D）点（0，0）是极大值点。

。

解：

选B。

二.填空题（每题3分,共15分）

1．设z=ln（xy），则x

解：

1¶z¶z+y=。

¶x¶y1或。

zln（xy）

y（x2+y2）u=e2．函数，则du=。

）[2xydx+（x2+3y2）dy]。

y=4ìï3.曲线íx2+y2在点（2,4,5）处的切线方程。

z=ï4î

x-2y-4z-5解：

切线方程。

==101

32234．设L是圆周x2+y2=a2（a>0）负向一周,则曲线积分（x-xy）dx+（xy-y）dy=_______。

L解：

du=ey（x2+y2

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第2页共65页

解：

曲线积分（x-xy）dx+（xy-y）dy＝-

3

2

2

3

L

pa4

2

。

5．交换二次积分的次序：

òdy0

1

2-y2y

f（x,y）dx=。

2

2-x2

解：

òdy0

1

2-y2f（x,y）dx=òdxò

1

x2

f（x,y）dy+òdxò

1

f（x,y）dy。

三.求解下列各题（每题8分，共16分）

¶2z¶z

1．设z=f（esiny,x+y），f具有二阶连续偏导数，求及。

¶y¶x¶y

¶zx

=ecosy×f1+2yf2（2分）

¶y¶z

=exsiny×f1+2xf2（2分）¶x¶2z

=excosy×f1+exsiny×（f11excosy+2yf12）+2x（f21excosy+2yf22）¶x¶y

（2分）=excosy×f1+f11e2xsinycosy+2yexsinyf12+2xf21excosy+4xyf22

x

2

2

=excosy×f1+e2xsinycosy×f11+2ex（xcosy+ysiny）f12+4xyf22（2分）

xy

2．设函数F（x,y）具有一阶连续偏导数，z=z（x,y）是由方程F（,）=0所确

zz

¶z¶z

定的隐函数，试求表达式x+y。

¶x¶y

xy

解法一：

方程F（,）=0两端对x求导：

zz

z-xzxyzxzF1zF2

F-F=0Þz=z=，同理可求，6分）12xy22

zzxF1+yF2xF1+yF2

¶z¶z

Þx+y=z。

（2分）

¶x¶y

xy111

解法二：

令u（x,y,z）=F（,），则ux=F1,uy=F2，uz=-2[xF1+yF2],

zzzzz

（3分）

uyuzF2zF1

（3分），zy=-=于是，zx=-x=

uzxF1+yF2uzxF1+yF2

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第3页共65页

Þx¶z¶z+y=z（2分）¶x¶y

四．计算下列各题（每题8分，共32分）

1．计算积分I=

x2+y2£x+yòò（x+y）dxdy。

解：

极坐标：

令x=rcosq,y=rsinq，则

I=òpdqò-43p4sinq+cosq0r2（sinq+cosq）dr（3分）

3p14（sinq+cosq）4dq（2分）=òp3-4

14p（1+sin2q+sin22q）dq=（3分）=òp3-42

3p

2．计算三重积分òòòzdv，其中W为曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的闭

W

区域。

解：

联立W的两曲面方程，得交线：

x2+y2=1，（z=1）；

投影柱面：

x2+y2=1；W在xoy面的投影域为：

Dxy:

x2+y2£1（z=0），用柱面坐标：

W：

0£r£1,0£q£2p,r2£z£2-r2,（2分）

2p12-r2

òòòzdv=òòòz×rdrdqdz==òWW0dqòdrò20rr×zdz（2分）

=2p×òrdr×12-r2-r4（2分）02

17p（2分）=p×ò（2r-r3-r5）dr=0121（）

3．计算曲线积分

解：

设ò（eLxsiny-8ydx+excosy-8dy，其中L是由点A（a，0）到点22）（）O（0，0）的上半圆周x+y=ax（y³0,a>0）P（x）=exsiy-n8y,Q（x）=excoy-s8，由格林公式得到¶Q¶P-=excosy-excosy+8=8¶x¶y

L+OA（exsiny-8ydx+excosy-8=）（¶Q¶Pöç）òòæç¶x-¶y÷÷dxdy=8òòèøDDdxdy=pa2（4分）

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第4页共65页

I=

L+OA-OA

Sòæ¶Q¶Pö=òòçç¶x-¶y÷÷dxdy-ò=øDèOAòò8dxdy-0=paD2（4分）4．计算òò（x+y+z）dS，其中曲面S为球面x2+y2+z2=a2上z³h（0

