1112类比推理教案北师大版选修22.docx

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1112类比推理教案北师大版选修22

1．2　类比推理

（教师用书独具）

●三维目标

1．知识与技能

（1）引导学生发现类比推理的特征，概括类比推理的定义，知道类比推理是科学发现的重要方法；

（2）掌握类比推理的一般性步骤“分析、比较→提出猜想→验证”，并能简单运用类比推理解决问题．

2．过程与方法

学生通过分析具体例子所反映出的思维过程，从中提炼类比推理的过程，然后再概括出类比推理的含义．培养学生以旧知识作基础，推测新结果的类比发现能力．

3．情感、态度与价值观

（1）通过空间与平面，向量与数、无限与有限，不等与相等的类比，使学生感受可以从熟悉的知识中得到启发，发现可以研究的问题及其研究方法；

（2）通过本节的学习和运用实践，体会类比推理的价值，学习用类比的方法提出问题、解决问题的探究精神，培养创新思维．

●重点难点

重点：

能利用类比进行简单的推理．

难点：

用类比进行推理做出猜想．

教学时可从生活实例出发引导学生发现有类似特征的两类对象，然后根据学生对平面几何、立体几何中的诸多已知的公理、定理的比较、分析，及进一步拓展，引导学生概括类比推理的定义．

通过例、习题的教学探究，让学生感悟类比推理的特点和步骤，从而强化重点，实破难点．

（教师用书独具）

●教学建议

本节内容是安排在学习了立体几何，平面几何等可类比知识之后，从中挖掘、提炼出类比推理的含义和方法，在人类发明、创造活动中，类比推理扮演了重要角色，因此，本节课的重点应放在学生主动探究新的结论上面，宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心设计的问题情境的指引下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“类比－猜想”为基本内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，在探究中创新．

●教学流程

⇒⇒⇒⇒通过探究完成例3及其变式训练，使学生掌握由平面到空间，由“低维”到“高维”的类比规律，发现新结论.⇒⇒

课标解读

1.了解类比推理的含义，能利用类比推理进行简单的推理．（重点、难点）

2.体会合情推理在数学发现中的作用.

类比推理

【问题导思】　

已知三角形的如下性质：

（1）三角形的两边之和大于第三边；

（2）三角形的面积等于高与底乘积的.

1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．

【提示】　

（1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．

（2）四面体的体积，等于底面积与高乘积的.

2．以上两个推理有什么共同特点？

【提示】　根据三角形的特征，推出四面体的特征．

3．以上两个推理是归纳推理吗？

为什么？

【提示】　不是，归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．

1．类比推理

（1）类比推理的定义：

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理．

（2）类比推理的特征：

类比推理是两类事物特征之间的推理．

利用类比推理得出的结论不一定是正确的．

2．合情推理与演绎推理

合情推理是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．

合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结论不一定正确．对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明．

演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.

等差数列与等比数列的类比

　等差数列与等比数列的定义、通项公式及性质有下列特征：

等差数列

等比数列

定义

an－an－1＝d（n≥2）

＝q（n≥2）

通项公式

an＝a1＋（n－1）d

an＝a1qn－1

性质

若m＋n＝p＋q＝2t，则am＋an＝ap＋aq＝2at

若m＋n＝p＋q＝2t，则am·an＝ap·aq＝a

从上述结论可以看出两个数列中各自运算的规律为：

和积，差商，乘乘方，

（1）对于等差数列{an}，已知n，n1，n2，n3∈N*，若n1＋n2＋n3＝3n，则有an1＋an2＋an3＝3an.类比这一性质写出等比数列{bn}类似的性质；

（2）你能将

（1）的结论分别在等差数列{an}和等比数列{bn}中加以推广吗？

【思路探究】　根据两数列运算规律加以类比，然后用归纳推理加以推广．

【自主解答】　

（1）由题设知“和积，乘乘方”，故在等比数列{bn}中，若n1＋n2＋n3＝3n，则有bn1·bn2·bn3＝b.

（2）由下列结论

等差数列{an}

等比数列{bn}

m＋n＝2t

am＋an＝2at

bm·bn＝b

n1＋n2＋n3＝3n

an1＋an2＋an3＝3an

bn1·bn2·bn3＝b

可以推广到一般情形：

若n1＋n2＋n3＋…＋nm＝m·n.则对等差数列{an}有an1＋an2＋an3＋…＋anm＝m·an.

对比数列{bn}有bn1·bn2·bn3…bnm＝b.

