专题勾股定理培优版综合.docx

1、专题勾股定理培优版综合.专题 勾股定理在动态几何中的应用一 . 勾股定理与对称变换（一）动点证明题1. 如图，在 ABC中， AB=AC，2 2（1）若 P 为边 BC上的中点，连结 AP，求证： BPCP=AB- AP；（2）若 P 是 BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；AB CP（3）若 P 是 BC边延长线上一点，线段 AB、AP、BP、 CP之间有什么样的关系？请证明你的结论 .AB C P（二）最值问题2. 如图， E 为正方形 ABCD的边 AB上一点， AE=3 ，BE=1，P 为 AC上的动点，则 PB+PE的最小值是A DE P3. 如图

2、，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，B C.将 BM绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、 CM. （1）求证： AMB ENB；（2）当 M点在何处时， AM CM的值最小；A DNE MB CC当 M点在何处时， AM BMCM的值最小，并说明理由；A DNE MB CC（3）当 AM BMCM的最小值为 3 1时，求正方形的边长 .A DNE MB CC4. 问题：如图，在 ABC中， D 是 BC边上的一点，若 BAD= C=2 DAC=45， DC=2求 BD的.长小明同学的解题思路是： 利用轴对称，把 A

3、DC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决（1）请你回答：图中 BD的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在 ABC中， D 是 BC边上的一点，若 BAD= C=2DAC=30， DC=2，求 BD和 AB的长A AB D CB D C图 图二 . 勾股定理与旋转.5. 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在 ABC（其中 BAC是一个可以变化的角）中， AB=2，AC=4，以BC为边在 BC的下方作等边 PBC，求 AP的最大值。AAAB C B CPP图1 图2小伟是这样思考的： 利用变换和等边三角形将边的位置重新组合 他的方法是以点 B 为旋转中心将 ABP

4、逆时针旋转 60得到 A BC,连接 A A , 当点 A 落在 A C 上时 , 此题可解（如图2）请你回答： AP的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 Rt ABC边 AB=4,P为 ABC内部一点， 则 AP+BP+CP的最小值是.（结果可以不化简）APB图3C6. 如图， P 是等边三角形 ABC内一点， AP=3，BP=4，CP=5，求 APB的度数 .APC B.变式 1：? ABC中， ACB=90o ， AC=BC，点 P 是? ABC内一点，且 PA=6， PB=2， PC=4，求 BPC 的度数CPBA变式 2：问题：如图 1，P 为正方形 A

5、BCD内一点，且 PAPB PC=123，求 APB的度数小娜同学的想法是：不妨设 PA=1， PB=2，PC=3，设法把 PA、PB、PC相对集中，于是他将BCP绕点 B 顺时针旋转 90得到 BAE（如图 2），然后连结 PE，问题得以解决请你回答：图2 中 APB的度数为请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图 3，P 是等边三角形 ABC内一点，已知 APB= ， BPC=115125（1）在图 3 中画出并指明以 PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（ ）求出以 PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于2DADAAPPEPCCBCBB图

6、1图 2图 3.7. 已知 Rt ABC中， ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为 45 ，半径的长等于 CA的扇形 CEF绕点C 旋转，且直线 CE，CF分别与直线 AB交于点 M，N（1）当扇形 CEF绕点 C在 ACE的内部旋转时，如图，求证： MN 2 AM 2 BN 2 ；CA M N BEF图（2）当扇形 CEF绕点 C旋转至图的位置时，关系式 MN 2 AM 2 BN 2 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由CEM A N BF图变式 1：如图，在 Rt ABC 中 , BAC 90 , AC AB, DAE 45且 BD 3, CE 4,则DE =变式 2：如

7、图，在RtABC 中，AB AC， D、 E 是斜边 BC上两点，且 DAE ，将ADC绕=45点 A 顺时针旋转 90 后，得到 AFB ，连接 EF ，下列结论： AED AEF ； ABE ACD ；BE DC DE； BE2DC 2DE 2 其中正确的是（）A； B ； C；DAFB E D C.（三）其它应用7. 在 ABC 中， AB 、 BC 、 AC 三边的长分别为5 、10 、13 ，求这个三角形的面积小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的 边长为 1），再在网格中画出格点 ABC（即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处） ，如图 1 所示这样不需求

8、ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将 ABC 的面积直接填写在横线上 _；思维拓展：（2）我们把上述求 ABC 面积的方法叫做构图法 若 ABC 三边的长分别为 2a 、 13a 、 17a （ a 0 ），请利用图 2 的正方形网格（每个小正方形的边长为 a ）画出相应的 ABC ，并求出它的面积填写在横线上 _；探索创新 ：（ 3）若 ABC 中有两边的长分别为 2a 、 10a （ a 0 ），且 ABC 的面积为 2a2 ，试运用构图法在图 3 的正方形网格（每个小正方形的边长为 a ）中画出所有符合题意的 ABC ( 全等的三角形视为同一种情况 ) ，并求出它的第三条边长填写在横线上 _.8. 已知 ABC=90，点 P 为射线 BC上任意一点（点 P 与点 B 不重合），分别以 AB、 AP为边在ABC的内部作等边 ABE和 APQ,连结 QE并延长交 BP于点 F.（1）如图 1，若 AB= 2 3 ，点 A、E、 P 恰好在一条直线上时，求此时 EF的长（直接写出结果）；（2）如图 2，当点 P 为射线 BC上任意一点时，猜想 EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若 AB=2 3 ，设 BP= x ，以 QF为边的等边三角形的面积 y，求 y 关于 x 的关系式.