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桥梁结构振动与控制分析研究

结题报告

桥梁结构振动与控制分析研究

一、课题的研究意义及研究方法

1.1课题的研究意义

桥梁结构的振动是引起桥梁损坏（破坏）的一个重要因素，引起桥梁振动的因素主要有：

地震引起的振动、荷载引起的振动及车-桥耦合作用引起的振动。

传统的结构强度设计方法通过增强结构物自身抗力来抵御地震作用，即由结构本

身储存和消耗地震能量。

但由于人类测震技术的不成熟，尚不能准确估计振动的强度和特性。

因此，可能会出现结构不满足安全性的要求而产生安全事故。

近年来发展起来的结构控制技术是建筑结构抗震领域内的一个新的研究热点，它是通过采用结构振动控制的理论与方法改变结构系统的动力学性能或阻尼耗散性能来增加和改善结构的抗震能力，是一种积极主动的对策。

因此，近年

来桥梁结构的振动控制倍受学术界、工程界的广泛关注，并获得了长足的进步。

结构振动与控制的研究与应用有着广泛的前景，它的研究和发展将给结构工程抗震设计带来一张革命，其巨大的经济效益和社会效益已得到证明。

1.2本文的研究思路和方法

本文以竖向弯曲振动时桥梁跨中挠度的振动幅度为控制目标，通过分析安装TMD前后桥梁跨中挠度的振动幅度变化量来讨论TMD寸桥梁振动的控制效果，并探索TMD勺参数优化。

对于TMD空制下的车桥耦合系统的振动，已被采用的数值研究方法有两类：

一类在建立系统耦合方程组的基础上，借助编程语言或数值计算软件（如MATLAB和VB等），利用数值积分方法编程求解耦合方程组；另一类，借助仿真分析软件

（如有限元软件和Simulink等）实现对系统的仿真分析。

本文将采取第一类方法，编程求解方程组。

针对简支梁桥在列车匀速通过时的竖向弯曲振动，本文先建立车桥耦合振动理论模型，利用数值计算方法结合MATLAB^件，编程求解车桥时变系统振动微分方程组，获得列车过桥时桥梁竖向振动位移响应；再建立车一桥-TMD耦合振

动理论模型，求解获得单个以及多个TMD空制下的桥梁竖向位移响应，分析TMD

的控制效果，并讨论TMD参数优化对控制效果的影响

一、理论模型及求解方法

2.1车辆-简支梁桥竖向振动模型

2.1.1模型简化

模型中，车体、转向架、车轮均被认为是刚体，相互间通过弹簧阻尼系统连接；不考虑车轮与钢轨表面粗糙，认为钢轨固结于桥梁上作为桥梁的一部分，不

考虑钢轨及轨下结构局部变形造成的影响，于是轮轴的竖向位移等于轮轨接触点（即车轮与桥梁接触点）的竖向位移。

由于仅考虑系统的竖向振动，本文中车辆简化为二系弹簧悬挂系统，仅考虑车体沉浮、点头，前后转向架构架沉浮运动，每节车辆四个自由度。

桥梁采用简支欧拉梁模型。

系统简化模型及坐标系建立如图1所示。

图1系统简化计算模型

v-行车速度；

©i-第i节车体点头位移;

mc-车体质量；c

ks2-二系悬挂刚度；

图中各物理量意义如下:

yc-车体中心竖向沉浮位移；

Jc-车体点头惯量；

s2-二系悬挂阻尼；

t-转向架构架与轮对质量之和;

yt-构架中心竖向沉浮位移;

cSi-一系悬挂阻尼;

ksi-一系悬挂刚度；a-

EI-桥梁抗弯刚度；d-

L-桥梁全长；w-

m-TMD质量；k

C-TMD阻尼；y

同一节车转向架中心距离；

前后两节车相邻轮对间距；

桥梁挠度，以水平位置为坐标起点;

k-TMD刚度；

z-TMD竖向位移；

li-第i个轮对与第一个轮对之间的距离;

2.1.2车辆系统振动微分方程

第i节车振动方程

车体沉浮运动:

mcyciks2（yci—yt?

