高中数学北师大版选修12精品学案第四章 数系的扩充与复 数的引入 章末小结.docx

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高中数学北师大版选修12精品学案第四章数系的扩充与复数的引入章末小结

章末小结

　　1.复数的概念及主要代数性质

（1）复数:

形如z=a+bi（a,b∈R）的数叫作复数,其中i是虚数单位,i2=　-1　,a,b分别叫它的　实部　和　虚部　. 

（2）复数的分类:

设复数z=a+bi（a,b∈R）,

①当b=0时,z为　实数　; 

②当b≠0时,z为　虚数　; 

③当a=0,且b≠0时,z为　纯虚数　. 

（3）复数相等的条件:

在复数集中任意两个复数a+bi,c+di（a,b,c,d∈R）,规定:

a+bi与c+di相等的充要条件是　a　=　c　且　b　=　d　,换句话说,如果两个复数实部和虚部分别　相等　,那么就说这两个复数相等. 

（4）两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,就不能比较它们的大小.

（5）共轭复数:

当两个复数实部　相等　,虚部互为　相反数　时,这两个复数互为共轭复数. 

2.对复平面与复数的几何性质的理解

（1）复平面:

建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作　实轴　,y轴叫作　虚轴　. 

（2）复数z=a+bi（a,b∈R）与复平面上的点Z（a,b）建立了一一对应的关系.

（3）复数的模:

因为z=a+bi（a,b∈R）与复平面内的向量一一对应,所以向量的模就叫作复数z=a+bi的模,因此有|z|= 　,且有z·=　a2+b2　. 

3.复数的四则运算及运算律

（1）复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:

设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R）,则

①z1±z2=　（a±c）+（b±d）i　; 

②z1·z2=　（ac-bd）+（ad+bc）i　; 

③== +i　（z2≠0）. 

（2）结论:

①在复数代数形式的四则运算中,加法、减法、乘法运算都可以按多项式运算法则进行,只是在运算过程中把i2换成　-1　,然后实、虚部分别合并;除法法则需分子分母同乘分母的　共轭复数　,使分母实数化. 

②记住一些常用的结果,如i的有关性质,可简化运算,提高运算速度.

③若z为虚数,则|z|2≠z2.

（3）运算律

①复数的加法运算满足　交换律　、　结合律　. 

②复数的乘法运算满足　交换律　、　结合律　、乘法对加法的　分配律　. 

③复数的减法是　加法　的逆运算,复数的除法是　乘法　的逆运算. 

4.复数与其他知识的联系与区别

（1）复数事实上是一对有序实数对,因此复数问题可以转化为　实数　问题来解决,复数z=a+bi（a,b∈R）与复平面内的向量=（a,b）一一对应,故复数与平面解析几何、平面向量联系密切. 

（2）复数代数形式的加、减运算与　平面向量　的加、减运算是一致的,复数代数形式的加法、减法、乘法运算与　多项式　的加法、减法、乘法运算是类似的. 

题型1:

复数的基本概念和运算

已知复数z=（2+i）m2--2（1-i）,当实数m取什么值时,复数z是:

（1）零;

（2）虚数;

（3）纯虚数;

（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数?

【方法指导】得结果

结合条件确定m

对复数z进行化简

【解析】z=（2+i）m2-3m（1+i）-2（1-i）=（2m2-3m-2）+（m2-3m+2）i.

（1）当即m=2时,z为零.

（2）当m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1时,z为虚数.

（3）当即m=-时,z为纯虚数.

（4）当2m2-3m-2=-（m2-3m+2）,即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

【小结】本题考查了复数的四则运算、复数的分类、复数相等的充要条件、复数的几何意义等知识点.

题型2:

复数的几何意义

已知z是复数,z+2i、均为实数,且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.

【方法指导】a的范围←解不等式组←列不等式组←化简（z+ai）2←求出z←列方程组←设z=c+di

【解析】根据题意,设复数z=c+di（c,d∈R）,

则z+2i=c+（d+2）i为实数,即d+2=0,解得d=-2,所以z=c-2i.

