要点三 合情推理、演绎推理的综合应用
例3
如图所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．
（1）求证：
O为△BCD的垂心；
（2）类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．
解
（1）证明 ∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，
∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC.
∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
（2）解 猜想：
S
＋S
＋S
＝S
.
证明：
连结DO并延长交BC于E，连结AE，
由
（1）知AD⊥平面ABC，
AE⊂平面ABC，
∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE2＝EO·ED，
∴
2＝
·
，
即S
＝S△BOC·S△BCD.
同理可证：
S
＝S△COD·S△BCD，
S
＝S△BOD·S△BCD.
∴S
＋S
＋S
＝S△BCD·（S△BOC＋S△COD＋S△BOD）＝S△BCD·S△BCD＝S
.
规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法．而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．
跟踪演练3 已知命题：
“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝
（n∈N*）也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？
并证明你的结论．
解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{an}是等差数列，则数列bn＝
也是等差数列．
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，则bn＝
＝
＝a1＋
（n－1），
所以数列{bn}是以a1为首项，
为公差的等差数列.
1．“因对数函数y＝logax是增函数（大前提），而y＝log
x是对数函数（小前提），所以y＝log
x是增函数（结论）．”上面推理的错误是________．
答案 大前提错导致结论错
2．下面几种推理过程是演绎推理的是______（只填序号）．
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
③某校高三共有10个班，1班有51个，2班有53个，3班有52人，由此推测各班都超过50人
④在数列{an}中，a1＝1，an＝
（an－1＋
）（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式
答案 ①
3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：
________________；小前提：
________________；结论：
____________________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y＝x2＋x＋1是二次函数 函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
4．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
（1）因为中国的大学分布在中国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在中国各地．结论
（2）因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提
所以菱形是正多边形．结论
解
（1）推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．
（2）结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．
1.演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．
2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．
一、基础达标
1．下列表述正确的是________．
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
答案 ①③⑤
解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
2．《论语·学路》篇中说：
“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是________．
答案 演绎推理
解析 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式．
3．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数．以上推理________．
答案 小前提不正确
解析 由于函数f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数．故小前提不正确．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是________________________________________________________________________．
答案 矩形都是对角线相等的四边形
解析 利用三段论分析：
大前提：
矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：
四边形ABCD是矩形；
结论：
四边形ABCD的对角线相等．
5．三段论：
“①小宏在2014年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2014年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2014年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________（填序号）．
答案 ③
解析 在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．
6．在求函数y＝
的定义域时，第一步推理中大前提是当
有意义时，a≥0；小前提是
有意义；结论是________________________________________________________________________．
答案 y＝
的定义域是[4，＋∞）
解析 由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
7．①因为对数函数y＝logax是增函数（大前提），而y＝log
x是对数函数（小前提），所以y＝log
x是增函数（结论）．
②因为过不共线的三点有且仅有一个平面（大前提），而A、B、C为空间三点（小前提），所以过A、B、C三点只能确定一个平面（结论）．
③因为金属铜、铁、铝能够导电（大前提），而金是金属（小前提），所以金能导电（结论）．
上述三个推理形式中，推理的结论正确吗？
为什么？
解 三个结论都不正确．
①推理形式是正确的，但大前提是错误的．因为对数函数y＝logax的单调性与底数a的取值范围有关，若01，则y＝logax为增函数．
②推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为若三点共线可确定无数个平面，只有不共线的三点可满足结论．
③推理形式是错误的，因为演绎推理是从一般到特殊的推理、铜、铁、铝仅是金属的代表，这是特殊事例，这是由特殊到特殊的推理．
二、能力提升
8．在推理“因为y＝sinx是[0，
]上的增函数，所以sin
＞sin
”中，大前提为________________________________________________________________________；
小前提为________________________________________________________________________；
结论为____________________________________．
答案 y＝sinx是[0，
]上的增函数
π，
∈[0，
]且
＞
sin
＞sin
9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题是________．
答案 ②④
解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．
10．关于函数f（x）＝lg
（x≠0），有下列命题：
①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f（x）是增函数；当x<0时，f（x）为减函数；③f（x）的最小值是lg2；④当－11时，f（x）是增函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是______．
答案 ①③④
解析 显然f（－x）＝f（x），
∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称．
当x>0时，f（x）＝lg
＝lg（x＋
）．
设g（x）＝x＋
，可知其在（0,1）上是减函数，在（1，＋∞）上是增函数，
∴f（x）在（0,1）上是减函数，在（1，＋∞）上是增函数．
f（x）min＝f
（1）＝lg2.
∵f（x）为偶函数，∴f（x）在（－1,0）上是增函数．
11．已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，f
（1）＝－2.
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值．
（1）证明 因为x，y∈R时，f（x＋y）＝f（x）＋f（y），
所以令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0），
所以f（0）＝0.
令y＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数．
（2）解 设任意的x1，x2∈R且x1f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1），
因为x>0时，f（x）<0，所以f（x2－x1）<0，
即f（x2）－f（x1）<0，所以f（x）为减函数，所以f（x）在[－3,3]上的最大值为f（－3），最小值为f（3）．
因为f（3）＝f
（2）＋f
（1）＝3f
（1）＝－6，
f（－3）＝－f（3）＝6，
所以函数f（x）在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
12．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：
AB⊥BC.
证明
如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AE⊂平面SAB.
∴AE⊥平面SBC，
又BC⊂平面SBC.
∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB⊂平面SAB.∴AB⊥BC.
三、探究与创新
13．设f（x）＝
，g（x）＝
（其中a＞0且a≠1）
（1）5＝2＋3请你推测g（5）能否用f
（2），f（3），g
（2），g（3）来表示；
（2）如果
（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解
（1）由f（3）g
（2）＋g（3）f
（2）＝
·
＋
·
＝
，
又g（5）＝
.因此，g（5）＝f（3）g
（2）＋g（3）f
（2）．
（2）由g（5）＝f（3）g
（2）＋g（3）f
（2），
即g（2＋3）＝f（3）g
（2）＋g（3）f
（2），
于是推测g（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y）．
证明如下：
因为f（x）＝
，g（x）＝
（大前提），
所以g（x＋y）＝
，g（y）＝
，f（y）＝
（小前提及结论），
所以f（x）g（y）＋g（x）f（y）＝
·
＋
·
＝
＝g（x＋y）.
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