高中数学必修 1对数运算教学研究.docx
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高中数学必修1对数运算教学研究
专题讲座
高中数学必修1“对数运算”教学研究
（第一讲）
王尚志：
首都师范大学教授
张思明：
北京大学附属中学特级教师
吕宝珠：
北京四中中学高级
李大永：
首都师范大学附属中学中学高级
张思明：
各位老师大家好！
欢迎大家继续参加高中数学新课程的远程培训。
本期我们选择的专题是以对数运算为载体，来讨论如何进行运算的教学，首先我先来介绍一下到场的各位嘉宾。
最右端的这位是我们大家都熟悉的首都师范大学教授、博士生导师王尚志老师，我这边这位是北京四中的吕宝珠老师，我身边这位是首都师范大学附属中学的李大永老师，欢迎各位参与我们讲课的活动，刚才介绍了这一讲我们主要是要说对数运算，首先请王老师为我们破一下题，为什么我们要以对数运算为载体来选择这个内容。
王尚志：
就像我们讨论单调性一样，那是函数的一个重要内容，运算是我们高中数学中需要关注的另外一个主线的内容，那么在高中的课程中我们会学习很多新的运算，过去我们没有见过的运算，比如说指数运算，对数运算，三角恒等变形--我们也可以把它理解成为一个运算，另外还有对数运算、复数运算等等，那么在诸多的运算中需要关注哪些东西呢？
我想有三件事是需要关注的：
第一个就是运算的对象算什么；第二个是运算的法则根据什么，必须满足什么；第三个就是如何来运用运算去解决一些问题。
那么我们选择了其中一个对学生学习和教学上有一定难度的对数运算，作为我们的一个突破口，因为对于指数运算，相比对数运算来说，它的运算法则更容易理解一点，简单的说就是5个a相乘再乘上6个a相乘一定等于11个a相乘，所以我们就有
，或者等于
，学生一般都有这个直观，但是对于对数来说有一定困难，所以我们就想以对数运算作为载体来看我们怎么样处理好这样的一个技能课的教学，帮助学生更好的理解对数运算的法则，并且能够逐步的在以后的课程中帮助学生用好对数运算去解决某些问题，这可能是我们的一个考虑。
第二点就是技能课的教学问题。
这也是我们需要突破的一个地方，我们通常有概念课、技能课、证明课等等，那么这种技能课怎么上，怎么上的有效率，这是我们设计的一个基本思考。
张思明：
王老师对于我们选择这个内容做了一些分析。
为了使老师们对这个内容的教学设计，有一个比较具体的理解，或者说有一个直接的感受，我们特别邀请了吕宝珠老师、李大永老师，对我们这个内容的教学设计，谈一谈他们的思考，先请吕老师来谈一谈。
吕宝珠：
首先我从数学的角度来谈一下对数运算的教学。
从数学角度分析对数我想应该有以下几个方面的考虑：
第一个方面是从教学内容的顺序上来讲，学生学习对数函数和指数函数是在学习了函数的概念和性质以后进行的，所以这部分内容应该说是函数概念和性质的一个深化，所以这部分内容的教学对于学生理解好函数的概念，以及他们的性质具有提高和巩固的作用。
所以，这部分内容在数学上来讲应该比较重要。
第二个内容是从对数函数来讲和指数函数来讲，它们是一个非常重要的基本初等函数，为什么说它们是基本初等函数呢？
可以从两个方面来考虑。
首先从现实生活来看，我们经常碰到的国民经济增长、人口的增长、细胞分裂、放射性物质的衰变等等这些问题，都需要用指数函数和对数函数这样的函数模型来刻画。
第二个是从数学的角度来讲，特别是从大学数学后继课程的学习来看，在大学里面有很多复杂的函数可以用指数函数和对数函数近似的表达，特别是在大学数学里面微分方程的很多解也是表达成指数函数的组合。
所以从它们的应用和后继课程的学习来看，对数函数和指数函数具有基础性，也是非常重要的，所以我们认为它们是非常重要的基本初等函数。
第三个方面是从指数和对数运算来讲，对数不仅是一个重要的概念而且也是一个运算，从概念上来讲学生在认知上，特别是对数函数的符号认识上可能会存在一定的问题，因为对数函数跟我们以前学的运算表达不太一样，因为这里面首先是用英文字母来表达，其次把这个运算符号置于那两个数字的前面，所以学生从这个符号再到理解它的数学意义，可能会存在一定的认知障碍。
