洛必达法则LHopitals rule.docx
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洛必达法则LHopitalsrule
洛必达法则（L'Hopital'srule）
ThesecondsectionL'HospitalRule
XM.Am
1.（6）LIM（a=0）;
X.>axn.An
.
Solution:
LimXMN
.amn=LimMX
NM
.
.
Eleven
=mamn（a=0）
X.>ax.Ax.>anxn
Lntan7x
（7）Lim
X.>0+lntan2x
1.Sec27x.72
Solution:
Lim,lntan7,x=Lim,Tan7,x=Lim,Tan,2,x,SEC,7x,
X.>0+,LN,tan2,xx.>0+,1,.Sec,2,2x,.2,x.>0+,Tan,7,x,SEC,2,2x,
Tan2,X
2sec27x7
=Lim,X.2,.=1
X.>0+7sec2x2
X
One
Ln（1+）
（9）Limx
X.>+,arccot,2,X
Eleven
11（.
X2）1
Solution:
Lim
Ln（1+
X）
=Lim
1+
.
X
Two
=Lim,1+,x2
=Limx2
+
+
Eleven
=1
X.>+,arctan,2,xx.>+,1,x.>+,,x,x.>+,X2,1
1+XX
Twenty-one
（14）LIM（2.）;
X.>1,x,.1,x,.1
11
Solution:
LIM（22.1）=Lim2
X1=Lim
.1.
X.>1,x,.1,x,.1,x.>1,x,.1,x.>12x,
One
（16）LIM（）Tanx
X.>0+x
.
1lim+tanx..Ln1xlim+1x
（1）
1tanxx.>+0
Solution:
LIM（）=e
LimTan
Ee00200lnxxxxxxxx.>.>
+.>
.
===elimx
E==1
X.>0+x
Twenty-one
Xsin
Thereare3.verificationlimitLimx,butnotwithl'Hopital'srulethat.
X.>0SiNx
X21'11
（SIN）2xsin.Cos
Card:
Lim=LimbecauseXXdoesnotexist,itcannotusel'Hopital'sruletosolvethelimit,
X.>0（sin,x）（x）',x.>0,cos,X
Butyoucanusethefollowingmethodstofindthelimit:
One
X2sin1
Lim,x=,LIM（x.Xsin1）=Lim,x,.Lim,xsin,1,=10.=0
X.>0,sin,xx.>0,sin,xxx.>0,sin,xx.>0,X
ThirdsectionTaylorformula
3.seekfunctionf（x）=
X3orderTaylorformulawithLagrangeremainderbypowerexpansionof（X.,4）
357
.
Solution:
F'（x）=1
That'f'（x）=1X2,f'''（x）=3X2,f（4）（x）=.15x2
Two
X4816
F（4）=2,f'（4）=1
F','（4）1.
F''（4）=3
432256
112135.74
ByTaylorformula:
X=2+（X.4）.（X.+4）（X.4）.2（X.4）.
464512384
（Eisbetweenavaluebetween4andx）
4.thenorderTaylorformulawithPenanoremainderforthepowerexpansionofthefunctionf（x）=lnXby（X.,2）
Solution:
becauseFN（）=（-1）n
Xn,f（）
（2）（-1）n
2n
）!
（）x（-1）（-1）=NN=（-1）n（-1）
Therefore:
N
F''
（2）2F（）
（2）（X-2）n
N
LN,xf=,F',X（X-2+...+...
（2）+
（2）（-2）+）+o[（-2）]x
2n!
One
）
13）2（-1）n-11
Nx）NXn
=ln2+（X-2-（X-2+...+）（-2,+o[（-2）]
22N2
5.seekfunctionf（x）=1
3orderTaylorformulawithLagrangeremainderbypowerexpansionof（x+1）
X
Solution:
becauseFN（）==（-1）
Nn+1
!
FN.
（）xn（）（-1）=-n,so...
X
F''（-1）（x+1）2,f'''（-1）（x+1）3
（）=（-1）+f'x）
FXf（-1）（+1+++++）
23!
Nnn+
（
（1））
（f）（-1）（x+1）fn.
N!
+
（n+1）!
（x+1）+1,hasavaluebetween.1andX
N+1
（=）
One
X
=-[1+（+1）+（+1）x2+..Xn（-1）n+1（x）
.
+1
N+2
）avaluebetween
FX+X（+1）]+is.1andX.
10.usetheTaylorformulatofindthelimit
Two
（1）LIM（3,x3+3,X2,.4,x4,.2x3）
X++
Thirty-four
Jie:
maket=
One
Theoriginal=lim+
1+3t.1.2t
XT-0t
Because31+=+X113
Xox+（）,41+=+X114
Xox+（）,
So313+t==+（）,4,.T=.,1,t,ot,
1tot121+（）
Two
Thirteen
T（+++）]
Primary=lim
[1T0（）][1..
Two
Tot
=lim2
Tot+（）
=3
T,0+,t,t,0+,t,
Two
.x
（2）LimcosXe2
.
