常用的基本求导定律.docx
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常用的基本求导定律
1.基本求导公式
⑴（C）
0（C为常数）
⑵
（xn）
nx；般地，（x）x。
特别地：
2
（x）1,（x）
2x,
1（―）
x
2,（'、x）
x2、X
⑶（ex）
x
e；
-般地，
（ax）
axln
a（a0,a1）。
⑷（lnx）
1
一般地，
（log
ax）-
1
（a0,a1）。
xxlna
2.求导法则⑴四则运算法则
设f（x）,g（x）均在点X可导，则有：
（I）（f（x）g（x））f（x）g（x）;
（n）（f（x）g（x））f（x）g（x）f（x）g（x），特别（Cf（x））Cf（x）（C为常数）；
常用的不定积分公式
xdx
（1）
x3dx
1
x
1
4
x
c
4
（1）,dxx
c,xdx
c,
x2dx
（2）
^dx
x
In|x|C
exdxexC;
axdx
x
a
lna
C（a
0,a1）；
（3）
kf（x）dxkf（x）dx
（k为常数）
5、定积分
F（a）
bb
af（x）dxF（x）|aF（b）
b
a[k1f（x）k2g（x）]dx
a
bb
&af（x）dxk2ag（x）dx
⑵分部积分法
设u（x）,v（x）在［a,b］上具有连续导数u（x）,v（x）
u（x）dv（x）u（x）v（x）a
b
v（x）du（x）
6、线性代数
特殊矩阵的概念
（1）、零矩阵
°22
（2）、单位矩阵In
二阶
（3）、对角矩阵
a1
0
0
a2
（4）、对称矩阵aj
aji,A
an
（5）
a11
0
a12
a22
a1n
a2n
ann
a1
0
0
a2
an
（6）、
矩阵转置
a11
a12
a1n
a11
a21
an1
a21
a22
a2n转置后AT
a12
a22
an2
an1
an2
ann
a1n
a2n
ann
A
6、矩阵运算
abeAB
cdg
ae
ce
bg
dg
af
cf
bh
dh
7、MATLAB
软件计算题
例6试写出用MATLAB
软件求函数
ln（、xx2
ex）的二阶导数y
的命令语句解：
>>clear;
>>symsxy;
>>y=log（sqrt（x+xA2）+exp（x））;
>>dy=diff（y,2）
例：
试写出用MATLAB软件求函数yIn（•..xex）的一阶导数y的命令语句。
>>clear;
>>symsxy;
>>y=log（sqrt（x）+exp（x））;
>>dy=diff（y）
243
例11试写出用MATLAB软件计算定积分“丄exdx的命令语句。
1x
解:
>>clear;
>>symsxy;
>>y=（1/x）*exp（xA3）;
>>int（y,1,2）
例试写出用MATLAB软件计算定积分-ex3dx的命令语句。
x
解:
>>clear;
>>symsxy;
>>y=（1/x）*exp（xA3）;
>>int（y）
MATLAB软件的函数命令
表1MATLAB软件中的函数命令
函数
a
x
Jx
xe
Inx
Igx
log；
ix
MATLAB
xAa
sqrt（x）
exp（x）
log（x）
logiO（x）
log2（x）
abs（x）
运算符号
运算符
+
-
*
/
A
功能
加
减
乘
除
乘方
典型例题
例1设某物资要从产地Ai,A2,A3调往销地Bi,B2,B3,B4，运
输平衡表（单位：
吨）和运价表（单位：
百元/吨）如下表所示：
运输平衡表与运价表
、销地产地\
Bi
B2
B3
B4
供应
量
B
i
B
2
B
3
B
4
Ai
7
3
i
3
i
i
i
A2
4
i
9
2
8
A3
9
7
4
i
5
0
需求量
3
6
5
6
20
（1）用最小兀素法编制的初始调运方案，
（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案,并计算最低运输总费用。
解：
用最小兀素法编制的初始调运方案如下表所示:
运输平衡表与运价表
^地
产地
B1
B2
B3
B4
供应
量
B
1
B
2
B
3
B
4
A1
4
3
7
3
1
3
1
1
1
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
1
5
0
需求量
3
6
5
6
20
找空格对
已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1
调整后的第二个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应
量
B
1
B
2
B
3
B
4
A1
5
2
7
3
1
3
1
1
1
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
1
5
0
需求量
3
6
5
6
20
求第二个调运方案的检验数：
11=-1
已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2
调整后的第三个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
^地
产地\
B1
B2
B3
B4
供应
量
B
1
B
2
B
3
B
4
A1
2
5
7
3
1
3
1
1
1
A2
1
3
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
1
5
0
需求量
3
6
5
6
20
求第三个调运方案的检验数:
所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为:
2X3+5X3+1X1+3X8+6X4+3X5=85（百兀）例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。
今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时
分别为6台时、3台时和6台时。
另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。
由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只
有150台时。
1.试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产
品能获得利润最大的线性规划模型。
2.
