2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在，使得，对任何x和y，成立。
求：
（1）f（0）；
（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：
由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：
（1）令y＝0代入，则，∴
。
若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，则，又由
（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：
①f（x）＞0，x∈N；②；③f
（2）＝4。
同时成立？
若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
分析：
由题设可猜想存在，又由f
（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：
（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。
（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。
综上所述，x为一切自然数时。
3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：
（1）f
（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
分析：
由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f
（1）＝0，f（9）＝2。
解：
（1）∵，∴f
（1）＝0。
（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故
，解之得：
8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。
如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
分析:
由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：
设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：
（1）f（x）的奇偶性如何？
说明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？
说明理由。
分析:
由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：
f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。
解：
（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有
，∴在定义域中。
∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。
设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。
f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。
综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。
分析：
由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：
（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，又，故。
抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1.已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。
解：
的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足
从而函数f（x）的定义域是［1，4］
评析：
一般地，已知函数的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。
例2.已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解：
的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得
所以函数的定义域是
评析：
这类问题的一般形式是：
已知函数f（x）的定义域是A，求函数的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3.已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：
①；②，求f（3），f（9）的值。
解：
取，得
因为，所以
又取
得
评析：
通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题
例4.设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。
解：
令，得，即有或。
若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。
由于对任意均成立，因此，对任意，有
下面来证明，对任意
设存在，使得，则
这与上面已证的矛盾，因此，对任意
所以
评析：
在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题
例5.设对满足的所有实数x，函数满足，求f（x）的解析式。
解：
在中以代换其中x，得：
再在
（1）中以代换x，得
化简得：
评析：
如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。
通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题
例6.设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：
在R上为增函数。
证明：
在中取，得
若，令，则，与矛盾
所以，即有
当时，；当时，
而
所以
又当时，
所以对任意，恒有
设，则
所以
所以在R上为增函数。
评析：
一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题
例7.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。
解：
取得：
，所以
又取得：
，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
七、对称性问题
例8.已知函数满足，求的值。
解：
已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。
根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。
所以
将上式中的x用代换，得
评析：
这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：
设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9.定义在R上的函数f（x）满足：
对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0
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