高中数学基本初等函数图像及性质小结.docx
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高中数学基本初等函数图像及性质小结
基本初等函数
1•函数的五个要素：
自变量，因变量，定义域，值域，对应法则
2.函数的四种特性：
有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这
四个方面去研究函数。
3.每个函数的图像很重要
定义域：
随a的不同而不同，但无论a取什么值，xAa在「’内总有定义值域：
随a的不同而不同有界性:
单调性：
若a>0,函数在；…内单调增加；若a<0,函数在人-内单调减少。
奇偶性:
-「要知道这些函数那
些事奇函数，那些是偶函数
周期性：
值域
0.指数函数八
定义域：
.，■‘I
有界性:
单调性：
若a>1函数单调增加；若0奇偶性:
周期性:
、、亠
注意：
图形过（0,1）点暨aA0=1
直线y=0为函数图形的水平渐近线
今后」"用的较多这个函数的图形，性质要记清楚
O.对数函数"司唯口几3>0卫圧1）
1、定义域：
：
•r值域：
'」‘）
有界性：
单调性：
a>1时，函数单调增加；0奇偶性：
周期性：
主要性质：
与指数函数互为反函数，图形过（1,0）点，
直线x=0为函数图形的铅直渐近线
“丄「—--e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数
❹.
三角函数
强调：
图像
（―巩+
正弦函数:
j/=sin
定义域：
（-0D,十8）
有界性：
[-1,1]
有界函数
单调性：
（-T/2,T/2
）单调递增
奇偶性：
奇函数
周期性：
以心巧为周期的周期函数;
值域：
[-1,1]
余弦函数：
兀
（一叫十00）
定义域：
I■"1
值域：
[-1,1]
有界性：
[-1,1]
有界函数
单调性：
奇偶性：
偶函数
周期性：
（腕）
）1
1
y-^lnx
.o
-八
■1
y=f孚=
正切函数：
CE
x=0,±l±2.■■■
定义域：
值域:
有界性：
单调性：
奇偶性：
奇函数
周期性：
'
cosX
y=税歹二-一
余切函数：
泗工
值域:
定义域：
'…:
有界性:
单调性：
奇偶性：
奇函数
周期性：
二
y=escx=
sinx
id
«-
IV
o.反三角函数
反正弦函数:
厂吐沁&
定义域:
[-1,1]
rt
[-U]
值域:
卩:
有界性:
单调性:
单调增加
奇偶性:
奇函数
周期性:
反余弦函数:
厂址込
【T」L--定义域值域:
值域:
定义域：
[-1,1]
有界性：
单调性：
单调减少
奇偶性：
周期性：
圈l-aj
I反正切函数：
也环gg---定义域
定义域：
值域：
有界性：
单调性：
单调增加
奇偶性：
奇函数
周期性：
反余切函数丨輕（-H-定义域
觸1-22
定义域：
值域:
有界性：
单调性：
单调减少；
奇偶性：
周期性：
以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握
（1）指数式与对数式的性质
a
殆
存•粧（a〉0）,
a
logw/J-kgawnn,
hgfl—=-log&心
log也燃.■旳Log也稍
啄凸=1
今后常用关系式'；，1',
吨1。
乩"0,吨严
"—由此可知八，匸，
如如:
1’
（2）常用三角公式
sin（x±y）■sinxt<*sy±cos盂siny,
cos（z±j）-cos7cosjktsinzsin.j
sin2x-2sinjccosJt,
cos2x■cos3-sin3Jl-2cos3-1-1-2sin2
sin3r+cos3x=1,
sin^x=
1-cos2a
2
cos^X
1+cos2x
~~2
l+/g2x=sec1&
1=C£CJX
积化和差
sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
和差化积
sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
函数周期性：
R）的函数的周期为T=2n/30,x形如y=Asin（3x+或y=Acos（3x+©）（A,3,©
为常数,A
周期函数性质：
（1）若T（工0是f（X）的周期，则-T也是f（X）的周期。
（2）若T（工0是f（X）的周期，贝UnT（n为任意非零整数）也是f（X）的周期。
（3）若T1与T2都是f（X）的周期，贝UT1±T2也是f（X）的周期。
（4）若f（X）有最小正周期T*,那么f（X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）T*是f（X）的最小正周期，且T1、T2分别是f（X）的两个周期，则（Q是有理数集
（6）若T1、T2是f（X）的两个周期，且是无理数，则f（X）不存在最小正周期。
（7）周期函数f（X）的定义域M必定是双方无界的集合。
其他周期函数（非三角函数）
Dirchlet函数
D（X）=
{1X为有理数时
{0X为无理数时
复指数函数：
y=eFwt）,其中j为虚数单位，w为任意实数，t为自变量。
重要推论|
1，若有f（x）的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|
2，若有f（X）的2个对称中心（a,0）（b,0）则T=2|a-b|
3,若有f（x）的1个对称轴x=a,和1个对称中心（b,0），贝UT=4|a-b|
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