X=0,x2[x+ln（1,.X）]
24x2242
解:
cosx=x
2.
+X
4.
+,and（4）.
2=x
2
+X
8
Ox+4）,LN（1x）=XX
2
Ox+2）
1（OX1..（
24244
[Ox（X+X+4.X+X+（4xOX4
）][1]）+（OX）.
原极限=lim2!
4.
Xxx
2
）]
8=lim
.
12
Ox
=1
X→02x22x→0x4
46[..Ox（（++）
22
122
1+1+XX
（3）lim2
2x→0（COSx.ex）x2
解:
1+x2+X+1=.3xOx（4.X）=cosx+EX2OX2）=++x22
1（OX（242）
（1）,
24.2
WithoutX2=x2
1234412
所以原极限=lim
1+
2
X+1.
2
X.
4.
X+o（X）
=1
X→0[1.1+（x2）2or1or2+12]X2（x2）
X..X
2
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
3.（4）=ln（1+X+x2）
1+X
2
解:
y=
1+
1
X2
+
+
XX
=
1+
1
X2
∴函数在（>0,,Life.
LIFE+）内单调递增.
Nx
（7）（N>0,x≥0Yxe）
=
3
'..1.XnXn.
解:
=NX.XEandE=1x（.）,（N>0,x≥0）
XENX
当x∈（0,n）时,and'>0,当x∈（n+时LIFE）,and'<0,
∴函数在[0,n][n+内单调递增,在,内单调递减LIFE）.
（3）当0x4.
No
2
Withoutsuchx>X+2
<<时,X
令f解:
x=sin（X）+（0,sox.2x,x∈
No,∴fx）=cosx+2sec
X.2（'）,
2
F''（X）=x+2.2secxtanx=sinX（32secX.1x∈（0）>0,,
D）.
2
因此f'（x在（0）
上单调递增故当x∈（0,2）,
2）时,FX>F（0）（）
ππ
（'）'=0,从而fx
在（0,
No
（2）上单调递增,即）>F（0）=0,sox.2x>亦即sinx+（0,0,x∈
No
2
FX）,所以
No
Withoutsuchx>X+2;xx∈（0,）.
2
（4）当0X
No
2
So>+13
X3
<<时,XX
解:
记（XX）=x3so（0,1,x∈
D）
FX.
32
'
（1）=SEC2xX2=2=2（suchasXXXX（XX））
FX..+
由'=（XX）=X.1=SEC2as2x>0,X）=知gxso内单调递增,XX
.在GX（0,
（）.（）
So即gx（XX）=g（0）
>=0.
故fx'（>0）,（0,x∈
No,从而fx在（0）
（d）内单调增加,因此fx）>F（0）,（0,x∈
No
（））.
222
即当0X
No
2
Soxx13
3>0,从而tanxx13
（0,3,x∈
No
2
）.
时>+<（5）当x时>4,2>x2.
2ln42Ln2and
解:
取f（TLN）T=2.2ln,∈（4）'（X）=ln2=.>>0,.
TT,FT
T2x24
故当x时>4,F（）x单调递增,从而fx>F（4）
（）=0,即
.2lnXLN2x>0,亦即2xX2（x>>4）.
5.讨论方程lnx=ax（其中a>0）有几个实根?
解:
取函数（）=ln+Xa,∈LIFE）,FX（）=1.,得驻点x=1,
FX.XX',
X
4
当0<<1
时,FX>0,因此函数x在（0,1
'（X）F（内单调增加））;
AA
1<<'Life
XF（）1
当x+时,F（）<0,因此函数x在（LIFE+）内单调减少.
从而f（）为最大值又limFX,FX=lim=.∞,.∞,故
1+（）（）（AA）
Ax→0x→+life
111
..
当f..=ln（1==0,即a时,曲线y=lnxAX与x轴仅有一个交点,这时原方程
..Aae
有惟一实根.
当f1=ln1.即0<<1>0,
时,曲线yLNx=Ax与x轴有两个交点,这时原方
To1.
Toe
..
程有两个实根.
当f1=ln1<0,即a>1.
时,曲线yLNx=Ax与x轴没有交点,这时原方程没有
1.
..Aae
实根.
8.（3）and（4xx1）
=++E
解:
y'=4（X+1）3former,and''（x1）=1220,formerLife.
++>,
Therefore,thecurveisconcavein（++）,andthecurveisnot
Thereisaninflectionpoint
（4）y=ln（X2,+1）;
'2x'2（x21）2x.2x2（x1）
The'x'.+1）.
Solution:
y=
X2+1;y=
（X2,+1）2=
（X2,+1）2
Makey=0,getx1=.1,X2=1.
WhenH-infinityx.1,y'<0',thecurveisin（,
Theinteriorofaninfinity.1]isconvex,
When1X1y'>0',thecurveisconcavein[-1,1];
When,
When1x+,theY'<0,thecurvein[1,++）isconvex,andthecurvehastwoinflectionpoints,respectively
Theinfinity
（1,LN2）,（1,LN2）
.