又==为实数,即=0,

解得c=4,所以z=4-2i.

∵（z+ai）2=（4-2i+ai）2=16-（2-a）2-8（2-a）i对应的点在第一象限,

∴⇒解得2

∴实数a的取值范围是（2,6）.

【小结】复数的几何意义使复数及复平面内的数学问题转化成一系列的实数问题.因而,需熟记各种转化的条件和实数、虚数、纯虚数满足的条件.

题型3:

复数的综合应用

设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围;

（2）设u=,求证:

u为纯虚数;

（3）求ω-u2的最小值.

【方法指导】先设出z的代数形式,然后利用ω=z+是实数为突破口求出|z|,结合-1<ω<2的范围求出z的实部的取值范围.证明u为纯虚数只需求出u的代数形式后,说明它的实部为0,虚部不为0即可.求ω-u2的最小值,这里可利用重要不等式.

【解析】

（1）设z=a+bi（a,b∈R,b≠0）,

则ω=a+bi+=（a+）+（b-）i.

∵ω是实数,b≠0,∴b-=0,∴a2+b2=1,∴|z|=1,

∴ω=2a,又-1<ω<2,∴z的实部的取值范围是（-,1）.

（2）u===

==-i.

又a∈（-,1）,b≠0,∴u为纯虚数.

（3）ω-u2=2a+=2a+=2a-

=2a-1+=2[（a+1）+]-3.

∵a∈（-,1）,∴

∴ω-u2≥1,当且仅当a+1=时,即a=0时等号成立.

故ω-u2的最小值为1.

【小结】没有给定复数的具体形式时,要注意首先设出其代数形式z=a+bi（a,b∈R）,这是解决复数问题时的一般思路,本题将复数与不等式相结合考查,具有一定的综合性.

1.（2012年·全国新课标卷）下面关于复数z=的四个命题:

p1:

|z|=2;p2:

z2=2i;p3:

z的共轭复数为1+i;p4:

z的虚部为-1.

其中的真命题为（　　）.

A.p2,p3　　　B.p1,p2　　　C.p2,p4　　　D.p3,p4

【解析】由题意得z===-1-i,则=,z2=（-1-i）2=2i,=-1+i,z的虚部为-1,所以p2,p4是正确的.

【答案】C

2.（2013年·全国Ⅱ卷）设复数z满足（1-i）z=2i,则z=（　　）.

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

【解析】z===i（1+i）=-1+i.

【答案】A

3.（2013年·安徽卷）设i是虚数单位,若复数a-（a∈R）是纯虚数,则a的值为（　　）.

A.-3　　B.-1　　C.1　　D.3

【解析】a-=a-=a-=a-（3+i）=（a-3）-i,

所以a=3.

【答案】D

一、选择题

1.复数的虚部是（　　）.

A.-1　　　　B.1　　　　C.i　　　　D.-i

【解析】==-1+i.

【答案】B

2.i为虚数单位,复平面内表示复数z=的点在（　　）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限　　D.第四象限

【解析】因为z====--i,所以其在复平面上对应的点为（-,-）,在第三象限.

【答案】C

3.已知复数z满足（3+4i）z=25,则z=（　　）.

A.-3+4iB.-3-4i

C.3+4iD.3-4i

【解析】（法一）由（3+4i）z=25,得z===3-4i.

（法二）设z=a+bi（a,b∈R）,则（3+4i）（a+bi）=25,即3a-4b+（4a+3b）i=25,所以解得故z=3-4i.

【答案】D

4.已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=（　　）.

A.-2i　　　　B.2i　　　　C.-4i　　　　D.4i

【解析】∵M∩N={4},∴4∈M,∴zi=4,∴z==-4i.

【答案】C

5.已知复数z满足（1-i）z=2,则||为（　　）.

A.1+iB.1-iC.D.2

【解析】z====1+i,=1-i,所以||=|1-i|=.

【答案】C

6.若复数（a∈R,i为虚数单位）是纯虚数,则实数a的值为（　　）.