二i）c$2（ysi一yt2iji）

22（2-1）

a几**ar

ks2（yci—yt2iJCs2（yci—yt2ii）=o

车体点头运动：

aaaa

jci■ks2（yci-yt2i」i）cs2（ysi-yt2i」J二

2222

a^a**aja

—ks2（yci-yt2i-匚i）匚-cs2（yci-yt2ii）0

2222

（2-2）

构架沉浮运动:

gyt2i」+ks1（yt2i4+w1x&丄丄）+。

引山2口+则X94丄）

a丄*••aj*

—ks2（yc2i—yt2i4-J—Cs2（yci一yt2i4■-i）=0

w••

mtyt2i+ks1（yt2ixf七J+Cs1（yt2i+wx虫亠）

a*»•a•

七2（九-心-i）72（九-yt2i-ci）=0

对车厢整体可得

mcmcJc•*

P24=（mt-）gmtyt2i4一yci一i

22a

mc"mcJc”

巳=（mt）gmt山ycii

22a

（2-4）

（2-5）

（2-6）

其中p2i-1，p2i分别为第i节车厢前后两个车轮与桥梁之间的作用力

2.1.3简支梁桥振动方程

本为采用简支欧拉梁模型，不考虑桥梁阻尼时，振动方程为:

.4_2

EI「睾「A「曙=F（x,t）

.x:

（2-7）

其中，pA-桥梁单位长度的质量；F（x,t）-t时刻x处作用在梁上的外力，包

括桥梁自重和轮轨相互作用力，即

F（x,t）='R「i（t）、i（xli-vt）亠'Ag

i二

（2-8）

其中，N表示车辆节数;

、i（xh_vt）表示dirac函数;

i（t）二

其他

将式（2-8）代入式（2-7）得,

Elj「A*R；i（t）r（xh—vt）「Ag

ti吕

（2-9）

为求解方程（2-9），利用分离变量法设

w（x,t）八Xj（x）Tj（t）

j吕

（2-10）

其中Xj（x）二sinj?

为简支梁的振型函数，n为模态截断数，Tj（t）形态振幅函数。

将式（2-10）代入式（2-9），各项自0到L积分，利用振型函数的正交性

与dirac函数的性质，并令LA,"*）4*,得

T：

（t），2Tj（t）二為生、i（t）sinj（vt7）也1—cos（j二）

i#mLLj兀

j=1,2,…,n

（2-11）

将式（2-5）与式（2-6）代入式（2-11）,消去变量Pi，得

-N牛Win屮

i4mLL

一N2j二（vtj）

i（t）sin-

i1mLL

Tj（t）j

（m

Tj（t）

«>

mJ••

町）

=Z2（mt

i4mL

h-cos（j二）1

j=1,2,…,n

（2-12）

为简化表达，令、j（t）sinj_=hij（t）,

mciN

「yci-h2u,j（t）（mtyt

2iA

T：

（t）fTj（t）八

整理得,

*1JNJ«>

2ij'—J一'h2i,j（t）（mtyt2ici）

aya

（%号）ghij（t）mgL1-cosj）i=12j

j=1,2,...,n（2-13）

这样，式（2-1）~式（2-4）与式（2-13）—起组成车桥时变系统耦合振动微分方程组，方程组共有（4N+n）个方程，以yci,yt2i-1,yt2i,①,Tj（t）共（4N+n）个未知量为求解变量，结合初值条件，可利用动力学连续数值积分方法联合求解。

2.2车一桥一TMD耦合模型（以跨中悬挂单个TMD为例）

设TMD质量为mk，弹簧刚度为kk，阻尼为a,悬挂位置为跨中，以静平

衡位置为坐标起点，振动位移为yz，则TMD的运动方程为

«>

mkyzkk（yz

）乜心―w[）=0

（2-14）

简支梁跨中悬挂TMD时，车辆系统振动方程不受影响，简支梁所受外力应考虑梁与TMD之间的相互作用，即通过TMD弹簧与阻尼器传递的力，于是，式（2-8）变为

环r、H、L

F（x,t）=6R'i（t）'i（xli-vt）：

Ag（kkwx=iCkw|）-）

i12x=-2

（2-15）

其中，、：

（x~L）为dirac函数。

此时，式（2-13）变为

■-[h2idj（t）h2i,j⑴]mci

二、（mt¥）g（h2ij,jh2i,j）陂1-cos（j二）1ggsin舟

i42j二2

j=1,2,...,n（2-16）

这样，式（2-1）~式（2-4）与式（2-14）、式（2-16）一起组成车一桥一TMD时变系统耦合振动微分方程组，方程组共有（4m+n+1）方程，以yci,yt2i-1,yt2i,©Tj（t）,yz共（4m+n+1）个未知量为求解变量，结合初值条件，可利用动力学连续数值积分方法联合求解。

