理力答案第六章.docx
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理力答案第六章
均质杆AB,长I，重P,用铰A与均质圆盘中心连接。
圆盘半径为r,重Q,可在水平面内作无滑动滚动。
当=30时，杆AB的B端沿铅垂方向下滑的速度为VB，求此刚体系统在图示瞬时的动量。
解：
AB杆的瞬心D如图所示，故其质心C的速度为
Vb
2g
往复式水泵的固定外壳部分D和基础E的质量为mi，均质曲柄0A长为r，质量为m2。
导杆B和活塞C作往复运动，其质量为m3。
曲柄0A以匀角速度，绕0轴转动。
求水泵基础
给地面的压力。
D和基
解：
建立坐标系，x轴水平向右为正方向，y轴竖直向上为正方向。
系统中外壳础E固定，曲柄0A作匀速转动，并带动导杆和活塞平动。
系统的总动量为：
r
p=m2costisinj亠m3r■sin，tj
由y方向的动量定理得:
S'Fy
dt
r22
m2costm3r，cos二N-[milm2m3g2
12
N=m!
m2m3gm22m3r■cost
2
图示凸轮机构中，凸轮半径为r、偏心距为e。
凸轮绕A轴以匀角速•’转动，带动滑杆D在套筒E中沿水平方向作往复运动。
已知凸轮质量为m1,滑杆质量为m2。
试求在任意瞬时机
座螺栓所受的动反力。
解：
取凸轮、滑杆
和机座组成的系
统为研究对象。
由于只
求动反力，故不
考虑重力，受力图如图
示。
凸轮质心的加速
度为：
aC1x--e■2cost
aciy=-e■2sint
滑杆质心的加速度为：
aC2x--e-2costaC2y=0
由质系动量定理得：
-me2cost-m2e2cost=F
2
-m1esint=N
所以：
2
F--（mhm2）e■cost
N=-mi|e2sint
图示小球P沿大半圆柱体表面由顶点滑下，小球质量为m2,大半圆柱体质量为m,半径为
R,放在光滑水平面上。
初始时系统静止，求小球未脱离大半圆柱体时相对图示静止坐标系的运动轨迹。
解：
根据题意，视小球为质点，大半圆柱体作平动。
系统在水平方向动量守恒。
设小球水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，则大半圆柱体质心在水平方向的位移为
（m2/mi）x，由图示几何关系，有,
222
（x（m2/mi）x）yR
化简为,
miR
即小球运动轨迹为一椭圆。
图示系统中，物块A的质量为m，小车B的质量为M，弹簧刚度系数为k,斜面光滑。
不计轮子的质量，试建立系统的运动微分方程。
解：
取系统为研究对象。
系统具有两个自由度，取x和s为广义坐标，其中s的原点取
在物块A的静平衡位置处。
系统在水平方向不受力，故由动量定理在x方向的投影式得：
m（XScos：
•）MX=0
再取物块A为研究对象，列写牛顿第二定律在s方向的投影式，得:
m（SXcos：
）=mgsin—ks
\k
将两式整理后得:
（mM）Xmgcos:
=0
msmXcosx，ks=0
两质量都等于M的小车，停在光滑的水平直铁轨上。
一质量为m的人，自一车跳到另一车，并立刻自第二车跳回第一车。
证明两车最后速度大小之比为M:
（M+m）。
解：
根据题意，这系统（人和两小车）在水平方向上动量守恒。
设最终状态两车的速度
大小分别为⑷和口v2，则由动量守恒定理知
Mvj-（Mm）v2=0
于是，两车最后的速度大小之比为
v2:
M=M:
（Mm）
如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮子轴心为A,质心为C,AC=e；
轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。
（1）.当轮子只滚不滑时，若VA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。
（2）.当轮子又滚又滑时，若VA和已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。
解：
（1）轮子只滚不滑时轮子的动量为：
R+e
p=mv：
二RRemvA
对地面上B点的动量矩，利用Lb二LCrBCP，投影后为:
L^Lcm（Re）2；R
:
Ja=Jcme2
Lc=（Ja-me2）*
故有:
Lb二[Ja-me2m（Re）2]巻R
（2）轮子又滚又滑时轮子的动量为：
p二mvc二m（VAe）
对地面上b点的动量矩：
Lb二Lcm（Re）（VAe）
Lc=（Ja-me2）•
Lb=（JameRr、亠（Re）mvA
水平圆盘可绕铅垂轴z转动，如图所示。
其对z轴的转动惯量为Jz。
一质量为m的质点,
在圆盘上作匀速圆周运动，圆周半径为r，速度为v0，圆心到盘心的距离为I。
开始运动时,
质点在位置A，圆盘角速度为零。
试求圆盘角速度■与角「间的关系。
轴承摩擦略去不计。
V
■r
系统在初始时刻对z轴的动量矩为：
L°i=m（lr）Vo
系统在任意时刻对z轴的动量矩为：
Lo2=Jz■[Pm（vevr）]k
其中:
Ve二亍■,Vr二V
:
:
二.l2r22lrcos
2
[pmve]k=m?