分。

解：

曲面S的方程为z=a-x2-y2，其在xoy坐标面上的投影区域D为：

x2+y2£a2-h2，

+（zx）2+（zy）2=a

a-x2-y2

D，（3分）a-x2-y2dsòòS（x+y+z）dS=òò（x+y+a-x2-y2）

=òòa（x+y）

a2-x2-y2Dds+òòDads（3分）由积分区域和被积函数的对称性得òòa（x+y）

a2-x2-y2Dds=0，且

òòads=ap（a-h），

所以òò（x+y+z）dS=ap（aDS222-h2）。

（2分）

1n五．（8分）求幂级数å（n+）x的和函数，并求数项级数nn=1

¥¥n2+11n（）的和。

ån2n=1¥n2+1n¥n¥1nx=ånx+åx（2分）解：

ånn=1n=1n=1n

¥¥1n-1＝xånx+åxn

n=1n=1n

＝xå（x）¢+åòxn-1dx（2分）n

n=1n=10¥¥x

x11＝x（-1）¢+ò01-x1-x

x-ln（1-x）（-1

1取x=，得2

n2+11n（）=2+ln2。

（2分）ån2n=1¥

六．（8分）求解微分方程y¢¢-3y¢+2y=e（1-2x）。

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第5页共65页x

解：

对应齐次微分方程的特征方程为：

r2-3r+2=0（2分）

故特征根r1=1,r2=2，从而齐次微分方程的通解为：

=C1ex+C2e2x（2分）令非齐次方程特解为：

y*=xex（Ax+B）

代入方程解得A=B=1，于是特解为

y*=xex（x+1）（2分）

则原方程通解为：

y=+y*=C1ex+C2e2x+xex（x+1。

（2分）

七．（6分）某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为C=400+2x+3y+0.01（3x2+xy+3y2）（万元），又已知两种产品的总产量为100件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。

解：

因为企业获得的总利润G应为总收入R=10x+9y与总成本C之差，因此这一问题的数学模型应描述如下：

maxG=10x+9y-400-2x-3y-0.01（3x2+xy+3y2）（3分）s..tx+y=100

这是有条件极值问题，利用Lagrange乘数法，令

L（x,y,l）=10x+9y-400-2x-3y-0.01（3x2+xy+3y2）+l（x+y-100）

求L对各个变量的偏导数，并令它们都等于0,得

ìLx=10-2-0.06x-0.01y+l=0ïíLy=9-3-0.06y-0.01x+l=0（3分）ïîLl=x+y-10=0

解上述方程组得到唯一驻点（70,30），依题意知所求最大利润一定存在。

故当产品甲产量为70件，产品乙产量为30件时企业获得最大利润。

二.选择题（每题3分,共15分）

ìxy22,x+y¹0ï221.函数f（x,y）=íx+y在原点（0，0）处间断，是因为：

[]

ï0,x2+y2=0î

（A）函数f（x,y）在原点无定义；（B）函数f（x,y）在原点无极限；

（C）在原点极限存在，但该点无定义；（D）在原点极限存在，但不等于它的函数值。

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第6页共65页

选B。

2.曲面e-z+xy=3在点（2，1，0）处的切平面方程是：

[]

（A）2x+y-4=0；（B）2x+y-z-4=0；

（C）x+2y-4=0；（D）2x+y-5=0。

选C。

x2+y2

3.旋转抛物面z=1+在1£z£2部分的曲面面积S为:

