【解析】二次型f（x-i,x2,x3）对应的矩阵为
t_
2
因为f正定二A的顺序主子式全大于零
<72.
故f正定二1-1tS-0,即一J2ct
2
⑸【答案】t分布,参数为9
【解析】由X1,|||,X9是来自总体
X的简单随机样本，故xjH,X9独立,且都服从正态
分布N（0,32）.类似有Y,,lil,Y9相互独立，且都服从正态分布N（0,32）.
又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布，即
X'=X1+Ili+X9~N（巴b2）.
其中P=E（X）=E（X1+H|+X9）,b2=D（X）=D（X1+||i+X9）.
由期望的性质，卩=E（X）=E（X1+川+X9）=EX1+EX2+111+EX9=0；
由独立随机变量方差的性质，CT2=D（X）-DCXr+IH+X9）=DX1+H）+DX9=81,
故X'~N（0,92）.
因Y,lli,Y9~N（0,32）,故Y^~N（0,1）,（i=12川,9）,所以,
3
9
YW
izi
X'-0
X*_0由t分布的定义，现已有X'~N（0,92），将其标准化得一~N（0,1）,故占~t（9）.
9咫
【相关知识点】1.数学期望的性质：
E（aX+bY+c）=aE（X）+bE（Y）+c,其中a,b,c为
常数.
2.方差的性质：
X与丫相互独立时，D（aX+bY+c）=a2D（X）+b2D（Y）,其中a,b,c为常
3.分布的定义：
若乙，H|,Zn相互独立，且都服从标准正态分布N（0,1）,则
n
Zi2"2
（1）,2：
Sn）.
2Z—u
4.若Z~N（u,b2）,则N（0,1）.
c
2X
5.t分布的定义：
若X~N（0,1）,Y~/2（n）,X,Y独立，则T=——~t（n）.
二、选择题合题目要求
（1）【答案】
（本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（B）
故应选（B）.
阶可导，则
F（t）=P（t）f〔P（t）]—a'（t）卄fa（t）】.
2.无穷小的比较:
设在同一个极限过程中，a（x）,P（x）为无穷小且存在极限
（1）若丨K0,称a（X）,p（x）在该极限过程中为同阶无穷小;
记为a（X川P（x）；
⑵若I=1,称a（X）,P（x）在该极限过程中为等价无穷小
⑶若丨=0,称在该极限过程中a（x）是P（X）的高阶无穷小，记为a（x）=0（P（x））.
若lim：
（x）不存在（不为乂）,称a（X）,P（x）不可比较.P（x）
⑵【答案】（C）
【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题
方法1：
由f（—x）=f（X）（亠，垃）知，f（x）的图形关于y轴对称.由在（―吟0）内,
f'（x）:
>0且f"（x）<0知，f（x）的图形在（-2,0）内单调上升且是凸的；由对称性知，在
（0^）内，f（x）的图形单调下降，且是凸的，所以应选（C）.
方法2：
由f（_x）=f（x）可知一f'（_x）=f'（X）,f"（-X）=f"（X）.
当x€（0,+^）时，_x€（=,0）,此时由题设知f'（-x）>0,f"（-x）<0,则
f'（x）c0,f”（x）<0,xJ0,邑）,
故应选（C）.
方法3:
排除法.取f（X）=-X2,易验证f（X）符合原题条件，计算可知（A）、（B）、（D）三个选
项均不正确,故应选（C）.
方法4:
由题设可知f（x）是一个二阶可导的偶函数，则f'（X）为奇函数，f"（X）为偶函数，又
在（虫,0）内f（X）>0,f"（X）<0,则在（0,母）内f'（x）<0,f"（x）<0,故应选（C）.
（3）【答案】（C）
【分析】这一类题目最好把观察法与（际內』3）=（%,口2,口32技巧相结合.
【解析】对于（A）,（%+ot2）—©2十叫）中©3—%）=0,即存在一组不全为零的数1,
-1,1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知％+02,02+^3,^3-%线性相关，排除（A）；
对于（B）,（%+（/2）中©2+5）-（%+2^2+口3）=0,即存在一组不全为零的数
-1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知ctj+Ot2^2+a.Ct
1+2%+^3线性相关，排除
（B）；
对于（C）,简单的加加减减得不到零，就不应继续观察下去
而应立即转为计算行列式.设
有数ki,k2,k3,使得
ki（%+2^2）栋2（202+3^3）栋3（%+3^
）=0,
k+kg=0
已知些，02,03线性无关，上式成立，当且仅当＜2k1+2k2=0
3k2+3k3：
=0
因①的系数行列式
=12H0,故①有唯一零解，即ki=k2
C=12h0,则C可逆,故两向量组是等价向量组，由％,02,03线性无关知％+2^2,
2^2+3^3,3^3+%线性无关.