-■
[pmvr]k=mv0cos（Ircos）mv0sinrsin
二mv0（lcos「r）
由LO1=Lo2得:
2
m（l+r）v0=J乙㈢+mP国+mv0（lcos®+r）
mv0I（1-cos®）
Jzm（l2r22rlcos:
）
故有
Jo；^m1gl1/2
由质心运动定理
m|XC1m2xC2二X—；
miycim2yc2=丫-mp-m2g
Y=m^gm2ggyCim2yC2二（m^m2）g-mJi；/2-m2l2；-449.167N
2求杆EC在A处的弯矩
取杆OA为研究对象，将其惯性力系向O点简化，受力图如图示，其中惯性力S和惯性力偶
矩Ms分别为
l1/3
mug
2
S=口初；/2Mm1l1J3
对A点列写力矩平衡方程
l1
MAMSm1g-（YS）h=0
解得
Ma=（Y+S）I「Ms-
=272.225Nm
匀质滚子的质量为m，半径为R,放在粗糙的水平地板上，如图所示。
在滚子的鼓轮上绕以绳，在绳子上作用有常力T,作用线与水平方向夹角为：
•。
已知鼓轮的半径为r，滚子对轴
O的回转半径为匚，滚子由静止开始运动。
试求滚子轴O的运动方程。
解法一：
列写刚体平面运动微分方程
mXO二Tcos：
-F
0=Tsin:
-mgN
m-O--TrFR
补充运动学方程：
Xo=R;
联立求解，得：
□TR（Rcos。
—r）
=m（R2韦）
将上式积分两次，并考虑到滚子初始静止，得：
2
TR（Rcos。
-r）t
冷-m（R2弋）空
图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道纯滚动。
绳子跨过定滑轮D并绕在滑轮B上。
滑轮B与滚子C固结为一体。
已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为r，二者总质量为M，其对与图面垂直的轴0的回转半径为「。
求重物A的加速度。
解：
重物A作平动，滚子C作平面运动。
分别取重物A和滚子C为研究对象，列出其运动微分方程。
对重物A
ma二mg-T
对滚子C
mXo二T-F
MY;=Fr-TR
滚子只滚不滑
Xo二r；
取O为基点，分析E点的加速度
联立求解
mg（R-r）
222
Mr2：
mR-r
图示匀质圆盘的质量为16kg，半径为0.1m，与地面间的动滑动摩擦系数」二0.25。
若盘
心O的初速度vO=0.4m/s,初角速度-■=2rad/s，试问经过多少时间后球停止滑动？
此时盘心速度多大？
解：
圆盘作平面运动，运动微分方程为
mxo=_F
myo=0=N-mg
1mR2；=FR
2
由于圆盘又滚又滑，故有
F
Xo—g「，；=2g」/R
（1）求经过多少时间后盘停止滑动。
盘停止滑动的条件是
Xq=R-
