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1、向量练习试题整理第五章平面向量网络体系总览复习本章时要注意：(1)向量具有大小和方向两个要素解斜三角形余弦定理用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量( 2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础 ( 3 )向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量 向量的数量积结果是一个实数向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律 .(5)要注意向量在几何、三角、物理

2、学中的应用 ( 6)平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积知识梳理1. 平面向量的有关概念：(1) 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量(2) 表示方法：用有向线段来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向用字母a, b，或用AB , BC,表示(3) 模：向量的长度叫向量的模，记作 |a|或|AB|(4) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0;零向量的方向不确定(5) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量 (6) 共线向量：方向相

3、同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线(7) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量2. 向量的加法：1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)法则：三角形法则；平行四边形法则 ( 3)运算律：a+b=b+a; (a+b) +c=a+ ( b+c) 3. 向量的减法：(1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ( 2)法则：三角形法则；平行四边形法则 4. 实数与向量的积：1)定义：实数 入与向量a的积是一个向量，记作 入a，规定：|入a|=|入|a|当入0时，入a的方向与a的 方向相同；当 入v 0时，入a的方向与a的方向相反；当 入=0时，入a与a平行(

4、2) 运算律：入(口 a)=(入 口)a,(入+口)a=入 a+口 a,入(a+b)=入 a+ 入 b.5两个重要定理：(1) 向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数 入，使得b=入a,即b II a b= 入a (a丰0).(2) 平面向量基本定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a, 有且仅有一对实数 入1、入2,使 a=入询+入2e2.点击双基1. (2004年天津，理3)若平面向量b与向量a= (1, 2)的夹角是180,且|b|=3 , 5，贝卩b等于A. ( 3，6)B. (3, 6)C. (6, 3)D. (

5、6, 3)解析：易知a与b方向相反，可设b=(入，一2 入)(入 v 0).又 |b|=3 . 5 =. 24 ，解之得入=3或入=3 (舍去). b= ( 3, 6). 答案:2. (2004年浙江，文4)已知向量 a 3 厂 3A. B.4 4a= (3, 4), b= (sin a , cos a ), 且 all b,_ 4 4C. D.3 3tan a等于解析：由 a/ b,. 3cosa =4sin a . tana=3 .答案：A43. 若ABCD为正方形，E是CD的中点，且 AB =a, AD =b,则BE等于A. b+ - a2B.b 1 a2C.a+丄 b2D.a - b2

6、解析:4.ei、A.0 L - L 1 L LBE = AE AB = AD + DE AB = AD + AB AB2e2是不共线的向量，a=e1+ke2, b=ke1+e2，贝U a与b共线的充要条件是实数B. 1 C. 2 D. 11=b a. 答案:2k等于解析:mk 1a与b共线 存在实数 m ,使a=mb ,即e什ke2=mke什me2.又e1、e2不共线, 二k= 1. Dm k.5. 若a=向东走8 km”，b=向北走8 km”，贝a+b|= , a+b的方向是 .解析：|a+b|=.,64 64=8,2 (km).答案：8 . 2 km 东北方向典例剖析【例1】 已知向量a、

7、b满足|a|=1 , |b|=2 , |a b|=2 ,贝则|a+b|等于A.1 B. 2 C. . 5 D. 6剖析：欲求|a+b| , 一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算解法一：设 a= (X1 , y1), b= (X2 , y2),贝V X12+y12=1, X22+y22=4 , a b= (X1 X2 , y1 y2),( X1 x2) + (y1 y2)=4. X1 2X1X2+X2 +y1 2y1y2+y2 =4. 1 2x1x2 2y1y2=0. 2x1X2+2y1y2=1.( X1+X2) 2+ (y1+y2) 2=1+4+2x1X2+2y1y2=5+1=6.

8、|a+b|=、6 .解法二：T |a+b|2+|a bf=2 (|a|2+|b|2), |a+b|2=2 (|a|2+|bf) a b|2=2 (1+4) 22=6. |a+b|= . 6 .故 D.深化拓展此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理【例2 如图，G是厶ABC的重心，求证： GA+GB + GC =0.ACE剖析：要证GA + GB+GC=O，只需证GA + GB= GC ,即只需证GA + GB与GC互为相反的向量证明：以向量 GB、GC为邻边作平行四边形 GBEC，则GB + GC = GE =2 GD .又由G ABC的重心知AG =2 GD，从而 GA = 2 GD .