A.2B.4C.-6D.6

【解析】==,根据已知条件a=-6.

【答案】C

7.若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于（　　）.

A.±2B.-2

C.±2iD.-2i

【解析】z2+2=0⇒z=±i⇒z3=±2i.

【答案】C

8.已知=b+i（a,b∈R）,其中i为虚数单位,则a+b等于（　　）.

A.-1B.1C.2D.3

【解析】由已知条件a+2i=-1+bi,

则a=-1,b=2,a+b=1.

【答案】B

9.若纯虚数z满足（2-i）z=4+bi,则实数b等于（　　）.

A.-2B.2C.-8D.8

【解析】（法一）设z=ai（a∈R且a≠0）,则ai（2-i）=4+bi,

即2ai-ai2=4+bi,∴a+2ai=4+bi,

即∴b=8.

（法二）由（2-i）z=4+bi,

得z====+i,则=0,∴b=8,选D.

【答案】D

10.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在（　　）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】由题意得z（1+i）-（1-i）（1+2i）=0,即z=====2-i,

所以=2+i,对应点（2,1）在第一象限,选A.

【答案】A

二、填空题

11.复数=　　　　. 

【解析】==-2i.

【答案】-2i

12.复数（i为虚数单位）的实部等于　　　　. 

【解析】∵==-3-i,∴-3-i的实部等于-3.

【答案】-3

13.设复数z满足（z-2i）（2-i）=5,则z=　　　　. 

【解析】由（z-2i）（2-i）=5,得z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.

【答案】2+3i

14.若（x+i）i=-1+2i（x∈R）,则x=　　　　. 

【解析】由题意,得x+i====2+i,

所以x=2.

【解析】2

15.若z=,则z100+z50+1=　　　　. 

【解析】z==,z100+z50+1=（）100+（）50+1=（）50+（）25+1=i50+i25+1=i2+i+1=i.

【答案】i

三、解答题

16.已知z1=5+10i,z2=3-4i,=+,求z.

【解析】=+=,则z=

===

=5-i.

17.已知复数z1满足（z1-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位）,复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.

【解析】∵（z1-2）（1+i）=1-i,

∴z1=2-i.

设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i.

∵z1·z2∈R,∴a=4,

∴z2=4+2i.

18.已知复数z=（3+bi）（1+3i）（b∈R）是纯虚数.

（1）求b的值;

（2）若w=,求复数w的模|w|.

【解析】

（1）z=（3+bi）（1+3i）=（3-3b）+（9+b）i.

∵z是纯虚数,

∴3-3b=0,且9+b≠0,

∴b=1.

（2）w====-i,

∴|w|==.

19.已知复数z=1-2i（i为虚数单位）.

（1）把复数z的共轭复数记作,若·z1=4+3i,求复数z1;

（2）已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.

【解析】

（1）由题意得=1+2i,

所以z1===2-i.

（2）由题意知2（1-2i）2+p（1-2i）+q=0,

化简得（-6+p+q）+（-8-2p）i=0.

根据复数相等的条件,有-6+p+q=0且-8-2p=0,

解得p=-4,q=10.

20.已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.

（1）求复数z;

（2）若复数（z+ci）2在复平面上对应的点在第一象限,求实数c的取值范围.

【解析】

（1）设复数z=a+bi（a,b∈R）,

由题意知,z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R,

∴b+2=0,即b=-2.

又==+i∈R,

∴2b+a=0,即a=-2b=4.

∴z=4-2i.

（2）由

（1）可知z=4-2i,

∴（z+ci）2=（4-2i+ci）2=[4+（c-2）i]2

=16-（c-2）2+8（c-2）i,

其对应的点在复平面的第一象限,

∴解得2

即c的取值范围为（2,6）.

21.已知动点P在复平面上对应的复数为z=t+3+3i,其中t是使为纯虚数的复数,求点P的轨迹方程.

【解析】设t=x1+y1i（x1,y1∈R）,则

===为纯虚数,得+=9.

设z=x+yi（x,y∈R）,

则t=z-3-3i,x1+y1i=x+yi-3-3i,

代入+=9,得（x-3）2+（y-3）2=9.