写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
然X1,X2,X3X）
线性规划模型为
maxS400x1250x2300x3
4x14x25x3180
6x13x26x3150
X1,X2,X30
2.解上述线性规划问题的语句为:
>>clear;
>>C=-[400250300];
>>A=[445;636];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog（C,A,B,[],[],LB）
例4设y=（1+x2）lnx,求：
y
x
例5设y七，求：
y
总成本增加1万元，销售该产品q百台的收入为R（q）=4q—0.5q2
（万元）。
当产量为多少时，利润最大？
最大利润为多少？
解：
产量为q百台的总成本函数为：
C（q）=q+2
利润函数L（q）=R（q）—C（q）=—0.5q2+3q—2令ML（q）=—q+3=0得唯一驻点q=3（百台）
故当产量q=3百台时，利润最大，最大利润为
L（3）=—0.5X32+3X3—2=2.5（万元）
例8某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。
令C（q）丄10000000000得定义域内的唯一驻点q=200000件
40q
即经济批量为200000件。
1
例9计算定积分：
°（x3ex）dx
解：
0（x3ex）dx（-2x23ex）|03e|
例10计算定积分：
：
（x2-）dx
1x
321326
解：
（X2）dx（_x321n|x|）|21n3
1x3I13
教学补充说明
1.对编程问题，要记住函数ex，1nx,.x在MATLAB软件中相应的
命令函数exp（x），log（x），sqrt（x）；
2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：
xadx-^―xa1c（aM—1）
a1
xx
edxec
1
dxIn|x|c
x
7.记住两个函数值：
e0=1,ln1=0。
模拟试题
一、单项选择题：
（每小题4分，共20分）
1.若某物资的总供应量（C）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。
（A）等于（B）小于
（C）大于（D）不超过
2.某物流公司有三种化学原料A1,A2,A3。
每公斤原料A1含B1,
B2,B3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤;每公斤原料A2含Bi,B2,B3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3含Bi,B2,B3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。
每公斤原料Ai,A2,A3的成本分别为500元、300元和400元。
今需要Bi成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。
为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料
Ai，A2，A3的用量分别为xi公斤、X2公斤和X3公斤，则目标函数为
（D）。
（A）maxS=500xi+300x2（B）minS=i00xi+50x2+80x3
+400X3
（C）maxS=i00xi+50x2+
（D）minS=500xi+300x2+
80x3
400X3
i2i2
3.设A，B
4x7x7
并且A=B,则x=（C）。
（A）4
（B）3
（C）2
（D）i
4.设运输某物品q吨的成本（单位：
兀）函数为C（q）=q2+50q+2000，则运输该物品i00吨时的平均成本为（A）元/吨。
（A）i70（B）250
（C）i700（D）i7000
5.已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR（q），则运输该物品从i00吨到300吨时的收入增加量为（D）。
300i00
（A）i00MR（q）dqC（0）（B）300MR（q）dq
解：
AB
8.计算定积分：
0（x32ex）dx
1d1
解:
（x32ex）dx」x42ex）|2e
04|0
三、编程题：
（每小题6分，共12分）
ex）的二阶导数y的命
9•试写出用MATLAB软件求函数yln（：
xx2
令语句。
解：
>>clear;
>>symsxy;
>>y=log（sqrt（x+xA2）+exp（x））;
>>dy=diff（y,2）
1—
10.试写出用MATLAB软件计算定积分0x£xdx的命令语句
解:
>>clear;
>>symsxy;
>>y=x*exp（sqrt（x））;
>>int（y,0,1）四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）
11.某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。
解：
库存总成本函数c（q）21000000000
40q
令c（q）丄1000°000000得定义域内的惟一驻点q=200000件。
40q2
即经济批量为200000件。
12.某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。
今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。
另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。
由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。
试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种
产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算
该线性规划问题的命令语句。
解：
设生产甲、乙、丙三种产品分别为X1件、X2件和X3件，显然X1,
X2,X3X）
线性规划模型为
maxS400x1250x2300x3
