题型锐角三角函数的实际应用.docx

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题型锐角三角函数的实际应用

二、解答题重难点突破

题型三锐角三角函数的实际应用

针对演练

仰角、俯角问题

1.某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高（CD的长）．（结果精确到0.1米，参考数据：

sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618）

第1题图

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2.（2014潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角4米到达点D处，在D然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×10处测得正前方另一是45°，海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.

第2题图

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3.（2015丹东10分）如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不计），求33711乙楼的高度CD.（参考数据：

sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）

541010

第3题图

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角，57.5°CE，CF固定电线杆，拉线和地面成4.如图，在电线杆上的C处引拉线CEAB已知测角仪处的仰角为30°.，在在离电线杆6米处安置测角仪ABA处测得电线杆上C，米，参考数据：

sin57.5°≈0.8430.011.5米，求拉线CE的长．（结果精确到的高为，2≈1.414），3≈1.732cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570

第4题图

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的高度，如CD）张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树（2015本溪12分5.

的仰角为处测得大树顶端点C），在山坡底部A＝图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN30°图中各点均在同一平（C的仰角为60°45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点米，参考数据：

3≈1.732）（的高度．结果精确到0.1）面内，求这棵大树CD

第5题图

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6.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.（参考数据：

sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）

第6题图

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坡度、坡角问题米．汛期2045°，坝高BE＝AB7.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡的坡角∠BAE＝的坡处，F使新的背水坡BF来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到，3≈1.732）2米，参考数据：

≈1.414结果精确到，求角∠F＝30°AF的长度．（1

第7题图

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8.（2014山西）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i＝1∶2，钢缆BC的坡度i＝1∶1，21景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？

（注：

坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

第8题图

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测量问题建）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．9.（2015云南6分．在测量时，选定河对岸距离）即两平行河岸AB与MN之间的（桥过程中需测量河的宽度

米后到3030°，沿河岸AB前行CABMN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠＝，≈1.41参考数据：

260°处测得∠CBA＝.请你根据以上测量数据求出河的宽度．（B达B处，在3≈1.73；结果保留整数）

第9题图

10.（2015遵义8分）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB初中数学资源网www.1230.org

＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、

M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：

sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

第10题图

方向角问题

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11.（2015镇江6分）某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

第11题图

12.（2015郴州8分）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北

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点A＝150m．求C方向上，在C点测得A点在点的北偏西45°方向上，又测得BC偏东30°，3≈1.41≈1.73））（的距离．（结果保留整数参考数据：

2BC到河岸

第12题图

【答案】

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针对演练仰角、俯角问题ANDAANN，在直角三角形中，通过所△【思路分析】过点，构造作Rt⊥CM于点1.

CDDN给的三角函数，建立即可．的表达式，从而求出DAN＝37.3°，⊥CM于点N，则∠CAN＝45°，∠AN解：

如解图，过点A作15.AN＝BM＝∴CN＝中，△AND在Rt

＝15×tan37.3°≈11.43.DN－11.43≈3.6.∴CD＝CN－DN＝151题解图第3.6m.

∴广告牌的高度约为，易得四F，过点B作BF⊥CD于点作2.【思路分析】首先，过点AAE⊥CD于点E1100＝BF.由题意可知，AE＝BFABFE边形为矩形，根据矩形的性质，可得AB＝EF，AE＝4中，利用三角函数求△AEC与Rt△－200＝900米，CD＝1.99×10BFD米，然后分别在Rt.

CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离AB得.F，交CD的延长线于点⊥AECD于点E，过点B作BF⊥CD解：

如解图，过点A作

为矩形，则四边形ABFE.

BFAE＝∴AB＝EF，）．900（米），CD＝19900（米＝由题意可知AE＝BF1100－200＝，45°，AE＝900（米）∴在Rt△AEC中，∠C＝AEAE＝＝900（米），∴CE＝

45°tanC∠tan）米，BDF△BFD中，∠＝60°，BF＝900（Rt在900BF）＝DF＝＝，3003（米∴

60°tanBDFtan∠3）＋－3900＝（19000米．300＋＝－＋＝＝∴ABEFCDDFCE19900300米．3）＋是答：

两海岛之间的距离AB（19000300

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题解图第2】本题考查三角函数的实际应用．题中有角度没直角三角形，先考虑过思路分析3.【，最后利用线段和差关AE构造直角三角形，利用正切分别求得AB、C向AB作垂线CE点系求解即可．，E⊥AB交AB于点解：

过点C作CE为矩形，则四边形EBDC）（2分60＝BD＝米．∴BE＝CD，CE

根据题意可得，.

