凯莱-哈密顿法.ppt

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第第22章章线性控制系统的运动分析线性控制系统的运动分析本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。

由于系统的本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。

由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。

因此，只状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。

因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。

性能。

本章内容为本章内容为1线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程的解2状态转移矩阵状态转移矩阵3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解4线性时变系统的运动分析线性时变系统的运动分析5线性系统的脉冲响应矩阵线性系统的脉冲响应矩阵8用用MATLAB求解系统方程求解系统方程6线性连续系统方程的离散化线性连续系统方程的离散化7线性离散系统的运动分析线性离散系统的运动分析2.12.1线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程为线性定常系统齐次状态方程为

（1）

（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法先考察标量齐次微分方程的幂级数解法假设其解为一幂级数假设其解为一幂级数（3）将（将（3）式代入（）式代入

（2）式）式这时系统的输入为零这时系统的输入为零等式两边等式两边t的同次幂的系数相等，因此有的同次幂的系数相等，因此有而而因为因为则解为则解为（4）模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程

（1）的解为）的解为（5）将（将（5）式代入（）式代入

（1）式）式等式两边等式两边t同次幂的系数相等，因此有同次幂的系数相等，因此有而而记作记作则线性定常系统齐次状态方程（则线性定常系统齐次状态方程

（1）的解为）的解为（6）则则（7）如果如果则则（8）将（将（8）式代入（）式代入

（1）式验证）式验证和和矩阵指数函数矩阵指数函数又称为状态转移矩阵，又称为状态转移矩阵，记作记作由于系统没有输入向量，由于系统没有输入向量，是由初始状态是由初始状态激励的。

因此，这激励的。

因此，这时的运动称为自由运动。

时的运动称为自由运动。

的形态由的形态由决定，即是由矩阵决定，即是由矩阵A惟一决定的。

惟一决定的。

2.22.2状态转移矩阵状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为线性定常系统齐次状态方程的解为或或其几何意义是：

系统从初始状态其几何意义是：

系统从初始状态开始，随着时间的推开始，随着时间的推移，由移，由转移到转移到，再由，再由转移到转移到，。

的形态完全由的形态完全由决定。

决定。

2.2.1状态转移矩阵的基本性质状态转移矩阵的基本性质1）即即2）即即3）可逆性）可逆性即即4）传递性）传递性即即5）当且仅当）当且仅当时，时，有有如果如果时，则时，则2.2.2状态转移矩阵的求法状态转移矩阵的求法方法方法11根据定义，计算根据定义，计算方法方法22应用拉普拉斯变换法，计算应用拉普拉斯变换法，计算对上式求拉普拉斯变换，得对上式求拉普拉斯变换，得如果如果为非为非奇异奇异（9）LLLL（10）由微分方程解的唯一性由微分方程解的唯一性LL例例2-22-2线性定常系统的齐次状态方程为线性定常系统的齐次状态方程为求其状态转移矩阵求其状态转移矩阵解于是于是LL方法方法33应用凯莱应用凯莱-哈密顿定理，计算哈密顿定理，计算凯莱凯莱-哈密顿定理：

哈密顿定理：

矩阵矩阵A满足自身的特征方程。

满足自身的特征方程。

即即根据凯莱根据凯莱-哈密顿定理哈密顿定理（11）例例用凯莱用凯莱-哈密顿定理计算哈密顿定理计算解解由凯由凯-哈定理：

哈定理：

所以所以（11）式表明：

）式表明：

是是、的线性组合的线性组合（12）将（将（11）式代入（）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出：

）式，不断地进行下去，可以看出：

、都是都是、的线性组合的线性组合（13）其中，其中，为待定系数。

为待定系数。

的计算方法为：

的计算方法为：

1）A的特征值互异的特征值互异应用凯应用凯-哈定理，哈定理，和和都满足都满足的特征方程。

因此，的特征方程。

因此，也可以满足（也可以满足（13）式。

）式。

（其中，（其中，）写成矩阵形式写成矩阵形式（14）于是于是（15）例例2-32-3线性定常系统的齐次状态方程为线性定常系统的齐次状态方程为用凯用凯-哈定理计算其状态转移矩阵哈定理计算其状态转移矩阵解解即即2）A的特征值相同，均为的特征值相同，均为（16）3）A的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数数可以根据（可以根据（16）式和（）式和（15）式求得。

然后代）式求得。

然后代入（入（13）式，求出状态转移矩阵）式，求出状态转移矩阵求系统状态转移矩阵。

求系统状态转移矩阵。

例例2-42-4线性定常系统齐次状态方程为线性定常系统齐次状态方程为解解应用凯应用凯-哈定理计算哈定理计算A的特征值为的特征值为于是于是状态转移矩阵状态转移矩阵方法方法44通过线性变换，计算通过线性变换，计算因为因为而而因为对角阵的特殊性质，因为对角阵的特殊性质，有：