⑷【答案】（D）
【解析】方法1:
用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似，也
不一定合同.
例如，若a=K^^卜彳；10］，由于特征值不同，故不相似，又对应二次型的正、负
惯性指数不同，故也不合同，（B）、（C）不成立;
若A=【00門012］则
2」［0
叫,ABHBA.
6」，
故（A）不成立；应取（D）.
方法2：
因A,B是同阶（设为n）可逆阵，故有r（A）=r（B）=n,而
r（A）=r（B戸A,B等价u存在可逆阵P,Q使得PAQ=B.
11
（这里只需取P=A,Q=B,既有PAQ=ABA=B成立）,故应选（D）.
或者，因A,B是同阶可逆阵，故A,B均可以通过初等行变换化成单位阵
行变换行变换
AtE,BTE,
即存在初等阵P=p,P2,|||Ps,W=W,%HWr,使得
PA=E,WB=E,
故有:
111P{x=—1,Y=-1}=P{x=-1}P{Y=-1}=—X_=-；
1P{x=—1,Y=1}=P{x=-1}p{y=1}=—咒一=
2
1p{x=1,Y=-1}=p{x=1}p{y=-1}=-x-=
2
11p{x=1,Y=1}=p{x=1}p{y=1}=X
22
224
1—
24；
11
•
24；
1
=•
4；
111p{x=Y}=P{x=—1,Y=-1}+p{x=1,Y=1}=—+—=—
442
故（A）正确,（B）错;
P{x+Y=0}=p{x=—1Y=1}中P{x=—1,Y=1}=1+1
4
故（C）错;
p{XY=1}=P{X=—1,Y=-1}+p{x=1,Y=1}=—+—
44
故（D）错.
三、（本题满分6分•）
【分析】要证明limQ（x）=Q,只须证明limInQ（x）=InQ即可，因为Q（x）为指数函数，因此化为对数形式便于极限计算.
1
【解析】因为lnQ（x）=lnA—-ln[6K+（1—6）L*|,而且
x
HnJn[k+（y
x
-6KVnK-（1-6）「InL=hm
xT
x-O
*+（1-
nK-（1-§）lnL=—In（K%%,
四、（本题满分5分.）
【解析】由题设有
在exy-y=0中，将y视为x的函数，两边对x求导，得
在e-xz=O中，将z视为x的函数，两边对x求导，得
将⑴、⑵两式代入（*）式,得
【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：
若u=u（x,y）和v=v（x,y）在点（x,y）处偏导数
在点（X,y）处的偏导数存在，且
五、（本题满分6分）
销售总收入减去成本和政府税收.正确写出兀（X）后,满足兀’（x0）=0的x）即为利润最大时
的销售量，此时，xAt）是t的函数，当商家获得最大利润时，政府税收总额T=tx（t）,再由导
数知识即可求出既保证商家获利最多，又保证政府税收总额达到最大的税值t.
【解析】
（1）设T为总税额，则T=tx•商品销售总收入为
2
R=pX=（7-0.2x）x=7x-0.2x.
利润函数为兀=R-C-T=7x-0.2x2-3x-1-tx=—0.2x2+（4-t）x-1.
4-t5令兀（X）=0,即一0.4x+4-t=0,得X=-
0.42
5
由于兀"（x）=—0.4<0,因此，x=3（4-t）即为利润最大时的销售量.
5552
⑵将X=—（4-t）代入T=tx,得T=t，—（4-t）=10tt.
222
由T（t）=10-5t=0,得惟一驻点t=2；由于T“（t）=—5c0,可见当t=2时T有极大
值,这时也是最大值，此时政府税收总额最大.
所以F（x）在［0,上连续.
当x€（0,时,
rn,从而xnf（x）>©nf（®.
由于f（X）单调不减，故f（X）>f（©）,又xn>L
于是有F（x）>0）.故F（x）在［0,畑）上单调不减.
方法2：
连续性证明同上.由于
XXX
可见，F（x）在［0,P）上单调不减.
F'（x）的不同处理方法.
阶可导，则
F〔t）=P（t）.f[P（t）]-aIt）.f!
a（t）].
七、（本题满分6分）
【分析】先作出草图,再求出曲线y=x2在任一点（a,a2）上的切线方程及其与x轴的交点，
然后依此类推，得出一系列与x轴交点的坐标.最后进行相应计算即可.
2
⑵由于QnPn=（OPn）=
2n
m=0（4丿
送丽=送I1
n¥
【评注】本题是级数与微分学的综合题，本题中所得的级数仍为收敛的几何级数，利用几何级
数求和公式即可求出它的和.
