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向量练习试题整理
第五章平面向量
•网络体系总览
复习本章时要注意：
（1）向量具有大小和方向两个要素
解斜三角形
余弦定理
用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系,
同向且等长的有
向线段都表示同一向量•
（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它
们是进一步研究向量的基础•（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量•向量的数量积结果
是一个实数•向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线
是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注
意向量在几何、三角、物理学中的应用•（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要
注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力
5.1向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积
•知识梳理
1.平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：
既有大小又有方向的量叫做向量
（2）表示方法：
用有向线段来表示向量•有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方
向•用字母a,b，…或用AB,BC,…表示•
（3）模：
向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|・
（4）零向量：
长度为零的向量叫做零向量，记作0;零向量的方向不确定•
（5）单位向量：
长度为1个长度单位的向量叫做单位向量•
（6）共线向量：
方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线
（7）相等的向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等的向量
2.向量的加法：
1）定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
（2）法则：
三角形法则；平行四边形法则•（3）运算律：
a+b=b+a;（a+b）+c=a+（b+c）•
3.向量的减法：
（1）定义：
求两个向量差的运算，叫做向量的减法•
（2）法则：
三角形法则；平行四边形法则•
4.实数与向量的积：
1）定义：
实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，规定：
|入a|=|入||a|・当入〉0时，入a的方向与a的方向相同；当入v0时，入a的方向与a的方向相反；当入=0时，入a与a平行•
（2）运算律：
入（口a）=（入口）a,（入+口）a=入a+口a,入（a+b）=入a+入b.
5•两个重要定理：
（1）向量共线定理：
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得b=入a,即bIIab=入a（a丰0）.
（2）平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数入1、入2,使a=入询+入2e2.
•点击双基
1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1,—2）的夹角是180°,且|b|=3,5，贝卩b等于
A.（—3，6）
B.（3,—6）
C.（6,—3）
D.（—6,3）
解析：
易知a与b方向相反，可设
b=（入，一2入）（入v0）.又|b|=3.5=.
2
4，解之得入=—3或入
=3（舍去）.•••b=（—3,6）.答案:
2.（2004年浙江，文4）已知向量a3厂3
A.B.—
44
a=（3,4）,b=（sina,cosa）,且allb,
_44
C.D.—
33
tana等于
解析：
由a//b,「.3cosa=4sina.•tana
=3.答案：
A
4
3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且AB=a,AD=b,
则BE等于
A.b+-a
2
B.b—1a
2
C.a+丄b
2
D.a—-b
2
解析:
4.ei、
A.0
L'■-L1LL
BE=AE—AB=AD+DE—AB=AD+AB—AB
2
e2是不共线的向量，a=e1+ke2,b=ke1+e2，贝Ua与b共线的充要条件是实数
B.—1C.—2D.±1
1
=b—a.答案:
2
k等于
解析:
mk1
a与b共线存在实数m,使a=mb,即e什ke2=mke什me2.又e1、e2不共线,•'二k=±1.•D
mk.
5.若a="向东走8km”，b="向北走8km”，贝a+b|=,a+b的方向是.
解析：
|a+b|=.,6464=8,2（km）.答案：
8.2km东北方向
•典例剖析
【例1】已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,|a—b|=2,贝则|a+b|等于
A.1B.2C..5D.6
剖析：
欲求|a+b|,一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算
解法一：
设a=（X1,y1）,b=（X2,y2）,贝VX12+y12=1,X22+y22=4,a—b=（X1—X2,y1—y2）,
■'■（X1—x2）+（y1—y2）=4.•X1—2X1X2+X2+y1—2y1y2+y2=4.•1—2x1x2—2y1y2=0.•2x1X2+2y1y2=1.
••（X1+X2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1X2+2y1y2=5+1=6.•|a+b|=、6.
解法二：
T|a+b|2+|a—bf=2（|a|2+|b|2）,•|a+b|2=2（|a|2+|bf）—a—b|2=2（1+4）—22=6.•|a+b|=.6.故D.
深化拓展
此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理
【例2]如图，G是厶ABC的重心，求证：
GA+GB+GC=0.