9、 GA + GB +GC = 2GD +2 GD =0.评述：向量的加法可以用几何法进行 识，并能体会用向量处理问题的优越性深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认【例3】设OA、OB不共线，点p在ab上，求证：Op =入OA+ 口 Ob且入+ 口 =1,入、口 r.剖析：点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP=tAB.再用以0为起点的向量表示证明： P 在 AB 上， AP 与 AB 共线 AP =t AB . OP OA=t ( OB OA ). OP = OA +tOB tOA= (1 t) OA+tOB .设 1 t=入，t

10、= 口，贝U OP =入 0A+ 口 0B 且入 + 口 =1 ,评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用 深化拓展本题也可变为 OA , OB不共线，若OP =入OA+口 OB，且入+ 口 =1,入 R, 口 R，求证:B、P点共线提示：证明AP与AB共线.当【例(1)d * d 卜入=口 =丄时，OP= 1 ( OA+OB ),此时P为AB的中点，这是向量的中点公式2 24】若a、b是两个不共线的非零向量(t R).1a、tb、1 (a+b)三向量的终点在一直线上 ？3若a与b起点相同，t为何值时,(2)若|a|=|b|且a与b夹角为60,那么t为何值时，|a t

11、b|的值最小？(a+b) (m R),化简得(列1)31解: (1)设 a tb=m a-3a= ( m t) b.32m1 a与b不共线， 3m t 33m , 彳2 t=-时,1 2 t 2a、tb、(a+b)的终点在一直线上2t|a|b|cos60 = (1+t2 t) |a|2,. t= 1 时，|a tb|有最小值2评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题 思考讨论两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样闯关训练夯实基础1. (2004年广东，1)已知平面向量 a= (3,A.3 B.1解析：由a丄b,则3x 3=0, x=1.答案：(2) |a tb|

12、2= (a tb) 2=|a|2+t2|b|21), b= (x, 3)且a丄b，则x等于C. 1 D. 3B|a|.2若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则有A.a/ b且a、b方向相同B.a=bC.a= bD.以上都不对解析：a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,. a / b且方向相同.答案：A3. 在四边形 ABCD中，AB DC CB等于A. ACB. BDC. ADD. AC解析：AB DC CB = AB DB = AB + BD = AD . 答案：C4. 设四边形ABCD中，有DC = 1 AB且|AD|=|BC|,则这个四边形是2A.平行四边形 B.

13、矩形 C.等腰梯形 D.菱形解析： DC = 1 AB , DC / AB,且DC AB.又| AD |=|BC 四边形为等腰梯形.答案：C51、12是不共线向量，且 a= I1+3I2, b=4li+2l2, c= 3li+12l2，若b、c为一组基底，求向量 a. 解：设 a= X ib+ 入 2c,即一Ii+3l2=入 i ( 4li+2l2) + 入 2 ( 3li+12l2),即一li+3l2= (4 X i 3 入 2) li+(2 入 i+12 入 2) 12,43 11 2 ，解得X 1=: ,X 2=，故 a=1 b+7 c21 + 12 2=3.182718276. 设两向

14、量ei、e2满足|ei|=2, |e2|=1, ei、e2的夹角为60,若向量2tei+7与向量ei+te2的夹角为钝角，求 实数t的取值范围.解：ei2=4, e22=1, ei e2=2x 1 x cos60 =1,( 2tei+7e2) (ei+te2) =2tei2+ (2t2+7) ei e2+7te22=2t2+15t+7. 2t2+15t+7v 0.1 2t 2 J14 l 7v t v.设 2tei+7e2=X (ei+te2)( X 0,它们互为充要条件吗？培养能力7. 已知向量a=2ei 3e2, b=2ei+3e2，其中ei、e2不共线，向量 c=2ei 9e2.问是否存

15、在这样的实数 X、口，使 向量d= X a+ 口 b与c共线?解： d= X (2ei 3e2) + 口 ( 2ei+3e2) = (2 X +2 口)ei+ ( 3 X+3 口)e2,要使 d 与 c 共线，则应有实数 k,使 d=kc，即(2 X +2 口)ei+ ( 3 X +3 口)e2=2kei 9ke2,2 2 2k由2 2 2k， 得X = 2 口 .故存在这样的实数X、口，只要X = 2 口，就能使d与c共线.3 3 9k,8. 如图所示，D、E是厶ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知 BC =a, BD=b，试用a、b分别表示DE、CE 和 MN .

16、解：由三角形中位线定理，知DE 亠 1 BC.21 1CE = CB + BD + DE = a+b+ a= a+b,2 2探究创新A故DE = BC，即2DE =1 a.2MN = MD + DB + BN =! 2ED+ DB +- BC= - a+1 a b=1 a b.2 4 2 49在 ABC 中，AM : AB=1 : 3, AN : AC=1 : 4, BN 与 CM 交于点 E, AB =a,AC =b，用 a、b 表示 AE .C设 ME =入 MC ,入 R，贝V AE = AM + ME = AM + X MC . 1 i 1 1 1(AC 3ab )ae=( 3 - -

17、)AB + X AC.解：由已知得 AM = - AB， AN = - AC . 3 4而 MC = AC AM , AE = AM + 入(AC AM )=丄 AB + 入3鼻 上 *| 上 * 4 上 血 山 4 *. 4 $同理，设 NE =tNB , t R，贝U AE = AN + NE = - AC +tNB =- AC +t ( AB AN ) =- AC +t ( AB - AC ).4 4 4 41 t AE = ( 1 - ) AC +t AB .(- )AB+ XAC =:(1 -1 )AC +t AB .4 4313t,244由AB与AC是不共线向量,得3 3解得11，

