高考数学一轮复习共87节19统计案例.docx
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高考数学一轮复习共87节19统计案例
19、统计案例
19．1独立性检验与回归分析
【知识网络】
1．了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
了解假设检验的基本思想，掌握用χ2统计量进行独立性检验的操作方法。
2．了解线性回归的基本思想、方法及初步应用（对用配方法导出回归系数公式不作要求）。
【典型例题】
[例1]
（1）用独立性检验来考察两个变量x与y是否有关系，当统计量
的值（）
A．越大，“x与y是有关系的”成立可能性越小
B．越大，“x与y是有关系的”成立可能性越大
C．越小，“x与y是没有关系的”成立可能性越小
D．与“x与y有关系”成立的可能性无关
（2）设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为
=kx+b，则（）
A．b与r的符号相同B．k与r的符号相同
C．b与r的符号相反D．k与r的符号相反
（3）已知随机事件A与B，经计算得到
的范围是3.841＜
＜6.635，则（下表是
的临界值表，供参考）（）
P（
≥x0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有95%把握说事件A与B有关B．有95%把握说事件A与B无关
C．有99%把握说事件A与B有关D．有99%把握说事件A与B无关
（4）样本相关系数r的取值范围是．
（5）若一组观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）之间满足yi=a+bxi+i（i=1，2，…，n），若i=0恒成立，r为相关系数，则r2=．
[例2]某校高二
（1）、
（2）班共100名同学，在分科选择中，一半同学（其中男生38人）选择了物理，另一半（其中男生15人）选择了历史．你能否有99%的把握说选科与性别有关？
[例3]为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，随机测得10对母女的身高如下表所示：
母亲身高x/cm
159
160
160
163
159
154
159
158
159
157
女儿身高y/cm
158
159
160
161
161
155
162
157
162
156
试对x与y进行回归分析，并预测当母亲身高为159cm时女儿的身高是多少？
[例4]在对人们的休闲方式的一次独立性检验中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要休闲方式是看电视，另外27人主要休闲方式是运动；男性中有21人主要休闲方式是看电视，另外33人主要休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）试判断性别与休闲方式是否有关系（可靠性不低于95﹪）．
【课内练习】
1．通常情况下，气温与海拔高度有关系，若要研究这种关系，可以通过（）
A．随机抽样B．二维条形图C．回归分析D．独立检验
2．给出下列关系：
①考试号与考生考试成绩；②勤能补拙；
③水稻产量与气候；④正方形的边长与正方形的面积。
其中具有相关关系的是（）
A．①②③B．①③④C．②③D．①③
3．对于n对观察数据，根据线性回归模型，对于每一个xi，对应的随机误差项εi=yi－（a＋bxi）,我们希望总体误差越小越好，即（）
A．εi越小越好B。
越小越好
C．
越小越好D．
越小越好
4．若由一个2×2列联表中的数据计算得
2=4.395,那么确认两个变量有关系的把握性有（）
A．90﹪B．95﹪C．99﹪D．99.5﹪
5．在独立性检验中，统计量
2满足条件时，才能作出“H0不成立”的判断．
6．若在一个线性回归方程中，回归截距为负且为定值，回归系数为正，则回归值将随着自变量x的增大而．
7．在一次独立性检验中，有300人按性别和是否色弱分类如下表：
男
女
正常
142
155
色弱
13
5
由此表计算得统计量
2=．
8．由一组观测数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得
，
=99.208，
，求线性回归方程．
9．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：
患慢性气管炎
未换慢性气管炎
合计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
合计
56
283
339
试问50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？
10．据不完全统计，某厂的生产原料耗费x（单位：
百万元）与销售额y（单位：
百万元）如下：
x
2
4
6
8
y
30
40
50
70
（1）对随机取到的上述4组数据，计算样本相关系数；
（2）据查表，n=4，在保证有95﹪的把握前提下，相关性检验的临界值为0.95，那么x与y是否线性相关？
若线性相关，求出线性回归方程；
（3）若实际销售额要求不少于5千万元，则原材料耗费至少要多少百万元？
19．1独立性检验与回归分析
A组
1．某养猪专业户记录了某一品种的一头猪在2～6个月的体重，由此建立的体重（单位：
kg）和饲养时间（单位：
月）的回归直线方程是y=13.15＋15.21x，由此推测这头猪7个月后的体重，正确的叙述是（）
A．体重一定是119.62kgB．体重在119.62kg以上
C．体重在119.62kg以下D．体重在119.62kg左右
2．下列说法：
①函数关系是一种确定关系
②相关关系是一种确定关系
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法
其中正确的说法共有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
3．已知变量y与x之间的相关系数是r=－0.872,查表得到相关系数临界值r0.05=0.482，要使可靠性不低于95﹪，则变量y与x之间（）
A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系
C．线性相关关系还待进一步确定D．具有确定性关系
4．有如下一组y与x数据
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
9
4
1
0
1
4
9
则x与y的相关系数r＝_____________．
5．已知方程
是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，
的单位是kg，那么针对某个体（165，56）的随机误差是．
6．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：
患慢性气管炎
未换慢性气管炎
合计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
合计
56
283
339
试问50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？
7．在一次恶劣气候的航海过程中，调查了89位男女乘客的晕船的情况，男乘客晕船的有8人，不晕船的26人；女乘客晕船的有24人，不晕船的31人；请你根据所给数据判断是否在恶劣气候下航行，女人比男人更容易晕船？