A
C
E
剖析：
要证GA+GB+GC=O，只需证GA+GB=—GC,即只需证GA+GB与GC互为相反的向量
证明：
以向量GB、GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB+GC=GE=2GD.又由GABC的重心知
AG=2GD，从而GA=—2GD.
•••GA+GB+GC=—2GD+2GD=0.
评述：
向量的加法可以用几何法进行识，并能体会用向量处理问题的优越性
深化拓展
此题也可用向量的坐标运算进行证明
•正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认
【例3】设OA、OB不共线，点
p在ab上，求证：
Op=入OA+口Ob且入+口=1,入、口€r.
剖析：
•点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP=tAB.再用以0为起点的向量表示•
证明：
•••P在AB上，•AP与AB共线••AP=tAB.•OP—OA=t（OB—OA）.
•OP=OA+tOB—tOA=（1—t）OA+tOB.设1—t=入，t=口，贝UOP=入0A+口0B且入+口=1,
评述：
本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用深化拓展
①本题也可变为OA,OB不共线，若OP=入OA+口OB，且入+口=1,入€R,口€R，求证:
B、P
点共线•
提示：
证明AP与AB共线.
②当
【例
（1）
d*d卜
入=口=丄时，OP=1（OA+OB）,此时P为AB的中点，这是向量的中点公式
22
4】若a、b是两个不共线的非零向量（t€R）.
1
a、tb、1（a+b）三向量的终点在一直线上？
3
若a与b起点相同，t为何值时,
（2）
若|a|=|b|且a与b夹角为60°,那么t为何值时，|a—tb|的值最小？
（a+b）（m€R）,化简得（列—1）
3
1
解:
（1）设a—tb=m[a—-
3
a=（m—t）b.
3
2m
1
•••a与b不共线，•3
mt3
3
m,彳
2•t=-时,
12t—•
2
a、tb、
（a+b）的终点在一直线上•
—2t|a||b|cos60°=（1+t2—t）|a|2,「.t=1时，|a—tb|有最小值
2
评述：
用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题思考讨论
两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样
•闯关训练
夯实基础
1.（2004年广东，1）已知平面向量a=（3,
A.3B.1
解析：
由a丄b,则3x—3=0,•x=1.答案：
（2）|a—tb|2=（a—tb）2=|a|2+t2|b|2
1）,b=（x,—3）且a丄b，则x等于
C.—1D.—3
B
|a|.
2•若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则有
A.a//b且a、b方向相同
B.a=b
C.a=—b
D.以上都不对
解析：
a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,「.a//b且方向相同.答案：
A
3.在四边形ABCD中，AB—DC—CB等于
A.AC
B.BD
C.AD
D.AC
解析：
AB—DC—CB=AB—DB=AB+BD=AD.答案：
C
4.设四边形ABCD中，有DC=1AB且|AD|=|BC|,则这个四边形是
2
A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形
解析：
•••DC=1AB,•••DC//AB,且DCAB.又|AD|=|BC四边形为等腰梯形.答案：
C
5」1、12是不共线向量，且a=—I1+3I2,b=4li+2l2,c=—3li+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.解：
设a=Xib+入2c,即一Ii+3l2=入i（4li+2l2）+入2（—3li+12l2）,
即一li+3l2=（4Xi—3入2）li+（2入i+12入2）12,
4
31
12，解得X1=
:
X2=
■■—，故a=—
1b+
7c
2
1+122=3.
18
27
18
27
6.设两向量ei、e2满足|ei|=2,|e2|=1,ei、e2的夹角为60°,若向量2tei+7®与向量ei+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：
ei2=4,e22=1,ei•e2=2x1xcos60°=1,
••（2tei+7e2）•（ei+te2）=2tei2+（2t2+7）ei•e2+7te22=2t2+15t+7.「.2t2+15t+7v0.
12t2J14l
•—7vtv——.设2tei+7e2=X（ei+te2）（X<0）2t2=7t=—,•X=—.14.
27t2
-.：
14r.；14141
.•.当t=—时，2tei+7e2与ei+te2的夹角为n.•t的取值范围是（一7，—）U（—,—一）.