选修1-2模块测试评估卷

一、选择题

1.下列两变量中具有相关关系的是（　　）.

A.球的体积与半径

B.匀速行驶车辆的行驶距离与时间

C.正方体外接球的表面积与正方体的棱长

D.日照时间与棉花的产量

【解析】A、B、C项都是具有确定性的函数关系.本题只有D项才具有相关关系.

【答案】D

2.i为虚数单位,（）2=（　　）.

A.-1　　　　B.1　　　　C.-i　　　　D.i

【解析】（）2===-1.

【答案】A

3.某药厂生产某产品的工艺过程如下:

从上图可以看出药品生产过程需要检验（　　）.

A.1次B.2次C.3次D.4次

【答案】C

4.把正整数按下图所示的规律排序,则从2003到2005的箭头方向依次为（　　）.

A.

B.

C.

D.

【答案】B

5.设f（z）=,z1=3+4i,z2=-2-i,则f（z1-z2）等于（　　）.

A.1-3iB.-2+11i

C.-2+iD.5-5i

【答案】D

6.已知回归直线斜率的估计值为1.23,样本点的中心为点（4,5）,则回归直线的方程为（　　）.

A.y=1.23x+4B.y=1.23x+5

C.y=1.23x+0.08D.y=0.08x+1.23

【解析】回归直线必过点（4,5）,故其方程为y-5=1.23（x-4）,即y=1.23x+0.08.

【答案】C

7.下列有关回归的说法,正确的是（　　）.

①相关关系的两个变量不一定是因果关系;

②散点图能直观地反映数据的相关程度;

③回归直线能代表线性相关的两个变量之间的关系;

④任何一组数据都有回归直线方程.

A.①②B.①②③C.②④D.①②③④

【答案】B

8.在一次对性别与吃零食是否有关的调查中,得到如下数据:

吃零食

不吃零食

合计

男

6

7

13

女

8

9

17

合计

14

16

30

根据此表,得到如下结论,其中正确的是（　　）.

A.在此次调查中有90%以上的把握认为吃零食与性别有关

B.在此次调查中有95%的把握认为吃零食与性别有关

C.在此次调查中有99%的把握认为吃零食与性别有关

D.在此次调查中没有充分的数据证明吃零食与性别有关

【解析】χ2=≈0.00242<2.706,选D.

【答案】D

9.在所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性,选项为（　　）.

A.

B.

C.

D.

【解析】本题考查学生对图形类问题归纳的能力.在第一行中,第一个图叠加第二个图为第三个图,第二行也满足此规律,所以第三行也应满足此规律.又第三行的前两个图叠加为A项,故选A.

【答案】A

10.对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:

①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）;

②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）;

③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）;

④z1*z2=z2*z1.

则真命题的个数是（　　）.

A.1B.2C.3D.4

【解析】由题意得（z1+z2）*z3=（z1+z2）=z1+z2=z1*z3+z2*z3,故①正确;z1*（z2+z3）=z1（+）=z1+z1=（z1*z2）+（z1*z3）,故②正确;（z1*z2）*z3=（z1）=z1　,而z1*（z2*z3）=z1z3,故③不正确;z1*z2=z1,而z2*z1=z2,故④不正确.故选B.

【答案】B

二、填空题

11.已知i是虚数单位,实数x,y满足（x+i）i+y=1+i,则x-y的值为　　　　. 

【解析】∵（x+i）i+y=1+i,∴y-1+xi=1+i（x,y∈R）,

∴∴y=2,x=1,∴x-y=1-2=-1.

【答案】-1

12.已知复数z1=1-i,z1·z2=1+i,则z2=　　　　. 

【解析】由z1·z2=1+i,

知z2===i.

【答案】i

13.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律,第n个等式为　　　　. 

【答案】n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2

14.已知命题“若数列{an}是等比数列,且an>0,则数列bn=（n∈N*）也是等比数列”,类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个性质是　　　　　　　　　　. 