2.3求解步骤与方法（以单个TMD控制系统为例）

车一桥一TMD系统耦合方程组写成矩阵形式为：

MX’cXkx二f（2-17）

其中，x-以yci,yt2i-1,yt2i,①,Tj（t）,yz构成的未知向量，即

‘X；」yc1,yt1,yt2,1,yc2,yt3,yt4,2,…，ycN,yt2N-1,yt2N,N,T1（t）,T2（t）,...,Tn（t）,yz；T分块表示为：

5丁J%,Xt,Xz°；

M,C,K-总体等效质量，阻尼，刚度矩阵；

f-等效载荷向量；

2.3.1系数矩阵

_mcmcTmcz1

a）质量矩阵分块表示M=mTcmTmTz

]mumzTmz_j

其中，mc=diag（mc1,Jc1,叫1,叫1,...,叫”Jcn,En,^^）;

mT=Inn,I表示单位矩阵;

mz=mk；

=014N,mzT=01n；

mTz=mk{sin,sin二，...,sin

其中，限于篇幅，hij（t）简写为hij.

mcT=°4Nn,mcz=°4N1,mzc

kcT二{kcT1,…,kcTi,…,kcTN}

d）载荷向量分块表示为f={fc,fT,fz}T

fc=Q4N；fz=011；fT=fT1fT2fT3；

fTi二g{（mti号）（hiih2i）...（mtN号）仇“暂h2N,i）}T

fT2二叫2宀皿沁八

兀3n

n応t

g二m^g{1,0,-1,...,sin}.

232求解方法

本文采用Newmark-B法，利用MATLAB^件编程求解矩阵方程组（2-17）,获得系统的位移响应

三、实际算例

根据

（二）中建立的计算模型与求解方法，本文给出以下实际算例。

实例研究一辆10节编组的列车通过一座简支梁桥时，引起的桥梁振动，并利用TMD控制桥梁振动。

列车采用德国ICE动车和拖车，前后2节动车中间8节拖车编组，桥梁为一全长32m简支梁桥。

具体车辆与桥梁参数见附录。

3.1桥梁静挠度

根据材料力学中简支梁在均布压力下跨中挠度的计算公式，本文算例中的桥

梁在自重下跨中挠度为：

3.2实施控制前，列车过桥时引起的跨中振动响应

如图2,给出了列车以100km/h车速匀速通过时，简支梁跨中挠度的时

程曲线。

t=0s时，列车开始上桥，约9s时，列车刚好完全离开桥梁。

图2100km/h车速下跨中振动响应

从图中可以看出，当列车以100km/h的速度通过时，跨中最大挠度发生在列

车刚上桥后，为60.4mm，相对于跨中静挠度27.9mm超出一倍以上，振幅为32.5mm,这对于桥梁结构本身和列车的安全都是有害的也是危险的，因此需要对其进行控制。

