1997考研数三真题及解析.docx

1、1997考研数三真题及解析(1)1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上）(1)设 y = f (In x)ef(X),其中 f 可微，则 dy =1 J 2 1 1若 f(X)= + -x L f (x)dx ,则 L f (x)dx =差分方程yt屮-yt =t2t的通解为若二次型f （xi ,x2,x3） =2x2 +x2 +X3 + 2x2 +tX2x3是正定的,则t的取值范围是设随机变量X和丫相互独立且都服从正态分布 N（0,32）,而X1|,X9和Y,川,Y）分别是来自总体 X和丫的简单随机样本，则统计量II

2、= X1十川坯服从/丫2+出+丫92分布（2分）,参数为二、选择题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 ）若 f （X）= f（X）（虫 0 ,且 f （x） 1)为自然数，而M4M2表示点M1与M2之间的距离.八、(本题满分6分)设函数f (t )在0, 上连续，且满足方程J J f (gjx2 +y2)dxdy,x2 4y2 纟t2 2求 f (t).01 A aaHA b，(1)计算并化简PQ ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是 Ba Hb.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵 A的特征值是1,2

3、,3 ;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是S =(1,1,1)T, =(1,2,1)T.（1）求A的属于特征值3的特征向量;求矩阵A.卜一、（本题满分7分）1 1假设随机变量 X的绝对值不大于1 ； PX =_1 = , PX =1=;在事件8 4 -1 cX 1出现的条件下，X在（1,1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X的分布函数F（x） = PX x.5分钟、25分钟和55分钟十二、（本题满分6分）游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第从底层起行.假设一游客在早晨八点的第 X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上均匀分布,求该游客等候时间的数学期

4、望 十三、（本题满分6分）两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动 .试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度f（t）、数学期望和方差.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.)1(1)【答案】ef(x)r(ln x)+f(x)f (In x)dxx【解析】题目考察复合函数的微分法 ，利用链式法则计算如下:由 y = f (In x)ef (x)可知1dy = f (ln x )ef (x)dx + f (ln x )ef(x) f

5、(x )dx x1=ef X) f ( ln X )+ f(X ) f (ln X Jdx.x(2)【答案】4 一兀1【分析】本题中L f(x)dx是个常数，只要定出这个数问题就解决了-+aJ1-x2 ,两边从0到1作定积分得1+x2解得A =4 一兀【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分J0dx表示单位圆 在第一象限部分的面积，可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用 .(3)【答案】 =C +壮-2)2七【解析】对应的齐次差分方程是 yt十-yt =0,显然有不恒等于零的特解 yt =1.因方程的右端函数f (t) =t2t,可设非齐次差分方程的特解有形式/=(

6、At tB)/代入方程得 (At + 2A + B)2t2t, t = 0,1,2，川.由于20,于是At+2A + B=t, t =0,1,2,HI.可确定A = 1,B = -2 ,即非齐次差分方程有一个特解是 y = (t - 2)2t .从而，差分方程的通解是 yt = C + (t - 2)2t.(4)【答案】一42 t 42【解析】二次型f (x-i, x2, x3)对应的矩阵为t_2因为f正定二 A的顺序主子式全大于零0且f(x)0, f(-x) 0,则f(x)c0, f ”(x) 0, f (X)0,则在(0,母)内 f(x)0, f(x)0,故应选(C).(3)【答案】(C)

7、【分析】这一类题目最好把观察法与 (际內3)=(%,口2,口32技巧相结合.【解析】对于(A), (% +ot2 )2十叫)中3 % ) = 0,即存在一组不全为零的数 1,-1,1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知 +02,02 +3,3 -%线性相关，排除(A)；对于(B), (% +(/2 )中2 +5 )-(% +22 +口3 )=0,即存在一组不全为零的数-1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知 ctj + Ot22 +a. Ct1 +2% +3线性相关，排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零，就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数ki,k2,k3,使得ki