由初始条件可得t时刻
Xq=Vq'Xqt,■~~'Q
.t=-（Rqvq）/（Xq-R；）=（Rqvq）/3g」=0.0816s
（2）求此时盘心的速度
Xq=Vq-g.Lt=0.2m/s
图示匀质细长杆AB,质量为m，长度为I，在铅垂位置由静止释放，借A端的小滑轮沿倾
角为二的轨道滑下。
不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A的加速度。
在光滑的水平面上平放着一半径为a、质量为M的圆环。
环上有一质量为m的甲虫，原来
静止，后甲虫沿圆环爬行，求甲虫和圆环中心的轨迹。
解：
设甲虫的运动速度为V1，圆环的运动速度为V2，系统质心速度为vq，由动量守恒
得:
mqMv2=（mM）Vo=0
所以系统质心速度为0。
以圆环中心为原点，圆环中心和甲虫的连线为x轴建立坐标系，由系统质心计算可得:
ma=（mM）x
ma
x=
m+M
若圆环圆心不动，则系统质心的轨迹随甲虫爬动为一半径为
ma
的圆。
现在系统质心不
mM
的圆。
mM
5:
..21o
为一圆，圆心在O,半径为卫do
m+M
问哪个球
均质的空心球壳和实心圆球，沿着同一斜面自同一高度同时无初速无滑动地下滚,滚得快一些？
证明：
它们经过相等距离所需的时间之比为
证明：
本问题中球体具有一个自由度，取x为广义坐标。
其受力图如题中所示。
由刚体平面运动微分方程得到：
rnijXj=mgsina-Fi
M-mgcos。
=o
JiXFiR
由纯滚动，补充运动学方程:
对i=1或2，方程
（1）—（4）中分别为球壳和圆球的运动方程。
联立四个方程得到：
gsin:
mJi
2
j+mR
^gsin:
对于球壳和圆球有:
J2=—m2R
5
从而,
2
1
X1
J1gR；
1境
21
X2■
2'
m2R2
_1'
-25
J2m2R；
1艺
即实心圆球比空心球壳下降得快。
由于球沿斜面的加速度为常数，初始速度为零，因此
12
xxt。
经过相等的距离所需时间之比为：
2
&_-.J?
__5_
t2顶、、歹
即证。
球1速度Vi=6m/s，方向与静止球2相切，如图所示。
两球半径相同、质量相等，不计摩
n和切线
解：
两球碰撞时位置如图所示，将两球碰撞前后的速度向两球接触面的公法线
t上投影，设碰撞后两球的速度为u和u2，则法向分量记为v1n,u1n,u2n，切向分量记为
由几何关系知v-30，故v1n=6cost-3.3m/s，v1=6sin-3m/s。
V
碰撞前后质系在法向上动量守恒，两小球各自在切向上动量守恒，因此两球碰撞的动力
学方程为:
由
（2）（3）可解出:
又根据恢复系数有:
（1）、（4）式联立解得:
mv^=mu^
U1=3m/s，U2=0
u1n=—V3m/s
5
u?