图中，t=9s后列车离开桥梁，跨中位移并没有衰减，而是继续作以静挠度为均值，以列车刚离开桥瞬间振幅为幅值的简谐振动。

这是因为算例中的简支梁没

有考虑桥梁本身的阻尼，当列车离开桥梁后，桥梁自由振动，此后跨中响应仅决定于其初值条件即车离开桥时跨中的振动情况，由于不存在阻尼这种振动将持续

不会衰减，但这仅是算例中假设前提下的情况。

为研究桥梁跨中位置在列车通过时相对于静平衡位置的振动，将图3.1中的

iiiilliiS1二

时程曲线沿纵坐标向下平移27.9mm，得到图3如下：

「丁……

=-'■I■■I■=--]{-■-•■■■■-I■----■■■---JJ■J-■-|-»-"...-

|-|j||l|i-l-lI-—HjlJnJrLrrt

time/s

图3跨中振幅时程曲线

3.3实施控制前，跨中振幅随车速的变化情况

本为计算了列车以60km/h-200km/h不同车速通过桥梁时，跨中振幅的变化情况，如图4所示。

图4桥梁的振幅随车速的变化曲线

从图中可以看出，随着列车过桥车速的增加，简支梁跨中振幅基本呈增加趋势，个别车速下振幅出现局部峰值，车速为185km/h时振幅甚至接近42mm

3.4利用单个TMD空制桥梁在列车通过时的振动

本文以车速为100km/h为例，讨论单个TMD寸桥梁振动的控制作用。

计算中

的TMD质量、阻尼和刚度参数由DenHartog参数调整公式（式3-1）给出

其中，卩为TMD质量比，Cz和cc分别为TMD勺阻尼系数和临界阻尼系数。

如图5所示，给出了车速100km/h，跨中悬挂质量比为0.08%的单个TMD寸,桥梁跨中振幅的时程曲线。

图5单个TMD控制下的跨中振动曲线

从图中可以看出，跨中悬挂质量比为0.08%的单个TMD时，跨中振幅为

30.6mm相对于控制前的32.5mm振幅，控制效果为5.85%。

若改变TM［质量比，将获得不同的控制效果。

于是，以控制效果最大为控制目标，可获得最佳TMD

质量比参数。

同时，图中看出当列车离开桥梁后，跨中位移呈现向静平衡位置衰减趋势，这是由于模型中考虑了TMD阻尼的作用。

3.5单个TMD空制的最佳质量比

如图6所示，本文给出了车速为100km/h时，单个TMD的控制效果随TMD质量比变化曲线。

图6单个TMD的控制效果随TMD质量比变化曲线

从上图可以看出质量比卩=0.05%寸，获得最佳控制效果为24.3%,此时跨中

振幅为24.6mm最大挠度52.5mm该TMD减振效果显著。

3.6实现MTM对桥梁振动的控制

MTM形式多样，涉及的参数也多如：

TMD的悬挂位置，各TMD的质量，阻尼,刚度，TMD相互间的频率间隔等。

本文算例仅讨论频率呈线性分布，等间距悬挂的5个TMD勺控制作用。

图7给出了等质量比，频率间线性分布的5个TMD等间距悬挂时，跨中振动

的时程曲线，其中，MTM参数为质量比卩=0.001%,频率间隔df=3Hz。

图7MTMD控制下的跨中振幅曲线

从上图可以看出，5个TMD控制时，跨中振幅为24.2mm,控制效果为25.54%,相对于最佳质量比的单个TMD控制效果虽然只增加了1.24%，但总质量却只有单个TMD的1/10,这非常有利于降低悬挂TMD对桥梁静挠度的影响。

同时，如果调节MTMD的参数，可以获得不同的控制效果。

于是，以控制效果最大为目标，以质量比和频率间隔为优化变量，根据优化理论，利用二维优化搜索方法可以获得MTMD的最佳参数。

由于涉及的程序较大，本文受条件限制未能利用该方法研究MTMD的最佳参数，只是给出了保持总质量比的前提下控制效果随频率间隔的变化情况（如图8）。

图8MTMD控制效果随频率间隔的变化曲线

从上图可以看出，控制总质量为0.05%,当频率间隔较低时，随着df增加,控制效果呈增加趋势但变化不明显；当df=11.5Hz时，控制效果取最大值；当频率间隔高于11.5HZ时，控制效果明显迅速衰减。

所以取频率间隔为11.5Hz,可

以获得最佳控制效果为26.1%。

3.7算例结论

3.1~3.6的算例中，本文运用

（二）中建立的模型以及求解方法，实现了TMD和MTMD对简支梁桥在列车匀速通过时的振动响应的控制。

四、总结

本文讨论了列车过桥时引起的车桥耦合振动，建立了车辆一简支梁桥与车辆—简支梁桥一TMD耦合振动微分方程，推导了方程的求解过程。

讨论了TMD对桥梁振动的控制作用，利用数值计算研究了TMD的参数优化对控制效果的影响。

在建立理论模型的基础上，运用该模型计算了实际车桥耦合振动响应，并实

现了TMD对桥梁的控制作用。

但本文中的模型还十分粗糙，与实际情况差距较大,若要指导实际工程应用尚需更加符合实际的细化模型。

同时，本文没有验证

数值计算结果的可靠性。

参考文献

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中国铁道科学，1998年3月.