另外从运算上来讲，对数是一种非常重要的非线性运算，我们以前学习的数学运算主要都是线性运算，学了对数以后实际上为我们学生学习运算引入了新的对象，它是非线性的，比如说我们常知道它的运算性质就是积的对数等于对数的和，这个还可以从映射的角度看。
在今后的数学学习过程当中我们还会遇到这个非线性运算，比如说我们后面学习三角函数还会遇到，如两角和的正弦。
所以这是我们训练学生运算的一个非常重要的载体。
张思明：
那么宝珠从数学上做了一些分析，这是帮助我们确定内容的一个基础思考，做教材设计的时候需要有这样的一些思考。
王老师，从大学角度来看，对数函数或者说对数运算它的重要性还有哪些方面？
王老师：
我觉得对数的重要性，第一反映了一种变化的趋势，对数需要从两个角度来看，一个是把它当作一个运算对象来看，一个是把它当作一个函数对象来看，这两个角度略有一些差异但是又有密切的联系，作为一个函数来说对数应该是一个反映一类变化规律的基本函数，就是它增长速度比较慢，指数增长速度比较快，我们通常所说的幂函数是位于指数和对数之间的一个增长，所以从增长规律来说它是一类非常重要的函数。
另外一种是刚才宝珠在介绍的时候谈到了，在我们将来处理一些微分方程积分方程时，将来对数函数和指数函数都是表示微分方程、积分方程可解的基本函数。
所以它是比较重要的。
那么从运算的角度来说，就像宝珠刚才介绍的，以前学过的大部分运算，像数的运算，多样式的运算，大部分都是线性运算。
从高中开始，指数运算、对数运算、三角恒等变形，我们如果把它看作运算这些都是非线性的。
所以我们在高中阶段会提供包括对数运算在内的比较丰富的一些数学内容。
那么我也想说在教学设计的过程中，因为这段内容刚才吕老师提到对学生有很多新的难点，因为这个运算不熟悉，看着都特别别扭，所以做好这段教学很重要的就是要结合学生考虑，这段内容学生到底困难在哪？
我们特别想听听李老师对这段内容的分析。
李大永：
我想从以下几个方面来说。
第一个就是学生的学习运算的习惯。
学生在学习运算的时候习惯上比较重视那种操作性的方法，而忽视了操作的依据也就是算理，从而这种习惯就造成了他学习方式上带来了更侧重于机械记忆这种操作形式，而这样的一种方式同时又带来了一个后果，就是容易遗忘或者说混淆那些运算的法则，而学生在自己对这个问题的归因的时候往往是一种错误的归因，结果把它归因成忘了、没记住，我忘性比较大。
而这种错误的归因进一步加深了我要更好的记忆这个公式。
这是一个问题，就是学习习惯造成的。
第二个方面应该说模仿是人学习的一个天性。
小时候学的很多事情都是靠模仿学来的，这个是人的思维相似的规律性造成的，事物的发展和事物的某些条件在具有相似条件下，往往有时候我们的结果有一些相似性。
那么，学生模仿学习本身我觉得可以分为两种，一种是学生比较天然的模仿，还处于自然状态就是偏感性，那么偏感性的特点就是他有一定盲目性，而且对自己模仿的后果是缺少批判的。
还有一种是经过学习更侧重于理性，就是偏理性的学习。
这样他的学习他的模仿实际上有一定的能动性在里面，对自己模仿的结果有一定的批判性。
这个模仿学习的发生的条件我想一般的学生，特别是处于一种未知状态的时候，或者在面对情况不确定的情况下，另外再加上他有一个比较强的动机--我要完成这件事情，这样就促成他模仿，而这种模仿，往往是一种偏感性的模仿，像学生在遇到一个新的运算，比如他开始学习根式运算的时候，
，和的开方运算他可能就进行分别开方然后再相加，就可能出现这种情况。
那么这个是很自然的把开方运算和加法运算的分配律从乘法与加法的分配律迁移过来，但是他又缺少对这个的判断。
这是一个方面。
第三个方面，我觉得对对数学习的一个认知基础，刚刚吕老师也提到学生对对数符号的理解，学生往往感觉比较困难。
而对数符号的学习我觉得学生在已学的知识当中还是可以找到让他对比参照的。