1．找准等差数列、等比数列之间项与项之间运算的类比特征，是解决本题的关键．

2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：

和积，差商，乘乘方，除开方．

设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：

设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_____________________________________，

__________，成等比数列．

【解析】　等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，于是可得类比结论为：

设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．

【答案】　　

新、旧概念的类比

　类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，请写出该等和数列的通项公式与前n项和公式．

【思路探究】　

【自主解答】　定义“等和数列”：

在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．

由上述定义，得an＝

所以Sn＝

1．本题的关键是类比等差数列的定义写出等和数列的定义．

2．这类题目一定要找准新、旧概念之间可以确切表达的相似性，进而由原有的概念去推测新的概念．

把上例中的“等差数列”改为“等比数列”，“等和数列”改为“等积数列”，“公和为5”改为“公积为6”，结果如何？

【解】　等积数列：

在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作该数列的公积．

由定义，得an＝

前n项和Sn＝

平面几何与立体几何的类比

　如图1－1－8，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.

图1－1－8

（1）求证：

CC1⊥MN；

（2）在任意△DEF中有余弦定理DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

【思路探究】　

（1）用“线面垂直”证“线线垂直”；

（2）考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，已知条件可得△PMN为三棱柱的直截面，可选取三棱柱的直截面三角形作类比对象．

【自主解答】　

（1）证明：

∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，

∴BB1⊥平面PMN.

∴BB1⊥MN.

又∵CC1∥BB1，

∴CC1⊥MN.

（2）在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有S2▱ABB1A1＝S2▱BCC1B1＋S2▱ACC1A1－2S▱BCC1B1·S▱ACC1A1cosα.

其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．

∵CC1⊥平面PMN，

∴上述的二面角的平面角为∠MNP.

在△PMN中，

∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcos∠MNP，

∴PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP.

由于S▱BCC1B1＝PN·CC1，S▱ACC1A1＝MN·CC1，

S▱ABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，

∴有S2▱ABB1A1＝S2▱BCC1B1＋S2▱ACC1A1－2S▱BCC1B1·S▱ACC1A1·cosα.

1．由“二维”平面扩展到“三维”空间，需要有“升维”的变化．因此，平面中的“点、线、面”一般类比成空间中的“线、面、体”．

2．很多情形中，不仅仅是结论之间可以类比；解决问题的思路和方法也可以类比，如本题中结论的证明．

平面中的三角形和空间中的四面体有很多类似的性质．例如在三角形中：

（1）三角形两边之和大于第三边；

（2）三角形的面积S＝×底×高；

（3）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；

（4）三角形的面积S＝（a＋b＋c）r（r为三角形内切圆的半径，a，b，c为三角形三边长）；

……

请类比以上性质，写出空间四面体的相关结论．

【解】　根据三角形的性质，可类比得到空间四面体的相关性质：

（1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

（2）四面体的体积V＝×底面积×高；

（3）四面体的中位面平行于第四个面，且等于第四个面面积的；

（4）四面体的体积V＝（S1＋S2＋S3＋S4）r（r为四面体内切球的半径，S1，S2，S3，S4为四面体四个面的面积）.

类比不当而致误

　若数列{an}（n∈N＋）是等差数列，则有数列bn＝（n∈N＋）也是等差数列．

类比上述性质，相应地：

若数列{cn}（n∈N＋）是等比数列，且cn>0，则数列dn＝________（n∈N＋）也是等比数列．

【错解】　注意到bn＝中的分子是等差数列{an}的前n项和，故可类比成等比数列{cn}的前n项的积．

因此，得到dn＝也是等比数列，应填.

【错因分析】　本题的解答忽视了对等差数列中“除法”运算的类比．

【防范措施】　运用类比推理解决问题时，首先明确类比关系，然后分析类比的角度．如本题中应抓住“运算”这一角度恰当类比．

【正解】　由等差、等比数列之间运算的相似特征知，

“和积，商开方”．

容易得出dn＝也是等比数列，应填.

1．归纳推理与类比推理是常见的合情推理，其推测结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础．

2．类比推理的一般步骤是：

第一步，找出两类事物之间的相似性或一致性；第二步，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

3．根据解决问题的需要，我们有时对概念、结论进行类比，有时对方法进行类比．

1．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为（　　）

A．a1a2a3…a9＝29

B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29

C．a1a2a3…a9＝2×9

D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9

【解析】　根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.

【答案】　D

2．已知“平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”，类比这一结论可得出以下结论：

①空间内，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条；

②空间内，过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条；

③空间内，过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一条；

④空间内，过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个．

其中，正确结论的个数为（　　）

A．0　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

【解析】　本题