n—3m/s
5
即：
Ui=3.175m/s,氏=4.157m/s。
质量为0.2kg的球以水平方向的速度v=48km/h打在一质量为2.4kg的匀质木棒上，木棒
的一端用细绳悬挂于天花板上。
若恢复系数为0.5,试求碰撞后木棒两端A、B的速度。
解：
设碰撞后小球的速度为U1，木棒质心C点的速度为U2，其角速度为「。
取整体系统为研究对象，设球与杆的撞击点为D，绳的上方悬挂点为0。
系统对0点的动量矩守恒，且在水平方向动量守恒，即
m-ivOD=m1u1ODJCm2u2OC
m^=m1u1m2u2
补充运动学方程:
恢复系数的定义:
联立求解得：
，罟rad/s
U2=1.5m/s
从而木棒两端A、B的速度分别为:
uA=u2-AC•-0uB=u2CB=3m/s
匀质杆长为I，质量为m，在铅垂面内保持水平下降并与固定支点E碰撞。
碰撞前杆的质心
速度为vC，恢复系数为e。
试求碰撞后杆的质心速度uC与杆的角速度「。
解：
杆在碰撞前作平动，碰撞后作平面运动。
受力图如图示。
列写平面运动动力学方程，得:
muC-mvC=_S
-0=-S-
4
由恢复系数的定义，得:
联立求解得:
质量为mi的直杆A可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m2，倾角为:
的光滑楔子B上，楔子放在光滑的水平面上，由于杆子的重量，楔子沿水平方向移动，杆下落，如图所示。
求两物体的加速度大小及地面约束力。
解：
系统为一自由，取整体系统为研究对象。
由运动学关系得
根据动量定理，对于A杆
联立
（1）和
（2）得
m^g
m2mi|sec2:
m2mi|tan2:
■
质量为30kg的小车B上有一质量为20kg的重物A，已知小车在120N的水平力P作用2s后
移过5m。
不计轨道阻力，试计算A在B上移过的距离。
解：
已知mA=20kg，mB=20kg,P=120N，t=2s，sB=5m。
由质点运动学公式有
aB=2爭=225=2.5m/s2t222
若将小车B和质量A看作一个系统，在水平方向，由质系动量定理
m^aA+m^aB=P
于是
aA=PFBaBJ20—30°5=2.25m/s2mA20
这样
1212
sA=—aAt=—x2.2^2=4.5m
22
则A在B上移过的距离
Sab=SB一SA=5一4.5=0.5m
如图所示，水平面上放一均质三棱柱A。
此三棱柱上又放一均质三棱柱B,两三棱柱的横截
面都是直角三角形，三棱柱A比三棱柱B重两倍。
设三棱柱和水平面都是绝对光滑的。
（1）
试列写系统运动微分方程
（3）求水平面作用于三棱柱A的反力。
解：
取水平向右为X轴正方向，系统具有两个自由度，取A的绝对位移X和B的相对位移xr为广义坐标。
设mB=m，则mA=3m，由水平方向动量守恒，得
・・・・・・・・・・
mBxcosh"xmAx=0，即4xxrcosa=0
（1）
对B沿斜面方向由动量定理得：
mBxrxcos：
=mBgsin：
，即xcosaxr-gsina=0
（2）
上两式即为系统运动微分方程。
当B沿A下滑至水平面时，绝对位移冰A二-s,.ixB=a-b-s
由mAXamB%=0
1
得三棱柱A的位移s（a-b）。
4
在竖直方向由动量定理：
N-mAg「mBg=-mBXrsin〉
即n=12mg
4-cos2a
如图所示均质圆盘，半径为R，质量为m,不计质量的细杆长丨，绕轴o转动，角速度，，求下列三种情况下圆盘对固定轴O的动量矩。
（1）圆盘固结于杆；
（2）圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为;
（3）圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为■o
解：
（1）圆盘固结于杆：
Lo-LA'rOAP
一12
圆盘对质心A的动量矩为：
一mR2国
2
质心A对固定轴O的动量矩为：
ml2-
所以圆盘对固定轴O的动量矩为：
（丄mR2ml2）■
2
（2）圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为—:
圆盘平动，圆盘对固定轴O的动量矩为：
ml2.