37°48°，∠ACE＝∠ADB＝AB题解图3第Rt△ADB中，tan48°＝，在

BD11）

分）；（566（＝则ABtan48°·BD≈×60＝米

10AEtan37°＝，在Rt△ACE中，

CE3）

45（60＝米），（8分≈＝则AEtan37°·CE×

4），＝＝＝∴CD＝BEAB－AE66－4521（米为CD21米．（10）分∴乙楼的高度

4.】信息梳理【初中数学资源网www.1230.org

原题信息6×＝

整理后信息

结论

CF在电线杆上的C处引拉线、CE和地面成CE固定电线杆．拉线米处安置测在离电线杆657.5°角，角仪AB

米＝6∠DEC＝57.5°，DB

米，＝6AM＝BD米，1.5MDAB＝＝AM·tan30°，CM＝＋CMMDCD＝

处的仰角处测得电线杆上C在A米AB，已知测角仪＝1.5为30°

，过点作AAM⊥CD，垂足为MMAC∠＝30°

的长求拉线CE

求CE的长

CD＝CE57.5°sin

.M⊥CD，垂足为解：

如解图，过点A作AM．米）1.5（，AB＝MD＝∴AM＝BD＝6（米）CM，tan30°＝Rt△ACM中，在

AM

3米．23tan30°＝∴CM＝AM·31.5）米，＝（23＋∴CD＝CM＋MDCD＝，CED中，sin57.5°在Rt△

CE题解图4第1.5＋23＝∴sin57.5°，CE1.52×1.732＋≈5.89（米）．≈∴CE

0.843米．CE的长约为5.89答：

拉线E，CD解5.：

如解图，过点B作BE⊥CD交延长线于点，45°∵∠CAN＝，∠MAN＝30°CAB∴∠＝15°，

，DBE＝30°60°∵∠CBE＝，∠

30°，CBD∴∠＝第题解图5，ACBCABCBD∵∠＝∠＋∠∴∠15°＝ACBCAB＝∠，初中数学资源网www.1230.org

）

分∴AB＝BC＝20（米），（3，中，∠CBE＝60°，BC＝20（米）在Rt△BCE3∠CBE＝，20×＝103（米）∴CE＝BC·sin21）

分20×∠CBE＝＝10（米），（6BE＝BC·cos

2，＝30°，BE＝10（米）DBE在Rt△DBE中，∠3103）

分10×＝（米），（9＝∴DEBE·tan∠DBE＝33332010米）．≈11.5（＝10DE＝3∴CD＝－CE－33）分11.5米．（12答：

这棵大树CD的高度大约为，EC＝x6.解：

设EC＝，BCERt△中，tan∠EBC在

BE5ECEC≈米）＝＝，x（BE则

6tan50°EBC∠tanEC，中，tan∠EAC＝在Rt△ACE

AEECEC），＝x（米则AE＝＝

45°tanEAC∠tan，＋BE＝AE∵AB5，x＝x＋∴300

6，1800（米）解得：

x＝米）．3700－1800＝1900（CECD∴这座山的高度＝DE－EC＝AF－＝1900米．答：

这座山的高度是坡度、坡角问题米，，坝高BE＝20BAE7.解：

∵在Rt△ABE中，∠＝45°米，BE＝20∴AE＝30°，20BE＝，∠F＝BEF在Rt△中，BE．米203（）＝∴EF＝

30°tanEF－AE＝203－＝∴AF20≈15（米）．

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的长约为15米．即AF】对于解直角三角形的实际应用问题，首先要考虑把要求的线段和已知8.【思路分析，过点于点F于点E，交BB′解．如解图，过点线段、角放到直角三角形中求A作AE⊥CC′

的长度，再在，BDRt△BDC中根据坡度求得AF′于点D.分别在Rt△AFB和B作BD⊥CCAC的长度．Rt△AEC中，根据勾股定理求得

.D⊥CC′于点B，交BB′于点F，过点作BD：

如解解图，过点A作AE⊥CC′于点E

都是矩BFEDC′D和′B′F，BB′AA则△AFB，△BDC和△AEC都是直角三角形，四边形形．，200（米）AA′＝310－110＝∴BF＝BB′－FB′＝BB′－米）．＝710－310＝400（＝CD＝CC′－DC′CC′－BB′∴）．＝CD＝400（米＝，∴AF2BF＝400（米），BDi∵i＝1∶2，＝1∶121．）BF＝200（米＝BD＝400（米），DE＝又∵FE