八、（本题满分6分）
【解析】将直角坐标化为极坐标，由于
1E亍2兀2t
x2』J（2JX+y）dXdr叫f
4*22trr
可得f（t）=e^+2和rf（—）dr.在积分中作换元s=—,又有
•022
2trt
J0rf
（2）dr=4J0sf（s）ds.
t/.2
于是，f（t）满足积分关系式f（t）=8兀［sf（s）ds+e4皿
在上式中令t=0得f（0）=1.利用变上限积分的求导公式，将上式两端对t求导,得
f'（t）—8曲（t）=8;ite4江2.
上述方程为关于f（t）的一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程通解公式，得
.2
f（t）=（4玳2+C）e4处2,其中常数C待定.
由f（0）=1可确定常数C=1,因此,f（t）=（4兀t2+1）e4皿'
p（t）_
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
若F（t）=L（t）f（x）dx，«（t），P（t）均一
阶可导，则
F'（t）=P'（t）f〔P（t）]-a（t）”f!
a（t）].
2.一阶线性非齐次微分方程的标准形式为y'+p（x）y=q（x）,其通解公式为
y»"dx（jq（x）eJpgdXdx+c）,其中C为常数.
九、（本题满分6分）
【解析】
（1）由AA*=AA=AE及A*
（2）用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有
=A,
A
=PQ=
A（b-aTA七
=ia2（
b—aTA’a
又因A是非奇异矩阵,所以A
=A（b-aTA七）.
由此可知Q可逆的充要条件是
评注：
本题考查分块矩阵的运算
QhO,即b-aTA」aH0,亦即aTA」aHb.
要看清aTA^
是1阶矩阵,是一个数.
【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：
设
A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则
AO
A*
OA
*A
mn
—
=A[B
J
—
=（—1）
*B
OB
B*
BO
AIB.
2.行列式乘积公式：
设A,B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘
十、（本题满分10分）
【解析】
（1）设A的属于A=3的特征向量为03=〔X,,x2,X3]T,因为实对称矩阵属于不同特
征值的特征向量相互正交，故
P-T
J%Ctg：
=—X1—X2+X3=0,齐T
[02^3=X1—2X2—X3：
=0.
解上述方程组，设方程组的系数矩阵为
T1
-1
-2
11,对B进行初等行变换:
-1」
B仁匚」
H0-3
「10
TI
[o1
-1
系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系
我们得到基础解系的个
数为1,解得1,0,1J,即A的对应于
A=3的特征向量为《3=k1,0,1]T,其中k为非零常
⑵方法1：
令P=t^1a2a3J=
r-1
-1
-2
L1
-1
11
则有P’AP=
L0
即A=PApt其中P4计算如下:
「1
0
01
=A,
3」
「-1
1
1：
1
+
0
0-
■-1
1
1：
10
0-
-1
-2
0：
0
1
0
T
0
-3
—1—11
0
L1
-1
仁0
0
1_
[
0
0
2\10
［」
1
1
r-2
L3
A=PAP
-1
—2
-2
—3
-1
0：
2
1讨
0：
0；
1：
-1
-2
0
0
2
0
1
-2
-1
1
-6
-2
10
2
L1
-1
1
■
L0
0
3」
L3
0
3
■
[
5
2
13
■
r-1
n「1
oi「—2
21
「13
51
1
0
-2
-2
1
6
方法2：
因A是对称矩阵，不同特征值对应的特征向量互相正交
化）,使Q^AQ=QtAQ=A,A=QAQt,其中Q=
A=QAQt
血「1
76
L0
76
故存仕正父卩
1
11
亦
2
76
0
1
1
亦
屁」
1
1
占
亦
2
1
需
晁
0
1
Q（对P单位
1
1
「1
1
1-
「1
1
11
恵
恵
药
爲
1
2
0
2
4
-2
罷
76
需
恵
1
1
1
3
0
3
飞
L72
应」
L73
1
6
L5
A的特征值是1,2,3,
-2
-2
10
方法3：
由于矩阵
13
特征向量依次为a®,%利用分块矩阵有
于是矩阵©102,a3）可逆.故
因为a1/X2/X3是不同特征值的特征向量,它们线性无关
A=（口1,202,3口3）（口1,（/2,（/3）
「-1
-1
I1
31卜11
0
3」「
-2
-1
-2
-1
1『
0
1J
-1
4
0
1
-2
-1
_1
-2
10
2
~6
L1
-2
3.
L3
0
3•
[
5
2
13J
-2
21
51
是能否由“实对称矩阵”
2
_1
"6
【评注】本题有两个难点,
挖掘出隐含的信息，通过正交性求出a
另一个难点就是反求矩阵
A.
卜一、（本题满分7分）
【分析】求分布函数F（X
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