比如说根式运算，我们就引入了其中的一个符号，把数字装在符号下来表示取得了他的算术根，还有像幂的运算，
也是一个运算形式，还有在初中三角里面，就是在直角三角形里面也定义了三角的运算，那么这个三角运算前面也是一个符号，比如正弦余弦是用不同的英文字母来表示的，这个时候我觉得在教学当中要注重它跟对数符号的相同性，就是它们都是有两层含义，这个符号本身一方面代表了运算是什么，另一方面代表了这个运算的结果，我想如果在教学设计当中让学生回忆、对比这些东西，来理解对数是会有帮助的。
王尚志：
我想大永提的这个是非常值得注意的，因为对数这个符号还有一层含义是映射，是a为底把N这个数映进去变成另外一个数，这是一个映射的概念，另外他有运算形式，就是在
，不像我们以前那个就等于分别做对数运算再做乘，他恰恰相反，他是分别取对数做加法，那么所有这些可能都是学生不习惯的一个东西，需要做一些比较深入的思考。
对数和指数又有点不一样，指数稍微直观一点，对数就更不直观了，他需要这么一个转换的过程，这个对于学生的理解确实有一定的难度。
李大永：
还有对对数运算的理解，因为这个对数本身跟指数是有着非常密切的联系，我想突出这个联系可以加强学生对运算的理解，比如说对数运算的加法和减法，那么对数加的和就是真数的相乘，反过来就是在幂当中，同底数幂相乘指数相加，就从这里来体现。
第三个就是对数运算法则的理解。
正是因为指数和对数的联系，我们学生学习对数法则的时候，如果沟通了这个联系以后，学生可能就从幂的运算上可以对应着对数的运算，而对幂的运算学生是比较熟悉的，它是乘法运算一个自然扩大，就是乘方，就是N个相同的数相乘。
因为有一个相对具体的这种整数的乘法作为一个思维的起点，他可以参照，可以对照它去想这个运算是什么。
这样我想是它可以成为对学习对数运算法则的一个在思维上的固着点。
第四个方面就是说高一学生的思维能力特点方面，已经有一部分学生具备一定的抽象研究推理能力，同时也仍然有相当多的同学，他的抽象推理能力较弱，习惯于具体直观基础上一种理解认识与合情推理。
这一点上我们做了一次调查，是在前些日子做过一次调查，在对数教学完已经隔了10个月左右，我们发现一个问题，就是在对数的运算法则记不清的时候，你去做什么，你怎么样让自己去想起来。
那么学生差异就出现了。
在我们好一点的班级里大约有40%的同学能达到用指数来回忆；有30%的同学是查书，是属于机械记忆型的；还有剩下的同学普遍反应拿特值；还有很小的比例3%左右是运算的特点来回忆，因为当时课堂教学都强调这几点，但是学生关注的是不一样的。
那么程度差一点的班级只有20%想到用指数去重新推导对数运算，有40%—50%是处于拿特值去试，就拿一个具体的东西去试。
因为他记得是加跟乘是一对，但是他弄不清是从哪儿头到哪儿头，因此他就拿具体数来试这个法则是什么，从这儿可以看出在高一学生特别是基础生源相对弱一点的学校来讲，大部分学生还是停留在要依赖于具体来进行推理。
这在教学设计的时候可能好一点班级我们可以让他通过幂的运算法则找到对数运算的法则，而对于程度弱一点的学生，就可以通过具体的数值，让他归纳来发现对数运算法则。
王尚志：
大永说的这一点我觉得是值得我们老师思考的，指数运算也好、指数函数也好，包括对数，在高中阶段我们是相对严格的，我们说指数函数的定义并不是非常严格，我们由正整数到整数是严格的，从正整数到有理数我们就一晃过去了，再到实数我们就承认了。
当然对于它的运算法则也是这样，这个时候这里就有逻辑推理和所谓我们通常所说的归纳推理、合情推理，就是说
，用这件事儿来记忆指数函数的规律是比较好记的，那么现在到对数这儿有点难度了，就是需要有几种不同的处理方式，刚才大永分析的，一种就是用指数运算加上对数的概念来理解对数的运算法则，这个是需要老师在教学中要注意的，这是一个比较严格的过程，这个可能也是学生接收起来有一定困难的过程。
那么大永刚才又提出还有一些办法，就是用一些特例来加深学生对这些问题的认识，来区分对数运算和我们前面学过其他运算性质的不一样，比如说
实际上是什么。