2222
思考讨论
向量a、b的夹角为钝角，贝Ucos〈a,b><0,它们互为充要条件吗？
培养能力
7.已知向量a=2ei—3e2,b=2ei+3e2，其中ei、e2不共线，向量c=2ei—9e2.问是否存在这样的实数X、口，使向量d=Xa+口b与c共线?
解：
•••d=X（2ei—3e2）+口（2ei+3e2）=（2X+2口）ei+（—3X+3口）e2,
要使d与c共线，则应有实数k,使d=kc，即（2X+2口）ei+（—3X+3口）e2=2kei—9ke2,
222k
由222k，得X=—2口.故存在这样的实数X、口，只要X=—2口，就能使d与c共线.
339k,
8.如图所示，D、E是厶ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC=a,BD=b，试
用a、b分别表示
DE、CE和MN.
解：
由三角形中位线定理，知
DE亠1BC.
2
11
CE=CB+BD+DE=—a+b+a=—a+b,
22
探究创新
A
故DE=BC，即
2
DE=1a.
2
MN=MD+DB+BN=!
2
ED+DB+-BC=—-a+1a—b=1a—b.
2424
9•在△ABC中，AM:
AB=1:
3,AN:
AC=1:
4,BN与CM交于点E,AB=a,
AC=b，用a、b表示AE.
C
设ME=入MC,入€R，贝VAE=AM+ME=AM+XMC.
1—i■
1■11
（AC—3ab）「ae=（3--）AB+XAC.
解：
由已知得AM=-AB，AN=-AC.34
而MC=AC—AM,•••AE=AM+入（AC—AM）=丄AB+入
3
鼻■■■■■上**|上*4上血山4*.■4$
同理，设NE=tNB,t€R，贝UAE=AN+NE=-AC+tNB=-AC+t（AB—AN）=-AC+t（AB—-AC）.
4444
1t
•AE=（1—-）AC+tAB.
•（-
）AB+X
AC=
:
（1-
1）
AC+tAB.
44
3
1
3
t,
2
4
4
由AB与AC是不共线向量,
得
33
解得
11，
•AE=
：
2
AB+—AC，即AE=
.3^2.a+b.
1
t
t
3
11
11
1111
4
4
11.
评述：
此题所涉及的量较多，
且向量与向量之间的关系较为复杂，
因此对学生来说确有一定困难
.通过共线
向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用
•思悟小结
1•我们学习的向量具有大小和方向两个要素•用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系•同向
且等长的有向线段都表示同一向量•2•共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本
结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：
a//ba=入b,只有b工0才是正确的
而当b=0时，a//b是a=Xb的必要不充分条件.4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题•5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力
•教师下载中心
教学点睛
1.本课复习的重点是：
理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.
2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算
4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等
拓展题例
【例题】对任意非零向量a、b,求证：
|a|—|b|w|a±b|<|a|+|b|.
证明：
分三种情况考虑•
（1）当a、b共线且方向相同时,|a|—|b|v|a+b|=|a|+|b|,|a|—|b|=|a—b|v|a|+|b|.
（2）当a、b共线且方向相反时，Ia—b=a+（—b）,a+b=a—（—b）,利用
（1）的结论有||a|—|b||v|a+b|
v|a|+|b|,|a|—|b|v|a—b|=|a|+|b|.
（3）当a,b不共线时，设OA=a,OB=b，作OC=OA+OB=a+b,BA=OA—OB=a-b,利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|—|b||<|a±b|<|a|+|b|.综上得证•
5.2向量的数量积
•知识梳理
1.数量积的概念：
（1）
（3）cos〈a，b>
（4）a丄ba•b=0X1X2+y1y2=0.
向量的夹角：
如下图，已知两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b，则/AOB=0（0°<0<180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a,b>.
（1）e-a=a•e=|a|cos0.
（2）当a与b同向时，a•b=|a||b|;当a与b反向时，a•b=—|a||b|,特别地，a•a=|a|2，或|a|=.a2
ab
（3）a丄ba•b=0.（4）cos0=.（5）|a•b|<|a||b|.
|a||b|
3.运算律：
（1）a•b=b•a;
（2）（入a）•b=X（a•b）=a•（Xb）;（3）（a+b）•c=a•c+b•c.