8．从高二（8）班中随机地抽选10名学生，将它们的身高、初中升学数学成绩与高一期末数学成绩列表如下：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高h（m）
1.55
1.72
1.65
1.44
1.58
1.49
1.58
1.71
1.69
1.43
入学数学成绩x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
期末数学成绩y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
试对h与y，x与y进行回归分析．若其中存在具有线性相关关系的两个变量，还请求出其回归直线方程．
19．1独立性检验与回归分析
B组
1．高尔顿在研究子女的身高与父母的身高之间遗传关系时，得到儿子身高y（英寸）与父亲身高x（英寸）的线性回归方程
，当父亲身高为72英寸时，儿子身高估计为（）
A．70英寸B．71英寸C．72英寸D．73英寸
2．对于给定的两个变量x与Y的统计数据，如果计算样本相系数
，我们可以认为（）
A．两个变量都不具有线性相关关系
B。
两个变量有99%可能性具有线性相关关系
C．两个变量有95%可能性具有线性相关关系
D．两个变量具有确定性关系
3．下列说法正确个数是（）
①若
越接近1，则两个变量线性相关程度越弱
②若
越接近0，则两个变量线性相关程度越弱
③若r越接近1，则两个变量线性相关程度越弱
④
范围应为[0，1]
A．0B。
1C。
2D。
4
4．下面的数据是年龄在40至60岁的男子中随机抽取的6个样本．分别测定了心脏功能水平y（满分100），以及每天化在看电视上的平均时间x（小时）如下表：
看电视的时间x
4.4
4.6
2.7
5.8
0.2
4.6
心脏功能水平y
52
53
69
57
89
65
则x与Y样本相关系数___________．
5．已知某车间加式零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为
，则加式600个零件大约需要h。
6．打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，试问：
每一晚打鼾与患心脏病有关吗？
患心脏病
不患心脏病
合计
每一晚打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1355
1379
合计
54
1579
1633
7．对于196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查的结果如下表所示：
又发作过心脏病
未发作过心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
8．研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间的关系，测得数据如下：
水深x（m）
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
流速Y（m/s）
1.7
1.79
1.88
1.95
2.03
2.1
2.16
2.21
试对x与Y进行相关性检验，如x与Y具有线性相关关系，求出Y对x的回归直线方程
参考答案
19．1独立性检验与回归分析
【典型例题】
[例1]
（1）B。
（2）B．
（3）A．
（4）[-1，1]．
（5）1．
[例2]1．列出2×2列联表
选物理
选历史
合计
男同学
38
15
53
女同学
12
35
47
合计
50
50
100
2．提出假设
H0：
选科与性别没有关系．
3．根据列联表中的数据计算
的值
=
≈21.24．
4．查对临界值，作出判断
因为当H0成立时，
≥6.635的概率约为0.01，所以我们有99%的把握说：
选科与性别有关．
[例3]先对x与y进行回归分析．
1．作统计假设H0：
x与y不具有线性相关关系．
2．由小概率0.05及n-2=8在《相关性检验临界值表》中查得r0.05=0.632．
3．
=158.8，
=159.1，
=47.6，
=56.9，
=37.2，
∴
≈0.71．
4．|r|=0.71＞0.632=r0.05，从而有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系，求线性回归直线方程并进行估计是有意义的．
回归系数
，回归截距
，
∴y对x的回归直线方程是
．
回归系数0.78反映出当母亲身高每增加1cm时女儿身高平均增加0.78cm，34.92可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分．
当x=159时，
．
这就是说当母亲身高为159cm时女儿的身高大致也接近159cm．
[例4]
（1）列联表
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
（2）假设H0：
“休闲方式与性别无关”，由公式得
2≈6.201，因为
2＞3.841，所以我们有95﹪以上的把握说明休闲方式与性别有关。
【课内练习】
1．C。
2．C。
3．D。
4．B。
5．
2＞2.706。
6．增大。
7．4.046。
8．
。
9．有99%的把握说：
50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关．
10．
（1）
，r≈0.9827。
（2）0.9827＞0.95，x与y之间95﹪存在线性相关关系，易求得线性回归方程为
。
（3）实际销售额要求不少于5千万元，则原材料耗费至少要5.38百万元．
19．1独立性检验与回归分析
A组
1．D。
2．B。
3．B。
4．0。
5．1.45。
6．
：
吸烟与患慢性气管炎没有关系
由公式
，P（
6.635）
0.01.
因为7.49>6.635，所以我们有99%的把握说：
50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关．
7．列联表
晕船
不晕船
总计
女
24
31
55
男
8
26
34
总计
32
57
89
（2）假设H0：
“晕船与性别无关”，由公式得
2≈3.689，因为
2＞2.706，所以我们有90﹪以上的把握说明晕船与性别有关（女人更容易晕船）。
8．h与y间不存在线性相关关系．x与y间具有线性相关关系，且回归直线方程为
=0.766x+22.4．
B组
1．B。
2．C。
3．C。
4．－0.9023．
5．6.5。
6．
：
每一晚打鼾与患心脏病无关。
由公式
，P（
6.635）
0.01。
因为68.033>6.635，所以我们有99%的把握说：
每一晚打鼾与患心脏病有关．
7．
：
心脏搭桥手术与又发作过心脏病没有关系
由公式
，P（
3.841）
0.01。
因为1.78<3.841，所以我们有99%的把握说：
心脏搭桥手术与又发作过心脏病没有关系。
8．①统计假设：
x与Y不具有线性相关关系．
②根据小概率0.05与n－2＝6在附表中查出r的一个临界值
＝0.707．
③利用计算器可以计算算出
，从而有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义．
所以所求的线性回归直线方程是
。
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