一次函数教材分析.docx
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一次函数教材分析
一次函数教材分析
广州市23中学钟高翔
一、课程学习目标及达成度分析
1.以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；
2.结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解读式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；
3.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题；
4.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。
二、本章知识结构框图
三、本章课时安排
14.1 变量与函数 （5课时）
14.2 一次函数 （5课时）
14.3 用函数观点看方程（组）与不等式（3课时）
14.4课题学习选择方案（5课时）
数学活动、小结 （2课时）
四、教材特色及教案建议
1、反映函数概念的实际背景，渗透“变化与对应”的思想
在建立和运用函数这种数学模型的过程之中，“变化与对应”的思想是重要的基础。
变化与对应的思想包括以下两个基本意思：
1.世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；2.在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系。
函数是数量化地表达变化与对应思想的数学工具，变化规律表现在变量（自变量与函数）之间的对应关系上，函数通过数或形定量地描述这种对应关系。
教科书中给出的函数定义是突出变化与对应的，其中主要有两层意思：
1.两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；2.函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。
变化与对应思想是本章内容中蕴涵的基本思想。
教师在函数概念教案中要注意强调学习函数概念不能只注重背记定义而不关注它的实质，要使学生理解定义的真正含义：
运动变化与联系对应。
使学生了解对于许多客观事物必须从运动变化的角度研究，许多问题中的各种变量是相互联系的，变量之间存在对应规律。
变量的值之间存在对应关系，其中就有单值对应关系，而刻画这种关系的数学模型就是函数。
举例：
14.1节首先从五个具有实际背景的问题入手，引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们。
接着，教科书通过“归纳”栏目总结出这些问题中变量间关系的共同特点，即问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一变量有唯一确定的对应值。
教科书又继续用心电图、人口统计表等问题对这种变化与对应关系进行了补充和强化，这为后面的函数表示法（列表法、解读式法和图象法）做了铺垫。
作为关于函数的初始教案，应有意识地体现函数的本质，这正是本章内容中蕴涵的基本思想。
对于运动变化与联系对应的思想的认识也是需要逐步理解的，所以教案中应注意在不同阶段对这一思想的渗透介绍要有不同的做法和要求，要逐步深化，要从具体到抽象，从特殊到一般地引导学生认识它。
2、从特殊到一般地认识一次函数
人们认识事物往往经历“从特殊到一般”的过程，教材对本章重点内容的安排正是按照这样的过程展现的。
在分析具体问题时，教师应注意引导学生利用事物之间的联系从特殊到一般地认识问题。
用这种处理方式能够展示解决问题的一种基本策略，即“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的做法。
举例1：
14.2这一节首先从讨论正比例函数开始。
正比例函数是特殊的一次函数，即y=kx+b中b=0的类型。
对正比例函数的定义、图象和性质的讨论，可以为讨论一般的一次函数奠定基础。
举例2：
关于正比例函数的图象是一条直线，教材是从特殊到一般用不完全归纳法给出的。
由画y=2x的图象归纳出y=kx（k>0）的图象（特殊到一般）
举例3：
讨论一次函数的图象时，教材先对比函数y=kx+b和y=kx的区别，由直线y=kx的平移变换过渡到直线y=kx+b，然后再得出由两点确定直线的一般方法。
3、注重联系实际问题，体现数学建模的作用
世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际。
现实中存在大量问题涉及具有简单函数关系的变量，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习本章内容提供了大量的现实素材。
在教材中，实际问题情境多次出现，其作用主要体现在以下两方面：
（1）.引入或解释函数等概念。
例如，通过候鸟飞行问题引入正比例函数，通过登山问题引入一次函数，通过14.1节中一系列具体例子解释变量间的对应关系等，这样做的目的是借助直观的、具体的事物为理解抽象的内容服务。
（2）.作为函数的应用举例。
例如14.1节中例5的面积探讨，14.2节中例5的购买种子问题，等等，它们都可以体现数学建摸思想，反映函数的广泛应用性。
本章明确提出：
“为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结得出一个重要的数学工具──函数，用它描述变化中的数量关系。
函数的应用极其广泛。
”在教案过程中，要充分注意有关现实背景，加强对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识。
找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境是基础。
在教案过程中，可以从多种角度思考，借助图象、表格、式子等进行分析，寻找变量之间的关系，检验所建立的函数的合理性。
举例：
14.4节的三个问题是选择最优方案的实际问题，这些问题可以归为线性规划的初级问题。
解决这些问题，需要先确定影响结果的最关键的变量（借助图象和表格），再列出相应的函数解读式，然后分析这个解读式或相应的图象，找出函数的最小值。
4、重视数形结合的研究方法
本章所讨论的对象是函数，函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。
这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了用数形结合研究问题的重要方法，这在数学发展中具有重要地位。
在教案过程中，不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质。
以前我们曾多次提到数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，而对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解。
结合本章内容可以对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。
教案过程中，在函数解读式与图象的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。
学习了本章之后，不仅要知道有关函数的图象，更要体验图象的作用和数形结合的方法。
举例1：
画出函数y=x，y=3x－1的图象（数→形）
举例2：
求下图中直线的函数表达式（形→数）
举例3：
作出函数y=-4x+5的图象，回答下列问题：
（数→形）
（1） y的值随x的增大而____,
（2） 图象与x轴的交点坐标为____,与y轴的交点坐标为_____.