800（米），∴AE＝AF＋FE＝米）．CE∴＝CD＋DE＝600（第8题解图

2222＝△AEC中，＝AE＋＋CEAC600＝800Rt∴在米）．1000（的长度为1000米．答：

钢缆AC测量问题信息梳理】9.【

原题信息

整理后的信息

一

处为桥的一端，选定河对岸上的点CMN在河岸点A30°＝处，测得∠CAB

30°＝∠CAB

二

B30AB沿河岸前行米后到达处

30＝AB米

三

60°＝CBAB在处测得∠

CBA∠＝60°

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四＝

求出河的宽度

的长D，则求CD过点C作CD⊥AB于点度

于点D，解：

如解图，过点C作CD⊥AB

＝30°，∵在Rt△ADC中，∠CABCDCD）

（2分∴AD＝＝＝3CD，

30°tanCABtan∠°60，∵在Rt△BCD中，∠CBA＝

3CDCD

）

（3分∴BD＝＝CD，

3tan60°CBAtan∠BD＝30米，∵AB＝AD＋3题解图第9）

（4分CD＝30米，∴3CD＋31.73315×15≈）

（5分＝12.975≈13∴CD＝米．

22）

分13米.（6答：

河的宽度约为ABCCABABC＝一题多解：

在△60中，∵∠°，＝30°，∠ACB＝90∴∠°，AB＝30∵米，BC）

（2∴分＝15米，DCCDAB）

作（3⊥如解图，过点于点分，3CBDBCBCDCD）

°＝15×≈13△在Rt米．中，（5＝∠·sin分＝15·sin602）答：

河的宽度约为13米．（最优解）（6分【信息梳理10.】

原题信息

整理后信息

结论

ABEN、DM、CB分别垂直于，DE⊥CB，平台＝1DF

＝，ENCDFANE，Rt△Rt△DM＝BF，ED＝MN

EN≈0.6＝tan∠EANAN

CDF∠＝45°

△CDF为等腰直角三角形

DF＝CF＝BM

4

＝BC6＝AB，

BM－4＝EN，BM－5＝AN

EN≈0.6，解BM的值利用AN

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解：

设MB＝x，

45°，，∠CDF＝DF∵⊥CBCDF是等腰直角三角形，∴△）

.（1分DF＝CF∴CB，，DF⊥、DM、CB分别垂直于AB∵EN为矩形，ENMD、四边形DMBF∴四边形，ED＝MNEN＝DM＝BF，∴，BM＝x∴CF＝DF＝，BC＝4∵）

分，（3BF＝4－x∴EN＝6，＝＝1，ABAB－MN－MB，MN＝DE∵AN＝）

（5分5－x，∴AN＝EN31°，，∠EAN＝∵tan∠EAN＝

ANx4－，≈0.6∴

x5－5）

分x≈.（7解得

25）

分．（8BM的长为（米）即DM与BC的水平距离

2方向角问题、分别为75°C、∠ABC的三个内角∠11.【思路分析】根据方向角算出△ABCBAC、∠的垂线段得两个特殊的三角形，通过特殊角的边BC的长，则过点A作60°、45°，要求BC的长．角关系可求出BCAE，30°，BF∥：

∵∠解BAE＝.

30°∴∠ABF＝

.

45°＝－∠＝∠，∴∠＝∵∠FBC75°ABCFBCABF初中数学资源网www.1230.org

.＝75°＝45°，∴∠BAC∵∠CAE）

分.（1∴∠C＝60°，⊥BC，垂足为点D过点A作AD）

分＝2.（330ADB△中，∠ABD＝45°，AB＝60，则BD＝AD在RtAD题解图第11）

10＝6.（560°C＝，AD＝分302，则CD＝在Rt△ADC中，∠

60°tan）

分106）海里．BC＝BD＋DC＝（6（302＋则的代数式分别表示m．用含x，设AD⊥BC于点DAD＝x】过点12.【思路分析A作＝BC，列出方程并求解即可．CDBD，CD.再根据BD＋m.AD＝x作AD⊥BC于点D，设解：

过点A30°，ADB＝90°，∠BAD＝在Rt△ABD中，∵∠3）

.（3·tan30°分＝x∴BD＝AD

3，，∠CAD＝45°△在RtACD中，∵∠ADC＝90°.

＝＝ADx∴CD第12题解图BC，BD∵＋CD＝3150，x＋x＝∴375（3－3）≈95.＝∴x

即A点到河岸BC的距离约为95m．（8分）

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