就是有一些特殊的东西恐怕要学生脑子里要有点印象，就是它是等于这样一个数的对数--以2为底
的对数，这样通过一些具体的东西他把这些运算的法则记住了。
所以我觉得大永的分析还是很好的，可以供老师作为一个参考。
张思明：
我们看了两个老师做的前期分析，下面我们给老师们看两个具体教学设计的案例。
为了使老师们对对数运算的教学设计有一个直观的感受，我们特地安排了两个具体教学设计的样子给大家介绍一下，首先请北京市三里屯中学的骈红老师来做第一个教学设计的说明。
骈红：
关于这节课，我们组里老师讨论了一下，因为大家都讲过，在讨论当中大家也觉得有一些传统教学中的弊病，比如说教学重心往往在法则的证明上，学生不了解知识发展的过程，就是很生硬的给了学生，忽视了结论来源的教学，最后结果是学生在作题当中往往出错，老师只能在作业和考试当中去纠正这些错误，但是在后期的学习当中就成了很大的障碍，因此我们认为教学应该从本质上探讨一下对数运算法则，让学生不仅仅是记忆公式，而是更重要理解这个法则的特点，才能在使用的时候不容易出错。
那么在教学当中我们觉得应该通过具体实例验证，证明注意它的展现类比、联想、观察、验证、推理证明这个过程，注意公式的条件，然后才能灵活的运用它来进行运算。
我们根据这些制定了一个教学方案，第一个教学目标是理解和掌握对数运算法则，准确运用对数法则进行运算，并掌握化简求值的技能，让学生经历对数运算探究与推导过程，培养学生的类比、分析、归纳能力。
三通过运算性质的学习培养学生严谨的思维品质。
重点是对数运算法则的推导和应用，难点是对数运算法则的探究与证明，那么我们设计了第一个教学方案，几个老师觉得我们应该具体的写出几个对数，然后由学生来计算，发现这个运算规律进行推导，但是这个方案的弊病感觉还是生硬，还是老师牵着学生走，学生学习还是很被动。
那么老师出题学生是按老师的意图得出结果的，经过思考我们研究了第二个方案。
第二个方案是老师设计一张表格，数据由学生自己定，观察发现运算的法则然后进行推导，我们给了这张表。
里面的M、N、m、n，像幂指数a，因为都是让学生来自己定的，然后让他自己来做。
这个表格的数据是由学生来计算的，可以用图形计算器来做，实现了个别化的学习，改变了一个班同做一道题的状况，增强了学生的学习兴趣，使学生的学习由被动变主动。
但是也存在了一个问题，因为从学生的现实情况来说一节课完成是很困难的，教学时间肯定不够，经过大家进一步的讨论我们推出了第三个方案，这张表格能不能在课前完成，就是在上一节课结束的时候就根据他所学的知识提出了这张表格，那么他能去计算，本身课上课下应该是一个教学整体，课上学生只是汇报，探究对数运算法则推导和应用。
方案三的优点是有充分时间让学生思考与讨论，而且学生可以在同伴的学习中学习数学，同伴相互启发相互促进，把教学设计成学生的活动。
那么具体在这个教学设计当中我们就加了一项课前任务准备。
老师把学生分成若干小组，营造了学习的氛围，然后由教师印好表格，然后明确任务。
作业我们是这么来留的，我们类比指数，研究对数有哪些运算法则，研究两个数的对数和、差、积、商与这两个数的和、差、积、商之间的关系，要求学生自己选一些数值计算，并且观察数值的结果，自己要归纳出一个结论。
那么在教学流程当中我们有5个环节，在教学当堂课的时候，第一步是创设情景研探新知，学生小组进行汇报结果然后相互评价相互讨论。
第二环节是理论证明、揭示课题，对你的结果进行一些验证、证明。
第三个环节是质疑答辩，发展思维。
这个性质我们推出来了，它有没有限制条件，进行一下探究。
第四个环节是板演例题巩固新知，学生运用刚才得到的结果进行一些运算。
第五个归纳小结，课后作业，学生谈一些本节的收获，重点应该注意的知识和方法。
我们是这么来设计的一个教学方案。
张思明：
骈红老师设计了一个很有特色的环节就是预留任务，然后学生分组进行充分的教学实验，在课堂要归纳一些结果进行发展进行论证，最后还有巩固。