8、(% +22 )栋2(202 +33 )栋3(% +3)=0,k + kg = 0已知些，02, 03线性无关，上式成立，当且仅当2k1 +2k2 = 03k2 +3k3 ：= 0因的系数行列式=12 H 0 ,故有唯一零解，即ki = k2C =12h0,则C可逆,故两向量组是等价向量组，由,02,03线性无关知+22,22 +33,33 +% 线性无关.【答案】(D)【解析】方法1:用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律 ,不一定相似，也不一定合同.例如，若a = K 卜彳；1 0，由于特征值不同，故不相似，又对应二次型的正、负惯性指数不同，故也不合同，(B)、(C)不成立;若A

9、=【0 0門01 2则20叫,ABHBA.6，故(A)不成立；应取(D).方法2：因A,B是同阶(设为n)可逆阵，故有r(A)=r (B ) = n,而r(A)=r(B戸 A, B等价u 存在可逆阵P,Q使得PAQ = B.1 1(这里只需取P=A ,Q = B,既有PAQ=A BA=B成立),故应选(D).或者，因A,B是同阶可逆阵，故A,B均可以通过初等行变换化成单位阵行变换 行变换At E,B T E,即存在初等阵P = p,P2,|Ps,W=W,% HWr,使得PA = E,WB = E,故有:111 P x = 1, Y = -1 = P x =-1 PY = -1 = X_ =-；

10、1 P x = 1,Y =1 = Px =-1py = 1 = 咒一=21 px =1, Y =-1= px =1 py =-1 = -x-=21 1 px =1, Y=1 = px =1 py=1= X2 22 2 41 2 4 ；1 12 4 ；1= 4 ；111 px =Y = P x =1, Y= -1+ px =1, Y= 1 = +=4 4 2故(A)正确,(B)错;P x + Y =0 = px = 1Y =1中 Px = 1,Y =1 = 1 + 14故(C)错;pXY =1 = P X =1,Y =-1 + px =1,Y = 1 = + 4 4故(D)错.三、(本题满分6分

11、)【分析】要证明limQ(x)=Q,只须证明lim InQ(x)=InQ即可，因为Q(x)为指数函数，因 此化为对数形式便于极限计算 .1【解析】因为 ln Q(x)=l nA-l n6K + (1 6)L*|,而且xHnJ nk+(yx-6KVnK -(1-6)InL =hmxTx-O*+(1-nK -(1-)ln L = In(K%,四、(本题满分5分.)【解析】由题设有在exy -y =0中，将y视为x的函数，两边对x求导，得在e -xz=O中，将z视为x的函数，两边对x求导，得将、两式代入(* )式,得【相关知识点】1.多元复合函数求导法则： 若u=u(x,y)和v = v(x, y)

12、在点(x, y)处偏导数在点(X, y)处的偏导数存在，且五、(本题满分6分)销售总收入减去成本和政府税收 .正确写出兀(X)后,满足兀(x0) = 0的x)即为利润最大时的销售量，此时，xAt)是t的函数，当商家获得最大利润时，政府税收总额T = tx(t),再由导数知识即可求出既保证商家获利最多 ，又保证政府税收总额达到最大的税值 t.【解析】(1)设T为总税额，则T =tx 商品销售总收入为2R = pX =(7-0.2x)x = 7x-0.2x .利润函数为 兀=R-C-T =7x-0.2x2-3x-1-tx = 0.2x2 + (4-t)x-1.4 - t 5 令兀(X)= 0,即一

13、0.4x+4-t=0,得 X =-0.4 25由于兀(x)=0.4nf(.由于f(X)单调不减，故f(X) f(),又xn L于是有F (x) 0 ).故F(x)在0,畑)上单调不减.方法2：连续性证明同上.由于XXX可见，F(x)在0, P)上单调不减.F(x)的不同处理方法.阶可导，则Ft) = P(t).f P(t)-a It).f !a(t).七、(本题满分6分)【分析】先作出草图,再求出曲线y = x2在任一点(a,a2)上的切线方程及其与 x轴的交点，然后依此类推，得出一系列与x轴交点的坐标.最后进行相应计算即可. 2由于 QnPn =(OPn)=2nm=0(4 丿送丽=送I1n【