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[13]晋智斌,强士中,李小珍.高速列车-桥梁竖向随机振动的时域分析方法.地震工程与工程振动，2008,06.

附录一：

实际算例中车桥参数表

桥梁参数

全长L=32m弯曲刚度EI=5.18e10单位长度质量m=1.08e4

车辆参数表

动车参数

拖车参数

车体质量/kg

5.88e4

4.55e4

构架质量/kg

6.45e3

3.87e3

车体的点头刚度/kg*m2

3.089e6

2.391e6

二系阻尼系数/kg/s

9e4

0.292e5

一系阻尼系数/kg/s

3e4

0.219e5

二系弹簧刚度/N/m

1.52e6

0.324e6

一系弹簧刚度/N/m

3.418e6

2.82e7

轮对间隔/m

11.46

附录二：

数值计算程序代码

%用纽马克法计算结构的动力学运动方程，返回值为简支梁跨中挠度

%单个TMD空制

functionw_mid=bz2t1（vv,t,mu）globalLvax1ax2dax1dax2;

rn=5;

n=rn;%所考虑桥梁振型的前n阶

nn=n+41;

g=9.81;

%重力加速度m/sA2

EI=5.18e10;

m=10.8e3;

L=32;

v=vv/3.6;

%列车移动荷载的速度km/h（->m/s）

Ms1=5.88e4;

%车体质量kg

Mp1=6.45e3;

%构架质量（含轮对质量）kg

Is1=3.089e6;

%车体的点头刚度kg*mA2

Cs仁0.9e5;

%二系阻尼系数kg/s

Cp1=0.3e5;

%一系阻尼系数kg/s

Ks仁1.52e6;

%二系弹簧刚度N/m

Kp1=2.418e6;

%一系弹簧刚度N/m

ax1=11.46;

%轮对间隔m

Ms2=4.55e4;

%车体质量kg

Mp2=3.87e3;

%构架质量（含轮对质量）kg

Is2=2.391e6;

%车体的点头刚度kg*mA2

Cs2=0.292e5;

%二系阻尼系数kg/s

Cp2=0.219e5;

%一系阻尼系数kg/s

Ks2=0.324e6;

%二系弹簧刚度N/m

Kp2=28.2e6;

%一系弹簧刚度N/m

ax2=17;

%轮对间隔m

dax仁3.67+3.5;

dax2=3.67*2;

c1=EI/m/LA4*piA4;

%桥梁自由振动频率1/s

c2=pi/L;

%c2*v车辆行进谐振频率1/s

c3=2*Mp1/m/L;

c4=Ms1/m/L;c5=2*ls1/m/L/ax1;

c6=（2*Mp1+Ms1）*g/m/L;

c7=2*Mp2/m/L;

c8=Ms2/m/L;

c9=2*ls2/m/L/ax2;

c10=（2*Mp2+Ms2）*g/m/L;

l=zeros（20,1）;

%第i个轮对与以一个轮对之间的距离li-----m

（2）=ax1;

I（3）=ax1+dax1;

forj=4:

%判断奇偶

ifrem（j,2）==0

I（j）=l（j-1）+ax2;

else

I（j）=l（j-1）+dax2;

end

I（19）=l（18）+dax1;

I（20）=I（19）+ax1;

k0=zeros（1,n）;

nt=5;

f0=sqrt（c1）;%基频

Mk=mu*m*L;

Kk=m*L*mu*c1/（1+muF2;

Ck=2*Mk*sqrt（3*mu/8/（1+mu）A3）*f0;

m10=ones（1,n）;

m11=diag（m10）;

m21=zeros（41,n）;

m20=[Mp1,Mp1,Ms1,ls1,...

Mp2,Mp2,Ms2,ls2,...

Mp1,Mp1,Ms1,ls1,Mk];

m22=diag（m20）;

c11=zeros（n,n）;

c12=zeros（n,41）;

c22仁[Cp1+Cs1,0,-Cs1,0.5*ax1*Cs1;

0,Cp1+Cs1,-Cs1,-0.5*ax1*Cs1;

-Cs1,-Cs1,2*Cs1,0;0.5*ax1*Cs1,-0.5*ax1*Cs1,0,0.5*ax1*ax1*Cs1];

c222=[Cp2

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