一会儿我们要请两位老师对这个环节发表一点评论，为了使大家强化这个过程，我们给大家也看一个北京市八一中学的王明辉老师在区里的一节公开课上做的专题，因为这个课是一个整课，我们就做了一个片断，片断的过程跟骈老师有很多很相像的地方,我们一起来看一下。
在这个过程中我们看到王明辉老师也是充分利用了课堂的环境，他把复习光滑过渡到这个内容，先出了很多基本对数值的计算，学生在做完这个计算结果的时候没说什么，然后大家从这些结果里观察出什么来，学生每一个组负责观察一个内容，最后归纳出了这几条对数运算的法则。
我觉得从这两个老师的设计里面，想听听两位老师对运算的教学我们应该怎么样调动，或者应该关注哪些环节调动学生的学习积极性。
王老师、李老师你们谈谈。
李大永：
因为在对数教学这部分，向来是学生学习的一个比较难的点。
刚才两位老师的课，比较有特色的就是在前面的引入上，充分调动了学生自主的参与来发现运算。
他们共同特点都是由具体的对数运算，包括用这种工具来归纳、猜测，这个我觉得从现在高中学生的运算能力、特点来看，还是有相当的普适性，就是大部分学生是适合用这种方式来学习的。
那么在我自己教学当中我们也是有这样的一种经历，因为我们是市重点校，学生的层次也会好一点。
在这个当中我也做过另外一种尝试，就是直接沟通它与指数运算，就是幂的运算和对数运算之间的联系，从这一点做出发点来发现运算。
但是这个在我们的实验班里还是比较容易的，第一个我是给他一个指数、对数的联系，那个指数在那块儿就叫对数了，然后把幂的运算列在这边，然后黑板这边让学生去猜，基本上大约有20%、30%的学生是可以达到的，达到以后引导学生去证明。
这样的设计我觉得在教学上我们老谈关注学生，以学生为主体，我觉得这点对某一部分学生是好课，可能对另一部分学生未必是最好的。
就是我们对学生来讲还是要充分建立在学生的学情分析上，这样通过我们的教学使学生在原有的认知基础上得到一个提高，这才是真正教学的意义。
王尚志：
我觉得这两个课确实非常有特点，拿骈老师这个课来说，实际上无论是大永上的课还是骈老师上的课，就是优秀学生，在本质上来说都是借助于指数运算和对数的概念，建立他们之间的联系，只是由于学生水平不一样，有的可以做得抽象一点，有的可以做得具体，但是我们的目的都是一样，无论如何应该让学生知道指数运算的规律是什么。
因为我们指数运算并不一定是严格证明的，但是他有很好的背景，能很好的掌握指数运算的基本规律，这是我们的一个教学出发点，那么骈老师设计的时候，就把对指数运算的复习，借助于对数运算的概念加上学生的操作这三者整合起来，通过具体到抽象归纳思维的过程，那么让学生去感悟、去探索、去发现这里的规律，在此基础上再引导学生做一个理性的思考。
我觉得这样的一个设计是非常好的。
另外一个八一中学的老师也是类似的。
另外我感觉我们的教学要把学生激发起来，那么在这个方面骈老师也好、王老师也好做了大量的思考。
因为我们要激发起我们学生的思维热情、学习热情、参与热情，这是作为一个老师需要考虑的。
所以他们在这方面是可以提供给大家作为借鉴的。
第二个给我印象非常深的，就是我们在上课，但是上课只是我们最重要的教学环节。
课前、课后仍然是学生重要的学习环节。
那么我们怎么样把这些环节打通了，让我们整个的效益提高，在这方面我觉得骈老师和王老师做了非常好的思考，就相当于我们在留作业的时候丰富了我们作业的内容，使作业不仅仅是解题。
这样就把课内外整个教与学的活动有机的整合起来。
我觉得这一点是值得我们大家借鉴的，希望我们的老师能把学生的学、教育整个的有机结合起来，来提高我们的效率。
我觉得这个可能就是这两位老师给我们提供最重要的一个借鉴。
张思明：
这节课由于时间的关系我们只是展示了这些老师一部分的分析。
那么这节课我们只是提供一种局部的，希望透过这些局部看到我们在考虑运算课的时候怎么样调动学生，怎么样更有效的提高教学效率，我们希望更多的老师参与我们的讨论。
这节课就到这里，下节课再见。
（第二讲）
王尚志：
首都师范大学教授
张思明：
北京大学附属中学特级教师
李大永：