4.向量数量积的坐标运算：
设a=（X1,y1）,b=（X2,y2）,贝U
（1）a•b=x1X2+y1y2；
（2）|a|^''x12y12;
0*A
（2）数量积的定义：
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为0，则数量|a||b|cos0叫做a与b的数量积，记作a•b，即即a•b=|a||b|cos0.
（3）数量积的几何意义：
数量积a•b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos0的乘积.
2.数量积的性质：
设e是单位向量，〈a，e>=0.
X1X2%y2；
-2222'X1y1\X2y2
思考讨论
（a•b）c与a（b•c）是否相等？
•点击双基
1.（2004年全国I，3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于
A.
B.10
D.4
解析：
|a+3b|=（a3b）2=la26ab9b2=J—=右3.答案：
C
2.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,（a+2b）•（a—3b）=—72,则向量a的模是
A.2B.4C.6D.12
解析：
（a+2b）•（a—3b）=|a|2—|a||b|cos60°—6|b|2=|a|2—2|a|—96=—72,••|a|2—2|a|—24=0.•（|a|—6）•（|a|+4）=0.•|a|=6.
3.已知
答案：
a=（入，
a.10
A.入〉一
3
C
2）,b=（—3,
r.10
B.—
3
5）,且a与b的夹角为钝角，贝U入的取值范围是
、10「10
C.入33
解析：
•••a与b的夹角为钝角,
cos〈a,b><0.•••a•bA
3
4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1,—2）,若向量AB与a=（2,3）同向，|AB|=2"3，则点B的坐
标为.
解析：
设A点坐标为（Xa，yA），B点坐标为（XB，yB）
•/AB与a同向，•可设AB
=Xa=（2入，
3X）（X>0）
.•|AB|=（2
（3
）=2历,•X=2
则AB=（Xb—xa,yB—yA）=
（4,6）,•
XbXa4，…
Xa1，•
XB
5,.
-B点坐标为（5,4）
yByA6.
yA2‘
yB
4.
（文）已知点A（—1,—5）
和向量a=（
2,3）,若AB=3a,则点B的坐标为
解析：
设B点坐标为（Xb,yB）,
则AB=（Xb+1,yB+5）=3a=（6,9）,•
XbyB
16,.Xb
59.yB
5,
•B（5,
4.
4）.答案：
（5,4）
•典例剖析
【例1】判断下列各命题正确与否：
（1）若aM0,a•b=a•c,贝Ub=c;
（2）
右a
-b=a•c,贝U
bmc当且仅当
a=0时成立；
（3）（a•b）c=a（b•c）对任意向量a、b、c都成立；（4）对任一向量a,有a2=|a|2.
剖析：
（1）
（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成a•a=|a|2可判断.
解：
（1）a•b=a•c,「.|a||b|cosa=|a||c|cosp（其中a、卩分别为a与b,a与c的夹角）.TlalM0，二|b|cosa=|c|cos3••••cosa与cos卩不一定相等，二|b|与|c|不一定相等Jb与C也不一定相等••••
（1）不正确•
（2）若a•b=a•c,则|a||b|cosa=|a||c|cos3（a、卩为a与b,a与c的夹角）.•|a|（lb|cosa—|c|cos3）=0.
•|a|=0或|b|cosa=|c|cos3.当bmc时，|b|cosa与|c|cos3可能相等.••
（2）不正确.
（3）（a•b）c=（|a||b|cosa）c,a（b•c）=a|b||c|cos0（其中a、B分别为a与b,b与c的夹角）.
（a•b）c是与c共线的向量，a（b•c）是与a共线的向量.•（3）不正确.（4）正确.
评述：
判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.
【例2】平面内有向量OA=（1,7）,OB=（5,1）,OP=（2,1）,点X为直线OP上的一个动点
（1）当XA•XB取最小值时，求OX的坐标；
（2）当点X满足
（1）的条件和结论时，求cos/AXB的值.剖析：
因为点X在直线OP上,向量OX与OP共线，可以得到关于OX坐标的一个关系式，再根据XA•XB
的最小值，求得OX的坐标，而cos/AXB是XA与XB夹角的余弦，利用数量积的知识易解决.
解：
（1）设OX=（x,y
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