广东省各市高考一模数学理试题分类汇编数列.docx
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广东省各市高考一模数学理试题分类汇编数列
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编
数列
一、选择题
1、（2015届江门市）是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2，则公差
A．B．C．D．
2、（2015届汕头市）已知等差数列的前项和为，又知，且，，则为（）
A．B．C．D．
3、（2015届湛江市）已知等比数列的各项均为正数，且公比，若、、成等差数列，则公比（）
A．或B．C．或D．
选择题参考答案
1、C 2、C 3、D
二、填空题
1、（2015届梅州市）已知等比数列{}的公比为正数，且，则＝＿＿＿
填空题参考答案
1、
三、解答题
1、（2015届广州市）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数,使,,成等比数列?
若存在,求的值；若不存在,
请说明理由.
2、（2015届江门市）设数列的前项和，．
⑴求的值；
⑵求数列的通项公式；
⑶证明：
对一切正整数，有．
3、（2015届揭阳市）已知为数列的前项和，（），且．
（1）求的值；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列满足，求证：
．
4、（2015届茂名市）已知数列{}的前n项和为Sn，＝1，且，数列{}满足，＝5，其前9项和为63。
（1）求数列数列{}和{}的通项公式；
（2）令＝，数列{}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有，求的最小值。
5、（2015届梅州市）数列{}满足。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Sn，证明
6、（2015届汕头市）已知是数列的前项和，且满足（，），又已知，，，，，．
计算，，并求数列的通项公式；
若，为数列的前项和，求证：
．
7、（2015届深圳市）已知首项大于的等差数列的公差，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：
，，，其中．
①求数列的通项；
②是否存在实数，使得数列为等比数列？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
8、（2015届湛江市）已知数列的前项和满足（，），且，．
求数列的通项公式；
设（为非零整数，），求的值，使得对任意，恒成立．
9、（2015届中山市）设等差数列的前n项和为，且．
数列的前n项和为，且，．
（）求数列,的通项公式；
（）设，求数列的前项和．
10、（2015届佛山市）数列的前项和为，已知，（）.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的通项；
（Ⅲ）设,数列的前项和为,证明:
（）.
解答题参考答案
1、
（1）解：
∵，
∴.…………………………1分
（2）解法1：
由，得，…………………………2分
故.…………………………3分
∵，∴.
∴.…………………………4分
∴数列是首项为，公差为的等差数列.
∴.…………………………5分
∴.…………………………6分
当时，，…………………………8分
又适合上式，
∴.…………………………9分
解法2：
由，得，…………………………2分
当时，， …………………………3分
∴.…………………………４分
∴.
∴.…………………………５分
∵，
∴.…………………………６分
∴数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列．……………７分
∴． …………………………８分
∵适合上式，
∴.…………………………9分
解法3：
由已知及
（1）得，，
猜想.…………………………2分
下面用数学归纳法证明.
①当，时，由已知，，猜想成立.………3分
②假设时，猜想成立，即，…………………………4分
由已知，得，
故.
∴.…………………………5分
∴.
∴.…………………………6分
∵，
∴.…………………………7分
∴.…………………………8分
故当时，猜想也成立.
由①②知，猜想成立，即.…………………………9分
（3）解：
由
（2）知,.
假设存在正整数,使,,成等比数列,
则.…………………………10分
即.…………………………11分
∵为正整数，
∴.
∴.
∴.
化简得.…………………………12分
∵,
∴.
解得,与为正整数矛盾.……………………13分
∴不存在正整数,使,,成等比数列.…………………………14分
2、⑴……1分
⑵时，
……4分（上式每个等号1分）
时，，所以，……5分
⑶由⑵知，时，……7分
……9分
……11分
……12分，……13分
∵单调递增，∴，……14分
3、解：
（1）由和可得--------------------2分
（2）解法1：
当时，由
得，---------------------------------4分
---------------------6分
∴数列是首项，公差为6的等差数列，
∴-------------------------------------------------------7分
∴-----------------------------------------------------8分
（3）证明：
------------------10分
--------------------11分
∴-------------13分
命题得证．----------------------------------------14分
4、
5、解：
（1），…………2分
所以．…………3分
所以是首项为，公差为的等差数列．…………4分
所以所以．…………6分
（可用观察归纳法求,参照法一给分）
（2） 设,…………7分
则.…………8分
函数为上的减函数，…………9分
所以，即,…………10分
从而…………11分
所以…………12分
所以…13分
得.…………14分
（可用数学归纳法证明,参照法一给分）
6、解：
方法一：
（I）当时，由已知得
因为，所以……①…………………（1分）
当时，…………………（2分）
又……②
由②－①得．……③…………………（3分）
当时，…………………（4分）
对于③式又有．……④
由④－③得（）……⑤…………………（5分）
⑤表明：
数列是以=4为首项，2为公差的等差数列，
所以，…………………（6分）
方法二：
（I）当时，由已知得
因为，所以……①…………………（1分）
当时，…………………（2分）
又……②
由②－①得．（）…………………（3分）
所以，（），且
它表示数列（）（从第二项开始起）是从开始，以为公比的等比数列。
…………………（4分）
所以，所以，（），…………………（5分）
所以，…………………（6分）
（II）又因为不满足⑤
而⑤也表明是从开始，以2为公差的等差数列，
所以，…………………（7分）
所以
也可以写成，
所以，…………………（8分）
也可以写成
所以对于数列的前项和有
①当时，=…………………（9分）
②当时=…………………（10分）
③当时，
=
=
=
…………………（13分）
④当时，
综上所述的前项和对任意正整数成立。
…………………（14分）
7、解：
（1）（法一）：
数列的首项，公差，
，，………………………………………2分
，……………3分
整理得解得或（舍去）．……………………………4分
因此，数列的通项．………………………………………5分
（法二）：
由题意得，…………………………………1分
数列是等差数列，，……………………………2分
，即．………………………………………………………3分
又，，解得或（舍去）．…………………………………4分
因此，数列的通项．………………………………………5分
（2），．…………………………6分
令，则有，．
当时，，．………8分
因此，数列的通项．………………………9分
，，，………………………………………10分
若数列为等比数列，则有，即，解得或．………11分
当时，，不是常数，数列不是等比数列，
当时，，，数列为等比数列．
所以，存在实数使得数列为等比数列．………………………………14分
【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．
8、
9、解：
（Ⅰ）由题意，，得．…………3分
，，
，两式相减，得
数列为等比数列，．…………7分
（Ⅱ）．
当为偶数时，
=．……………10分
当为奇数时，
（法一）为偶数，
……………13分
（法二）
．……………13分
……………14分
10、【解析】（Ⅰ）当时,,解得；……………………1分
当时,,解得；………………………………2分
（Ⅱ）方法一：
当时，，整理得
，即…………………………5分
所以数列是首项为,公差为的等差数列.……………………………6分
所以，即………………………7分
代入中可得.……………………………8分
方法二：
由（Ⅰ）知:
猜想,……………………4分
下面用数学归纳法证明:
①当时，，猜想成立；………………5分
②假设,猜想也成立,即,则
当时,有
整理得，从而
，于是
即时猜想也成立.
所以对于任意的正整数,均有.…………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得,,…………………9分
当时，……11分
当时,成立；………………………12分
当时,所以
综上所述,命题得证.………………………………………………………14分
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