首都师范大学附属中学中学高级
金红梅：
北京航空航天大学附属中学中学高级
张思明：
各位老师大家好！
欢迎各位老师继续参加我们高中数学新课程远程研修。
我们这讲是有关对数运算，或者说运算教学的一个深入讨论。
首先介绍一下参加我们讨论的几位嘉宾。
最右边这位是首都师范大学的博士生导师王尚志教授；这位是首都师范大学附属中学的李大永老师，我身边这位是海淀区北航附中的金红梅老师。
欢迎三位老师参加我们的讨论，我们在上一节课里介绍了对数运算的教学设计，对数运算是一个载体，通过这个载体我们想和老师们交流的话题是如何提高学生的运算能力，如何提高我们运算教学的教学效率，从这个角度出发我们想分成几个小话题讨论。
首先一个话题是先要请李大永老师帮我们分析一下，在我们常规的运算教学或者运算学习中学生存在的问题是什么。
李大永：
我想先给大家看一下我摘录的学生作业当中的一些问题。
第一是学生书写的不规范，就是角标写的过大。
后面就是多项式运算当中的一些错误。
多项式运算的错误还有下列这些，像完全平方公式、配方，分配丢项，还有变号，存在一些问题。
还有分式运算当中的一些错误，分式通完分以后，有时候在分子乘法当中丢括号，还有错误的使用乘法的一些运算，比如两个分式相加，最后搞成了分子乘分子，分母乘分母。
还有分式运算,其实就是除法，但是学生错误的使用了分配律。
应该说这些问题在我十几年教学当中，这一届学生是比较突出的，以前没有这么多。
从这个年级开始我们是比较在意，所以当时拍了这些照片。
另外我们在近期还让学生自己举自己最容易犯的一个错误是什么，我摘录了一些大家可以看一看，那么像对数运算，就是一些他错误的把乘法跟加法分配律迁移过来的错误。
还有初中学生的运算问题，比如说对根式运算的一些错误问题。
书写方面也存在问题，像对数运算，它的对数符号底跟真数的位置是不同的，当初教学的时候我们特意用了一个四格来表现，实际上我们教师根据以往的经验预见到了一些问题，但是我们发现实施这些策略以后，其实很难改变所有学生，有些学生不重视书写，这是他的学习心理造成的。
还有一些现象也都是运算的错误，像平方运算，加法他用的因式分解。
还有一些是闪念性的错误，像2+3总是写成6，我觉得是运算率2乘3得6，没有体现出运算符号，就出现这个问题。
还有一些像移项，除法运算，还有像对数的运算，以6为底12的对数得2，他就把真数和底数做除法了，等等这些都是我们平常学生作业当中出现的很多问题。
从刚才摘录的很多学生的问题，包括他自己自认为的一些问题。
我想学生举出了自己爱犯的错误，首先从第一关我觉得是解决了，就是他开始重视这个问题，这可能是他已经不再犯的一个问题。
还有其实学生的错误往往是他自己意识不到的，这方面需要我们老师教学当中引导学生关注这个运算，而就运算能力的形成来讲，数学运算能力应该说是一种心理特征，他是对运算进程和方式起着直接的、稳定性、调控性的心理特征。
比如说我们在近期直线与圆的学习过程中，学生在列出方程组以后，然后在求解圆方程的时候，方程组的求解是一个很大的障碍，因为这里解方程组是一个基本技能，最主要的是一个消元的想法，三元变成二元，二元变成单元，还有在里面为了求解就有一个降次，而学生在操作当中就体现出一个能力的差异来，学生有的是凭一种完全纯经验式的，比如见到一个绝对值或者见到有根式的马上就平方，而不管这个对后果造成的是什么，是不是为我后一步运算提供了方便还是造成了障碍，这个学生是预见不到的，这就是一种能力的反应。
再有他的公式使用上，他不能选取一种合适的时机来选用公式，或者说意识不到，比如说求圆的方程，我们把两个点代入圆以后，代入标准方程，这个时候他在消半径的时候是两式做差来消，但是会发现大部分学生不用平方差来做这个运算，这个公式他知道但是没有意识去用。
这些我想都是运算能力方面的，而运算能力的形成首先要过运算技能，因为运算是一个重要的操作性的技能，那么运算技能是指正确
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