11.askawhyBisworth,thepoint（1,3）istheinflectionpointofthecurvey,=ax3,+bx2
Solution:
y'=3ax2,+2bx,y',=6ax,+2b,
Thea+b=3,6a:
+2b=0,:
a=.
Twenty-three
B=92
12.trytodeterminethecurvesy,=ax3,+bx2,+cx,+dina,B,C,D,sothatthecurveatx=.2hasahorizontaltangent,
Five
（1,.10）istheinflectionpoint,andthepoint（.2,44）isonthecurve
Solution:
y',=3ax2,+2bx,+c,y',=6ax,+2b
Thus12a,.4b,+c,=0,6a,+2b,=0,a,+b,+c,+d,=.10,.8a,+4b,,.2c,+d,=44,
Geta,=1,B,=.3,C,=.24,D,=16
14.y=f（x）hasacontinuousderivativeoforderthreeinaneighborhoodofX=x0,iff'（x0）=0,f'''（x0）=0,test
Askwhether（x0,f（x0））isaninflectionpoint?
Why?
Solution:
'f''（x0）=0maybe'f''（x0）>0,and'f'（x）,thedelta>0,whenx（x0.X0,Delta,delta）when
'f'（x）>0,thef''（x）increasedsothatwhenx（x0.Delta,x0）atf'<0'（x）,whichisin（x0.6,x0）.
Y=f（x）graphisconvex,whenx（x0,x0+8）when'f'（x）>0in（x0,x0+delta）onY=f（x）.
Thegraphisconcave,so（x0,f（x0））istheinflectionpoint
Theextremevalueandthemaximumvalueoffifthfunctions
3x2+4x+4
1.（6）y=;
X2x1
++
（++
Solution:
y==（6x,+4）（X2,x）
（x
1）
Two
.
X
（2x
1）
+
21）（3x2,+4x,+4）=
（x
.
Two
Xx
X
+2）
1）2
Makey'=0getstuck
++++
X1,=.2,X2,=0.
Whenx2y'<0,sothefunctionismonotonicallyreducedin（=.2]）;when2,x,0,y'>
2.<<.,,0,
Itfunctionsin[2,0.increaseswhen0Itcanbeseen
（2）8
Forminimumvalues,y（0）=4
Y.
Three
Formaximumvalue
One
（9）y=.32（x,+1）3
Solution:
whenx=.1,y'=.2.1
Thefunctionisundefinedwhen2/3,<0,andX=.1,sothefunctionisknown
3（x,+1）
Thereisnoextremumin（（=+++））
Theinteriorismonotonicallyreduced,sothefunctionis（
（10）YXTan
X.
Solution:
thefunctiongivenbyY=+1sec2>0ismonotonicallyincreasedin（+++）,sothatthefunctionisinfinitein（++）
Six
Value.
2.testsprovethatifthefunctiony,=ax3,+bx2,+cx,+dsatisfytheconditionB2,.3ac,<0,thenthisfunctionhasnoextremum,
License:
y'=3ax2+c.+2bxB2.3ac<0bya=0,C=0.ytwo'isthreetype,
==
（2）B2.,a,.C,=4（B2.AC）
4（3）3<0.
Whena>0,theimageof'y'isopenedupandabovetheXaxis,soy'>0',sothegivenfunctionisin（+++）
Monotonicallyincreasing,whena<0,theimageof`y'isopeneddownwardandbelowtheXaxis,soy'<0',sothatthegivenfunctionisin
（B23<0issetupandthegivenfunctionismonotonein（++++）
TheinterioroftheboundisreducedmonotonicallysothattheconditionisAC
Functionin,
Thereisnoextremuminthe+++）
3.,askwhyavalue,functionf（）,=a,sin,x,+1,sin,3
PI
X
Three
X=x=
Three
Whereistheextremevalue?
Isitamaximumor?
Minimumvalue,andfindtheextremevalue
.
Solution:
F=acosx+cos3'（x）,functionextremumatx=f'..=.
Xpi
Three
PI30
.
Acos
PI
Three
+cosPI=0,soa=2.
PiPi
"（=.2sin）x.3sin3,f2Sin.3sin3<0..=.PI,
FXX..
Thirty-three
.
PiPi1
.
Therefore,f..=2sin+sinpi=3ismaximum
..333
5.y=2x3.6x2.18xaskedthefunction.7（x=1~4）getsthemaximumvaluewhere?
Andcalculateitsmaximumvalue.
Solution:
thefunctionisderivableon[1,4],andy'=6x2,.12,x,.18,=6（x,+1）（x,.3）
TheY'=0,x1=.1（left）tothestagnationpoint,X2=3,havefunctiontoobtainthemaximumvalueatx=1,andthemaximumvalueis
Y|x1=.29
=
9.tobuildacylindricaltank,volumeV,theirradiusisequaltothenumberofRandhighsurfaceareatomaketheminimumatbottom
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