[]2z

（A）

（C）

x2+y2£2òò-x2-y2dxdy；（B）（D）x2+y2£2òò+x2+y2dxdy；+x2+y2dxdy。

x2+y2£4òò-x2-y2dxdy；x2+y2£4òò

选B。

4.若幂级数åa

n=1¥n的收敛半径是2，则的收敛半径为：

[]（2x）axånnnn=1¥

（A）2；（B）1；

（C）2；（D）4。

选D。

2xt5.若连续函数f（x）满足f（x）=òf（）dt+ln2，则f（x）等于[]02

（A）e2xln2；（B）exln2；

2x（C）e+ln2；（D）e

选A。

二.填空题（每题3分,共15分）

2x+ln2。

¶z¶z+x=。

¶x¶y

¶f1¶f¶fx¶fx+）dx+（x-2）dy。

2．设z=f（u,v）可微，其中u=xy,v=，dz=（y¶uy¶v¶uy¶vy1.设z=y+f（u），其中u=x-y,f（u）为可微函数，则y2

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第7页共65页

ìx2+y2

pïz=3．曲线í4在点（2，4，5）处的切线与x轴所夹锐角a=。

ïy=4î

4．交换二次积分的次序：

222òdyò0222yy2f（x,y）dx=òdxòxf（x,y）dy。

024x5.若S为x+y+z=R的外侧，且cosa,cosb,cosg是其外法线向量的方向余弦，则注：

xcosa+ycosb+zcosg=。

222x+y+zSxcosa+ycosb+zcosg=222x+y+zS

1

R21xdydz+ydzdx+zdxdy=2RS1433dV=´3´R=2òòòR3V

三.求解下列各题（每题8分，共16分）

¶2z¶2z¶2z,1．设z=f（xy,y），其中f具有二阶连续偏导数，求2,。

¶x¶x¶y¶y2

¶z¶z=yf1¢,=xf1¢+f2¢,，（2分）解：

¶x¶y

¶2z2¢¢（2分）=yf112¶x

¶2z¢¢+f12¢¢）（2分）=f1¢+y（xf11¶x¶y

¶2z¢¢+f12¢¢）+xf21¢¢+f22¢¢=x2f11¢¢+2xf12¢¢+f22¢¢（2分）=x（xf112¶y

2．设xu-yv=0,yu+xv=1,求¶u¶v22和（已知x+y¹0）。

¶x¶x

解：

将所给方程两边对x求导并移项，得

¶vì¶ux-y=-u,ïï¶x¶x（4分）íïy¶u+x¶v=-v,ï¶xî¶x

22由已知x+y¹0，可得

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第8页共65页

-u-y

¶u-vxxu+yv==-2，（2分）2x-y¶xx+y

yx

x-u

¶vy-vyu-xv==2。

（2分）2¶xx-yx+y

yx

四．计算下列各题（每题8分，共32分）

1．计算二重积分2222x+y£a（a>0）。

，其中：

（x+y）dxdyDòòD

解：

利用极坐标变换

òò（x+y）

D2dxdy=òò（rcosq+rsinq）rdrdq（3分）D2

=òr3drò（1+2sinqcosq）dq（3分）00a2p

1=pa4（2分）2

2．计算三重积分òòòWx2+y2+z2dv其中W为球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域。

解：

应用球面坐标计算。

x2+y2+z2=z即为r2=rcosjÞr=cosj，则

òòò

＝Wx+y+zdv=ò2p2222p0pdqò2djò0cosj0r2×rsinjdr（3分）1dqò2sinjcos4jdj（3分）004

p＝-1×1×2p×cos5j2=p（2分）0pò4510

3．计算Lex2+y2222ds,其中L为圆周x+y=a（a>0）,直线y=x及x轴在第一象限

（2分）0a

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第9页共65页

弧AB：

x=acost,y=asint，0£t£所以òÇe

AB

x2+y2

p4

，xt¢2+yt¢2=a，

p

ds=ò4eaadt=aea

p

4

；（2分）

2

线段OB：

所以ò综上，

y=x，0£x£

e

x2+y2

a

a2

2x

，+y¢x=2，

2dx=ea-1。

（2分）

OB

ds=

ò0

2

e

x

L

e

x2+y2

ds＝ea（2+

ap

）-2。

（2分）4

2

4．计算曲面积分

òò

S

zdxdy+xdydz+ydzdx,其中S是柱面x

+y2=1被平面z=0及z=3所

截得的在第一卦限（2分）同理，曲面S在xoy坐标面上的投影区域Dxz为0£x£1,0£z£3,

òò

S

ydxdz=

òò

Dxz

-x2dxdz=dz

0òò

31

-x2dx=3×

p

4

;（2分）

故，òòzdxdy+xdydz+ydzdx=2·3×

S

p

4

=

3p

。

（2分）2

x2n-1

五．（8分）求幂级数å（-1

2n-1n=1

¥

1

å2n-

12

n=1

¥

n

的

和。

解：

在（-1，1）上，令

352n-1¢2n-1¢¥¥¥2n-1¥æöæöxxxx1（3分）x2n-2s（x）=x+++L=å¢ç÷ç÷,s（x）===x=çå2n-1÷åç2n-1÷å1-x2n=12n-1n=1èèn=1øøn=1

上式两边积分得：

x2n-1

=s（x）=å2n-1n=1

¥

11ln1+x（-1

å

1n=12n-12

¥

=å

n

=1

¥

1

（2n-1）

（2）

2n-1+1

=

1

1=lnæ1ö÷sç=ç÷2è2ø

1

）

（2分）

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（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第10页共65页

六．（8分）求微分方程y¢¢+y¢+sin2x=0满足初始条件yx=p=1,y¢x=p=1的特解。

解：

对应齐次微分方程的特征方程为：

故特征根

因r2+r=0r1=0，r2=-1从而齐次微分方程的通解为：

（2分）=c1+c2e-x（2分）2i不是特征根，故可令非齐次方程特解为：

y*=Acos2x+Bsin2x

11代入方程解得A=，B=于是原方程通解为：

105

11y=c1+c2e-x+cos2x+sin2x（2分）105

3p3代入初始条件得c2=-e，c1=52

33p-x11所以满足初始条件的特解为：

y=-ee+cos2x+sin2x。

（2分）25105

七．（6分）证明：

Ledx+xdy=2py2，其中L是4x2+y2=8x正向一周。

解：

因曲线为封闭曲线，P,Q满足Green公式条件，从而直接应用Green公式有：

¶Q¶Py2-）dxdy=òò（1-2ye）dxdy（2分）原式＝òò（¶x¶yDD

y＝òòdxdy-òò2yedxdy（1分）

DD2

＝p×1×2-0（2分）＝2p（1分）

高等数学试卷1

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高等数学2

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高等数学试卷3

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高等数学试卷4

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2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第33页共65页

考试日期:

2007年7月9日星期一高等数学

（2）期末B卷答案及评分标准120分钟第34页共65页

高等数学试卷

5

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2007年7月9日星期一高等数学

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2007年7月9日星期一高等数学

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