14、评注】本题是级数与微分学的综合题 ，本题中所得的级数仍为收敛的几何级数 ，利用几何级数求和公式即可求出它的和 .八、(本题满分6分)【解析】将直角坐标化为极坐标 ，由于1 E 亍 2兀 2tx2J(2JX+y)dXdr 叫 f4*2 2t r r可得f(t)=e + 2和rf ()dr .在积分中作换元s = ,又有0 2 22t r tJ0 rf(2)dr =4J0sf(s)ds.t / .2于是，f(t)满足积分关系式f (t) =8兀sf(s)ds + e4皿在上式中令t =0得f (0) =1.利用变上限积分的求导公式 ，将上式两端对t求导,得f(t) 8曲(t) =8;ite4江2.

15、上述方程为关于f (t)的一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程通解公式 ，得.2f(t) =(4玳2+C)e4处2 ,其中常数C待定.由f(0)=1可确定常数C=1,因此,f (t) =(4兀t2+1)e4皿p(t) _【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 F(t) = L(t)f(x)dx，(t)，P(t)均一阶可导，则F(t) = P(t) fP(t)-a (t) ”f !a(t).2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为 y+ p(x)y = q(x),其通解公式为y dx( jq(x)e JpgdXdx+ c),其中 C 为常数.九、(本题满分6分)【解析】(1)由AA*

16、=AA=AE及A*(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式 ，有=A,A=PQ =A(b-aTA 七=ia2(b aTAa又因A是非奇异矩阵,所以A=A(b-aTA 七).由此可知Q可逆的充要条件是评注：本题考查分块矩阵的运算Q hO,即 b -aTAa H 0 ,亦即 a TAa Hb .,要看清aTA是1阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则A OA *O A* Amn=A BJ=(1)* BO BB *B OAIB.2.行列式乘积公式：设A, B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于 A和B的行列式的乘十、（本题满分10分）【解

17、析】（1）设A的属于A =3的特征向量为03 =X, ,x2 ,X3 T ,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故P- TJ% Ctg ：= X1 X2 +X3 =0, 齐T023= X1 2X2 X3 ：= 0.解上述方程组，设方程组的系数矩阵为T1-1-21 1,对B进行初等行变换:-1B仁匚H0-31 0T Io 1-1系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为1,解得1,0,1 J,即A的对应于A =3的特征向量为3 =k 1,0,1 T,其中k为非零常方法 1：令 P = t1a2a3 J =r-1-1-2L1-111,则有PAP

18、 =L0即A = PApt其中P 4计算如下:1001=A,3-111 ：1+00-111 ： 1 00-1-20：010T0-311 10L1-1仁001 _002 1 011r-2L3A =PAP-12-23-10： 21讨0：0；1：-1-200201-2-11-6-2102L1-11L003L3035213r-1n1oi22 1135110-2-216方法2：因A是对称矩阵，不同特征值对应的特征向量互相正交化）,使QAQ =QtAQ =A, A = QAQt,其中 Q =A =QAQt血176L076,故存仕正父卩11 1亦276011亦屁11占亦21需晁01Q（对P单位11111 -

19、111 1恵恵药爲12024-2罷76需恵111303飞L 72应L7316L5A的特征值是1,2,3,-2-210方法3：由于矩阵13特征向量依次为 a,% 利用分块矩阵有,于是矩阵102,a3）可逆.故因为a 1/X2/X3是不同特征值的特征向量,它们线性无关A =（口1,202,3口3）（口1,（/2,（/3）-1-1I 131卜1 103-2-1-2-1101J-1401-2-1_ 1-21026L1-23.L303 5213J-22151是能否由“实对称矩阵”2_ 16【评注】本题有两个难点,挖掘出隐含的信息，通过正交性求出a另一个难点就是反求矩阵A.卜一、（本题满分7分）【分析】求分布函数 F（X