18、 AE =：2AB + AC，即 AE =.32. a+ b.1tt3111111 114411.评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用思悟小结1我们学习的向量具有大小和方向两个要素 用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系 同向且等长的有向线段都表示同一向量 2共线向量和平面向量的两条基本定理， 揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础 .3.对于两个向量平行的充要条件： a/ b a=入b,只有b工0才是正确的而当b=0时，a

19、/ b是a= X b的必要不充分条件.4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来 证明“形”的问题 5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力教师下载中心教学点睛1. 本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算 .2. 复习时要构建良好的知识结构 .3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算4. 强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等拓展题例【例题】 对任意非零向量a、b,求证：|a|b|w|ab| |a|+|b|.证明：分三种情况考虑(1) 当 a、b 共线且方向相同时,|a| |b|v|a+b|=|

20、a|+|b|, |a|b|=|a b|v |a|+|b|.(2) 当 a、b 共线且方向相反时，I a b=a+ ( b), a+b=a( b),利用(1 )的结论有 |a|b|v |a+b|v|a|+|b|, |a|b|v|a b|=|a|+|b|.(3) 当 a, b 不共线时，设 OA=a, OB=b，作 OC =OA+OB=a+b, BA = OA OB =a-b,利用三角形两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边，得 | a| | b| |a b| (4) a 丄 b a b=0 X1X2+y1y2=0. 向量的夹角：如下图，已知两个非零向量 a和b，作OA=a, OB=b，则/ A

21、OB= 0 (0 0 .(1) e - a=a e=|a|cos 0 .(2)当 a 与 b 同向时，a b=|a|b|;当 a 与 b 反向时，a b= |a|b|,特别地，a a=|a|2，或 |a|= . a2a b(3) a丄 b a b=0. (4) cos0 = . (5) |a b| = 0 .X1X2 % y2 ；-2 2 2 2 X1 y1 X2 y2思考讨论(a b) c与a (b c)是否相等？点击双基1. (2004年全国I， 3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|a+3b|等于A.B. 10D.4解析：|a+3b|= (a 3b)2=la2 6a b

22、9b2 = J =右3 . 答案：C2. 若向量a与b的夹角为60, |b|=4, (a+2b) (a 3b) = 72,则向量a的模是A.2 B.4 C.6 D.12解析：(a+2b) (a 3b) =|a|2 |a|b|cos60 6|b|2=|a|2 2|a| 96= 72, |a|2 2|a| 24=0. (|a| 6) ( |a|+4) =0. |a|=6.3. 已知答案：a=(入，a . 10A.入一3C2) , b= ( 3,r . 10B. 35),且a与b的夹角为钝角，贝U入的取值范围是、 10 10C.入 D. X 0. a b O. 3X +10 0). | AB |=

23、(2(3)=2 历, X =2则 AB = ( Xb xa , yB yA)=(4 , 6) , Xb Xa 4，Xa 1， XB5 ,.-B点坐标为(5 , 4)yB yA 6.yA 2yB4.(文)已知点 A ( 1, 5)和向量a=(2 , 3),若AB=3a ,则点B的坐标为解析：设B点坐标为(Xb, yB),则 AB = (Xb+1 , yB+5) =3a= (6 , 9) , Xb yB1 6, . Xb5 9. yB5 , B ( 5,4.4).答案：(5 , 4)典例剖析【例1】 判断下列各命题正确与否：(1)若 aM 0 , a b=a c ,贝U b=c; (2)右a-b=

24、a c ,贝 Ubm c当且仅当a=0时成立；(3) (a b) c=a (b c)对任意向量 a、b、c都成立；(4)对任一向量 a,有a2=|a|2.剖析：(1) (2)可由数量积的定义判断.(3)通过计算判断.(4)把a2转化成a a=|a|2可判断.解：(1) a b=a c,. |a|b|cosa =|a|c|cosp (其中 a、卩分别为 a 与 b, a 与 c 的夹角).TlalM 0，二 |b|cos a =|c|cos3 cos a与cos卩不一定相等，二|b|与|c|不一定相等 J b与C也不一定相等( 1 )不正确 (2 )若 a b=a c,则 |a|b|cosa =

25、|a|c|cos 3 (a、卩为 a 与 b, a 与 c 的夹角). |a| (l b | cos a | c | cos 3 ) =0. |a|=0 或|b|cosa =|c|cos 3 .当 b m c 时，|b|cosa 与|c|cos3 可能相等.( 2)不正确.(3) (a b) c= (|a|b|cosa ) c, a (b c) =a|b|c|cos 0 (其中 a、B 分别为 a 与 b, b 与 c 的夹角).(a b) c是与c共线的向量，a (b c)是与a共线的向量.( 3)不正确.(4)正确.评述：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义， 向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律 .【例2】 平面内有向量OA= (1, 7) , OB = (5, 1), OP = (2, 1),点X为直线OP上的一个动点(1) 当XA XB取最小值时，求 OX的坐标；(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求 cos/ AXB的值. 剖析：因为点X在直线OP 上,向量OX与OP共线，可以得到关于OX坐标的一个关系式， 再根据XA XB的最小值，求得 OX的坐标，而cos/ AXB是XA与XB夹角的余弦，利用数量积的知识易解决 .解：(1 )设 OX = (x, y