专题勾股定理培优版综合.docx
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专题勾股定理培优版综合
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专题勾股定理在动态几何中的应用
一.勾股定理与对称变换
(一)动点证明题
1.如图,在△ABC中,AB=AC,
22
(1)若P为边BC上的中点,连结AP,求证:
BP×CP=AB-AP;
(2)若P是BC边上任意一点,上面的结论还成立吗?
若成立请证明,若不成立请说明理由;
A
BC
P
(3)若P是BC边延长线上一点,线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?
请证明你的结论.
A
BCP
(二)最值问题
2.如图,E为正方形ABCD的边AB上一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值是
AD
EP
3.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,
BC
.
.
将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
AD
N
EM
BC
C
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
AD
N
EM
BC
C
(3)当AM+BM+CM的最小值为31时,求正方形的边长.
AD
N
EM
BC
C
4.问题:
如图①,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°,DC=2.求BD的
.
.
长.小明同学的解题思路是:
利用轴对称,把△ADC进行翻折,再经过推理、计算使问题得到解决.
(1)请你回答:
图中BD的长为;
(2)参考小明的思路,探究并解答问题:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=
∠C=2∠DAC=30°,DC=2,求BD和AB的长.
AA
BDC
BDC
图①图②
二.勾股定理与旋转
.
.
5.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以
BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。
A
A'
A
BCBC
P
P
图1图2
小伟是这样思考的:
利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中
心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接A'A,当点A落在A'C上时,此题可解(如图
2).
请你回答:
AP的最大值是
.
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,则AP+BP+CP的最小值是
.
(结
果可以不化简)
A
P
B
图3
C
6.如图,P是等边三角形ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,求∠APB的度数.
A
P
CB
.
.
变式1:
?
ABC中,∠ACB=90o,AC=BC,点P是?
ABC内一点,且PA=6,PB=2,PC=4,求∠BPC的度
数
C
P
B
A
变式2:
问题:
如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA∶PB∶PC=1∶2∶3,求∠APB的度数.
小娜同学的想法是:
不妨设PA=1,PB=2,PC=3,设法把PA、PB、PC相对集中,于是他将
△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE(如图2),然后连结PE,问题得以解决.
请你回答:
图
2中∠APB的度数为
.
请你参考小娜同学的思路,解决下列问题:
如图3,
P是等边三角形ABC内一点,已知∠APB=°,∠BPC=
°.
115
125
(1)在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)
;
()求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于
.
2
D
A
D
A
A
P
P
E
P
C
C
B
C
B
B
图1
图2
图3
.
.
7.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45,半径的长等于CA的扇形CEF绕点
C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(1)当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时,如图①,求证:
MN2AM2BN2;
C
AMNB
E
F
图①
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2AM2BN2是否仍然成立?
若成立,
请证明;若不成立,请说明理由.
C
E
MANB
F
图②
变式1:
如图,在RtABC中,BAC90,ACAB,DAE45
且BD3,CE4,则DE=
变式2
:
如图,在
Rt
△ABC中,
ABAC
,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE°,将△
ADC
绕
=45
点A顺时针旋转90后,得到△AFB,连接EF,下列结论:
①△AED≌△AEF;
②△ABE≌△ACD;
③BEDCDE;
④BE2
DC2
DE2其中正确的是(
)
A.②④;B.①④;C.②③;
D.①③
A
F
BEDC
.
.
(三)其它应用
7.在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为
5、
10、
13,求这个三角形的面积.
小宝同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上__________________;
思维拓展:
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为2a、13a、17a...
(a0),请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积填写在横线上__________________;
探索创新:
(3)若△ABC中有两边的长分别为2a、10a(a0),且△ABC的面积为2a2,试运用构图
..
法在图3的正方形网格(每个小正方形的边长为a)中画出所有符合题意的△ABC(全等的.
三角形视为同一种情况),并求出它的第三条边长填写在横线上__________________.
.
.
8.已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.
(1)如图1,若AB=23,点A、E、P恰好在一条直线上时,求此时EF的长(直接写出结果);
(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助
线产生新的线段),并加以证明;
(3)若AB=23,设BP=x,以QF为边的等边三角形的面积y,求y关于x的关系式.
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