【解析】设等差数列{an}的公差为d,则bn===a1+（n-1）,

所以数列{bn}是以an为首项,为公差的等差数列.

【答案】若数列{an}是等差数列,则数列bn=也是等差数列

15.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为9,则输出S的值为　　　　. 

【解析】根据程序框图阅读判断并求解,注意程序终止的条件.

由题意,程序运行如下:

k=1<9,S=21+1=3,k=2<9;S=3+22+2=9,k=3<9;

S=9+23+3=20,k=4<9;S=20+24+4=40,k=5<9;

S=40+25+5=77,k=6<9;S=77+26+6=147,k=7<9;

S=147+27+7=282,k=8<9;S=282+28+8=546,k=9≤9;

S=546+29+9=1067,k=10>9,输出S=1067,程序结束.

【答案】1067

三、解答题

16.为了研究性格与血型的关系,抽取80名被试验者,他们的血型与性格汇总如下,试判断性格与血型是否相关.

血型性格

O型或A型

B型或AB型

总计

Ⅰ型

18

16

34

Ⅱ型

17

29

46

总计

35

45

80

　　【解析】由列联表中的数据得到:

χ2=≈2.030<2.706.

故没有充分的证据显示“血型与性格有关系”.

17.对于直线l:

y=kx+1,是否存在这样的实数k,使得l与双曲线C:

3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称?

若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

【解析】假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A（x1,y1）、B（x2,y2）.

则

由⇒（3-k2）x2-2kx-2=0,　④

由②③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2,　⑤

由④知x1+x2=,

代入⑤整理得:

ak=3与①矛盾.

故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.

18.已知点P（x0,y0）和直线l:

Ax+By+C=0,求点P（x0,y0）到直线l的距离d,写出其算法并画出算法框图.

【解析】算法如下:

第一步,输入P点的坐标（x0,y0）及直线方程的系数A,B,C;

第二步,计算z1=Ax0+By0+C;

第三步,计算z2=A2+B2;

第四步,计算d=;

第五步,输出d.

程序框图如图所示.

19.已知w=-+i.

（1）求w2及w2+w+1的值;

（2）若等比数列{an}的首项为a1=1,公比q=w,求数列{an}的前n项和Sn.

【解析】

（1）w2=（-+i）2=-i-=--i.

w2+w+1=（--i）+（-+i）+1=0.

（2）由于w2+w+1=0,

wk+2+wk+1+wk=wk（w2+w+1）=0,k∈Z.

∴Sn=1+w+w2+…+wn-1=

∴Sn=

20.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位:

千元）的数据如下表:

年　份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代号t

1

2

3

4

5

6

7

人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y关于t的线性回归方程;

（2）利用

（1）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附:

回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b=,a=-b.

【解析】

（1）由所给数据计算得=×（1+2+3+4+5+6+7）=4,

=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3,

（ti-）2=9+4+1+0+1+4+9=28,

（ti-）（yi-）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,

b===0.5,

a=-b=4.3-0.5×4=2.3,

所求回归方程为y=0.5t+2.3.

（2）由

（1）知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.

将2015年的年份代号t=9代入

（1）中的回归方程,得

y=0.5×9+2.3=6.8,

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

21.已知函数f（x）=（ax-a-x）,其中a>0,且a≠1.

（1）判断函数f（x）在（-∞,+∞）上的单调性,并加以证明;

（2）判断f

（2）-2与f

（1）-1,f（3）-3与f

（2）-2的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明.

【解析】

（1）由已知得f'（x）=（ax+a-x）>0,

所以f（x）在（-∞,+∞）上是增函数.

（2）f

（2）-2>f

（1）-1,f（3）-3>f

（2）-2.

一般的结论:

f（n+1）-（n+1）>f（n）-n（n∈N*）.

证明如下:

上述不等式等价于f（n+1）-f（n）>1,即>1,

化简得（an+1-1）（an-1）>0,

在a>0且a≠1的条件下,（an+1-1）（an-1）>0显然成立,

故f（n+1）-（n+1）>f（n）-n（n∈N*）成立.