4x4x25x3180
6x3x26x3150
Xi,X2,X30
解上述线性规划问题的语句为：
>>clear;
>>C=-[400250300];
>>A=[445;636];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog（C,A,B,[],[],LB）
线性规划习题
1.某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A,B,C三种不
同的原料，从工艺资料知道：
每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1
单位。
每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。
又知，销售一件
产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4
万元。
试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计
算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行）。
解：
设生产甲产品X1吨，乙产品x2吨。
线性规划模型为：
maxS3x14x2
x-ix26
x-i2x28
X23
Xi,X20
用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>>clear;
>>C=-[34];
>>A=[11;12;01];
>>B=[6;8;3];
>>LB=[0;0];
>>[X,fval]=linprog（C,A,B,[],[],LB）
2.某物流公司有三种化学产品A1,A2,A3都含有三种化学成分B1,
B2，B3，每种产品成分含量及价格（元/斤）如下表，今需要B1成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。
相关情况表
X
量
成分
产品含X
每斤产品的成分含量
A1
A2
A3
B1
0.7
0.1
0.3
B2
0.2
0.3
0.4
B2
0.1
0.6
0.3
产品价格（元/斤）
500
300
400
解：
设生产Al产品X1公斤，生产A2产品X2公斤，生产A3产品X3公斤,
minS
500x1
300x2
400x：
0.7x1
0.1x2
0.3x3
100
0.2x1
0.3x2
0.4X3
50
0.1x1
0.6x2
0.3x3
80
X1,X2,X30
3.某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。
生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。
生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产
每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。
该
厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可
利用的时间不超过880分钟。
假设生产桌子和椅子的材料能保证供
给。
试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB软
件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行出结果）
解：
设生产桌子X1张，生产椅子X2张
maxS12x110x2
10x114x21000
20x112x2880
x1,x20
MATLAB软件的命令语句为：
>>clear;
>>C=-[1210];
>>A=[1014;2012];
>>B=[1000；880];
>>LB=[0;0];
>>[X,fval]=linprog（C,A,B,[],[],LB）
4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C机床加工
4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、3工时、2工时。
又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。
试写出能获得最大利润的线性规划问题。
解：
设生产甲产品X1件，乙产品x2件。
线性规划模型为：
maxS6x18x2
4x13x21500
2x13x21200
5%1800
2X21400
x1,x20
用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>>clear;
>>C=-[68];
>>A=[43;23;50；02];
>>B=[1500；1200；1800；1400];
>>LB=[0;0];
>>[X,fval]=linprog（C,A,B,[],[],LB）
某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品。
企业现有甲原料30吨，乙原料50吨。
每吨A产品需要甲原料2吨；每吨B产品需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C产品需要乙原料4吨。
又知每吨A,B,C产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。
试写出能获得最大利润的线性规划问题。
解：
设生产A产品Xi吨，B产品x2吨，C产品X3吨。
线性规划模型为：
maxS3x12x20.5x3
2x1x230
2x24x350
Xi,X2,X30
用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>>clear;
>>C=-[320.5];
>>A=[21;24];
>>B=[30；50];
>>LB=[0;0；0];
>>[X,fval]=linprog（C,A,B,[],[],LB）
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