有：

1）矩阵）矩阵A可以经过线性变换成为对角阵，计算可以经过线性变换成为对角阵，计算因此，状态转移矩阵为因此，状态转移矩阵为例例2-52-5线性定常系统的齐次状态方程为线性定常系统的齐次状态方程为用线性变换方法，计算其状态转移矩阵用线性变换方法，计算其状态转移矩阵解解（17）2）矩阵）矩阵A可以经过线性变换成为约当形阵，计算可以经过线性变换成为约当形阵，计算状态转移矩阵为状态转移矩阵为（18）3）矩阵）矩阵A可以经过线性变换成为模态形阵，计算可以经过线性变换成为模态形阵，计算如果矩阵如果矩阵A的特征值为共轭复数的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩阵经过线性变换，可转换为模态矩阵M其中其中系统状态转移矩阵为系统状态转移矩阵为（19）2.32.3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程为线性定常系统非齐次状态方程为（20）改写为改写为（21）（21）式两边同乘）式两边同乘得得或写成或写成（22）对（对（22）式在）式在0到到t时间段上积分，有时间段上积分，有（23）（24）（24）式两边同乘）式两边同乘，并且移项，并且移项（25）（26）（27）更一般情况，当更一般情况，当（28）由式（由式（25）或式（）或式（27）可知，系统的运动）可知，系统的运动包括两个部分。

一部包括两个部分。

一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。

分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。

第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。

正第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。

正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量当的输入向量，使，使的形态满足期望的要求。

的形态满足期望的要求。

例例2-82-8线性定常系统的状态方程为线性定常系统的状态方程为解解在例在例2-2中已经求得中已经求得由（由（26）式）式系统的输出方程为系统的输出方程为则则或或（29）可见，系统的输出可见，系统的输出由三部分组成。

由三部分组成。

当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。

即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。

2.4线性时变系统的运动分析线性时变系统的运动分析（30）线性时变系统方程为线性时变系统方程为2.4.1齐次状态方程的解齐次状态方程的解（31）初始状态为初始状态为其中，其中，是状态转移矩阵，并且满足以下是状态转移矩阵，并且满足以下方程方程（33）满足初始条件满足初始条件（34）根据我们对线性定常齐次系统解的知识，可以假设线性时变齐根据我们对线性定常齐次系统解的知识，可以假设线性时变齐次系统的解应该具有以下形式，然后加以证明次系统的解应该具有以下形式，然后加以证明（32）证明证明（30）式两边对）式两边对t求导求导并且并且时时即即2.4.2状态转移矩阵状态转移矩阵的基本性质的基本性质1）满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即2）可逆性可逆性3）传递性传递性4）2.4.3状态转移矩阵状态转移矩阵的计算的计算用级数近似法计算用级数近似法计算计算系统状态转移矩阵计算系统状态转移矩阵例例2-92-9线性时变系统齐次状态方程为线性时变系统齐次状态方程为（35）解解将将代入代入（35）式）式其中其中2.4.4线性时变系统非线性齐次状态方程的解线性时变系统非线性齐次状态方程的解（38）（39）其解为其解为证明证明将（将（39）式代入状态方程（）式代入状态方程（38）式，等式成立）式，等式成立（40）或或2.4.5系统的输出系统的输出（41）（42）或或2.5线性系统的脉冲响应矩阵线性系统的脉冲响应矩阵2.5.1线性时变系统的脉冲响应矩阵线性时变系统的脉冲响应矩阵假设系统初始条件为零，假设系统初始条件为零，输入为单位脉冲函数，即输入为单位脉冲函数，即其中，其中，为加入单位脉冲的时刻。

而为加入单位脉冲的时刻。

而第i个分量就表示在就表示在时刻，仅在时刻，仅在第第i个输入端施加一个单位脉冲。

系统个输入端施加一个单位脉冲。

系统的输出为：

的输出为：

（43）为为m维向量，它表示系统输出维向量，它表示系统输出对输入对输入的第的第i个元素在个元素在时刻加入单位脉冲时的响应。

时刻加入单位脉冲时的响应。

将将，按次序按次序排列，则排列，则（44）线性时变系统脉冲响应矩阵线性时变系统脉冲响应矩阵（45）2.5.2线性定常系统的脉冲响应矩阵线性定常系统的脉冲响应矩阵脉冲响应矩阵为脉冲响应矩阵为（46）如果单位脉冲出现在如果单位脉冲出现在=0的时刻，则的时刻，则脉冲响应矩阵为脉冲响应矩阵为（47）2.5.3传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系对（对（47）式求拉普拉斯变换）式求拉普拉斯变换L而而（48）上式可改写成上式可改写成（49）如果如果存在，则存在，则（50）将将（50）式代入（）式代入（48），得到），得到（51）（52）当当D=0时时可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲响应矩阵的拉普拉斯响应矩阵的拉普拉斯变换就是系统传递函数矩阵。

变换就是系统传递函数矩阵。

2.5.4利用脉冲响应矩阵计算系统的输出利用脉冲响应矩阵计算系统的输出如果输入如果输入向量表示为向量表示为（53）将将（53）式代入（）式代入（28）式）式（54）当系统初始状态为零时当系统初始状态为零时（55）2.6线性连续系统方程的离散化线性连续系统方程的离散化作以下假定：

作以下假定：

1）被控对象上有采样开关）被控对象上有采样开关；2）采样周期为采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息；信息；3）具有零阶保持器。

）具有零阶保持器。

2.6.1线性时变系统线性时变系统（56）初始状态为初始状态为状态方程的解为状态方程的解为（57）令令，则，则（58）（59）再令再令，则，则将（将（59）式两边都左乘）式两边都左乘（60）（58）减（）减（60）并且整理后，得到）并且整理后，得到令：

令：

考虑到考虑到于是于是省略省略T，得到，得到（61）输出方程离散化，令输出方程离散化，令，即可，即可以得到以得到（62）2.6.2线性定常系统线性定常系统（63）离散化后得到离散化后得到（64）其中其中2.7线性离散系统的运动分析线性离散系统的运动分析2.7.1线性定常离散系统齐次