（3）该函数图象经过第__________象限。
举例4：
直线y=kx+b是一次函数的图象，观察图象，可知
（1）k=；b=
（2）当y>1时，x（3）当x<-2时，y（形→数）
5、加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用
本章最后的14.3节“用函数观点看方程（组）与不等式”，从函数的角度对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析。
加深对已经学习过的方程（组）及不等式内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。
通过本节的教案，应加强知识间横向和纵向的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，能用一次函数可以把以前学习的方程和不等式等不同的数学概念统一起来，使得新旧知识融会贯通，从而进一步体现函数概念的重要性，提高灵活地分析解决问题的能力，加大分析问题的深度。
进一步在学生已有的建立方程或不等式这样的数学模型的基础上，继续重视数学与实际的关系，在建立函数这种应用更广泛的数学模型的过程中继续体现建模思想。
6、注重对于基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力
本章中函数的基本概念，函数的一般表示法和一次函数的概念、图象、性质等是基础知识；会画一次函数（包括正比例函数）的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质等是基本技能；能利用这些函数分析和解决简单实际问题是基本能力。
对于基础知识和基本技能的掌握和基本能力的提高，都应在教案中得到落实。
举例，14.1节中对于描点法画函数图象的一般步骤进行了归纳，这对后续学习很重要，应使学生熟悉它。
又如，一次函数y=kx+b（k≠0）中k的正负对函数的增减性（图象的升降）的影响等，是一次函数的基本性质，应使学生从数形两方面理解。
7、可以考虑将反比例函数放进来，跟正比例函数进行对比学习。
对正比例函数有初步认识，例：
下列关于x的函数哪些是反比例函数（k≠0）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
引导学生从函数的图象和性质上与正比例函数进行对比。
八年级数学第十四章一次函数单元测试卷
（时间90分钟,满分100分）
学校班级姓名
题号
一
二
三
总分
得分
一.填空（每题3分共30分）
1．已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是.
2．若函数y=-2xm+2是正比例函数，则m的值是.
3．已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k=.
4．一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是
图象与坐标轴所围成的三角形面积是.
5．下列三个函数y=-2x,y=-
x,y=（
）x共同点是
（1）。
（2）。
（3）.
6．某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系式是.
7．写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）.
（1）y随着x的增大而减小。
（2）图象经过点（1，-3）
8.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表
质量x（千克）
1
2
3
4
……
售价y（元）
3.6+0.2
7.2+0.2
10.8+0.2
14.4+0.2
……
由上表得y与x之间的关系式是.
9．某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是.
10．如图，已知A地在B地正南方3千M处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千M）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为
千M.
二．选择题（每题3分，共24分）
11．下列函数
（1）y=πx
（2）y=2x-1（3）y=
（4）y=2-1-3x（5）y=x2-1中，是一次函数的有（）
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
12．已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-
x+2上，则y1、y2大小关系是（）
（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y113.一支蜡烛长20厘M，点燃后每小时燃烧5厘M，燃烧时剩下的高度n（厘M）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（）
（A）（B）（C）（D）
14.已知一次函数y=kx+b，当x增加3时，减小2，则k的值是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
15.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k，b的符号是（）
（A）k>0，b>0（B）k>0，b<0
（C）k<0，b>0（D）k<0，b<0
16.已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点，则的值是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
17.弹簧的长度ycm与所挂物体的质量x（kg）的关系是一次函数，图象如右图所示,则弹簧不挂物体时的长度是（）
（A）9cm（B）10cm（C）10.5cm（D）11cm
18.已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）
（A）（B）（C）（D）
三．解答题（第19~23题，每题6分，第24，25题,每题8分，共46分）
19．在同一坐标系中，作出函数y=-2x与y=
x+1的图象．
20．已知y-2与x成正比,且当x=1时，y=-6
（1）求y与x之间的函数关系式
（2）若点（a，2）在这个函数图象上，求a
21.已知函数y=（2m+1）x+m-3
（1）若函数图象经过原点，求m的值
（2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
22.已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-1，-5），且与正比例函数y=
x的图象相交于点（2，a），求：
（1）a的值
（2）k，b的值（3）这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积．
23．如图是某出租车单程收费y（元）与行驶路程x（千M）之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题
（1）当行使8千M时，收费应为元
（2）从图象上你能获得哪些信息?
（请写出2条）
（3）求出收费y（元）与行使x（千M）（x≥3）之间的函数关系式
24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准：
每户每月的用水量不超过6立方M时，水费按每立方Ma元收费，超过6立方M时，不超过的部分每立方M仍按a元收费，超过的部分每立方M按c元收费，该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示:
设某户每月用水量x（立方M），应交水费y（元）
月份
用水量（m3）
收费（元）
9
5
7.5
10
9
27
（1）求a，c的值
（2）当x≤6，x≥6时,分别写出y于x的函数关系式
（3）若该户11月份用水量为8立方M，求该户11月份水费是多少元?
25．一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系，如图所示，结合图象回答下列问题．
（1）农民自带的零钱是多少?
（2）试求降价前y与x之间的关系式
（3）由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
（4）降价后他按每千克
元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆?
参考答案：
一、1.
，2.
，3.
，4.（2，0），（0，4），4，
5.
（1）图象都经过坐标原点；
（2）都是正比例函数；（3）y随x的增大而减小。
6.
，7.
，8.
，
9.
（3≤t≤45），10.
二、11B，12A，13D，14A，15D，16D，17B，18A
三、19作图略
20.
（1）
（2）
21.
（1）
（2）
22.
（1）
（2）
，
（3）3
23.
（1）11
（2）①行驶路程小于或等于3千M时，收费是5元
②超过3千M后每千M收费1.2元
（3）
（
≥3）
24.
（1）
（2）
（3）21元
25.
（1）5元
（2）
（3）
元（4）45千克
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