（3）圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为-■:
同
（1）可得圆盘对固定轴O的动量矩为：
（丄mR2+ml2）们+2mR2们=ml2⑷+mR2o
22
B点，杆开始保持如图所示垂
均质杆AC质量为30kg，有一水平力240N突然作用于杆上直位置。
（1）若不考虑水平表面与杆之间的摩擦力，试决定此瞬时杆端C的加速度;
（2）若AC杆与水平表面之摩擦系数为0.30，试求C点的初加速度。
解：
根据题意
（1）无水平摩擦力的情况
240=ma°x
N—mg=ma°y
12
240ml2；
12
:
=6rad/s2
acxiacyj=aoxiaoyj—（l/2）二'i
联立以上各式，解得
S二-4m/s2
（2）考虑水平方向有摩擦力的情况
240-mg0.3二maox
240—0.6mg=gml2；
联立解得
2
比乂=1.88m/s
半径为r的均质圆盘在铅垂平面内绕水平轴A摆动（如图示）。
设圆盘中心O至A的距离为
b，问b为何值时，摆动的周期为最小？
求此最小周期。
解：
圆盘绕A点的转动惯量为
2122
J=JOmbmrmb
2
根据动量矩定理，可以得到
J，mgbsin二-0
因为是小转角，所以sinv，所以
1
（mrmb）亠mgb〒-0
小值,
一圆环由绳AB和光滑斜面支承。
圆环质量为10kg、半径为2m，质量为3kg的质点D与
圆环固结如图所示。
求当绳子剪断的瞬时质点D的加速度。
解：
如图，建立平动参考系Oxy。
绳AB剪断的瞬时，圆环的受力如图所示。
此瞬时圆环的角速度为零，角加速度为；，圆环中心C的速度为零，加速度为aO。
D点速度为零，加速度aD为:
（1）
ad=ae-a「=a。
；Rt
其中T沿圆环切线方向。
圆环和质点组成的系统对圆环中心O点的动量矩为：
2
L。
一mR•‘kEdm2Vd
其中,
从而,
L。
=—gRbk+r°D汉m,（Vo+®Rt）=一m|R2⑷k-mtR2⑷k-m2RvOcosl5k
由公式:
在初始时刻vO=0，有:
（5）（6）代入
（1）得到D的加速度aD为：
.（m+叫）2cos30‘-m；sin45m2gsin45-m2aOcos15
ad=a。
i-Rt22giRt
（m+mD-m|cosi5（m+m2）R
=0.8733gi-0.0315g^0.8429gi-0.0082gj
^0.4144g|1-0.734®=4.06^-7.19j1
解：
杆作平面运动，受力图如下所示，取二为广义坐标。
先假
设B端不滑动，在该瞬时杆绕B点作定轴转动，则质心C坐标为
1.1.
xClcos：
yClsin二
22
质心加速度为
yc^sin"2IcosZ
22
Xc二_fcos"'2-〔sind
由刚体平面运动微分方程得
1_2■■■
_m（cos=sin二v）=F
2
1'2
m-（-sin门cosn）=N-G
2
12…l
ml-Gcosv
32
代入v-30-0到上式，得
73、3
N=G,F二G
1616
其中F/N=3、、3/7.0.3，可知B端必然滑动。
在任意时刻，质心C的y方向坐标满足
yC=-】sin"2-cos丁口
22
由刚体平面运动微分方程得
12
m—（—sinrcos门）=N-G
2
代入当前瞬时v-30-0，到上式，得
m~1N（f-一3）
124
解得
N=35N,F=10.5N,也=-14.7rad/s2（顺时针方向）
如图所示，一球放在水平面上，其半径为r。
在球上作用一水平冲量S，求当接触点A无滑动时，冲量距水平面的高度h应为多少？
不考虑摩擦力的冲量。
解：
对质心分别运用动量定理和动量矩定理
S=mvc
S（h-r）=J•
22
其中球体的转动惯量为Jmr2
5
由于球体没有滑动，所以
vC=r
22Vc
j‘5mr~77
hr二5rr
SmVd5
三根杆开始为静止，AB=BD=2CD二丨，彼此用铰链连接，AB、CD铅垂，BD水平。
AB、
BD质量为m,CD质量为1m，在AB杆上有一水平冲量S作用，求AB杆的角速度。
假设
铰链都是光滑的。
Sbb
B%
注意到BD杆瞬时平动且速度为:
BD=用1，CD角速度为「CD=2.,由动量矩定理的有限形
式有：
12
Sh-Sgl二Jabrnl■■-
3
S^_SD-mVB^-ml'
。
I1“ml2①
SDJDC'CD-
212
于是
2Sh
3ml2
两球的质量各为m、m2，分别用长为ii、I2的两根不可伸长的绳子平行地挂起，使两球的
中心在同一水平上并且紧挨着。
今使m-j球与竖直线偏离角，然后无初速地释放，若恢复
系数为e，求第二个球的最大偏角:
-°
解：
对球1，设碰撞前的速度为v1，则:
12
ggh1-cosm1v1
2
2g|1吒
设碰撞后球1的速度为u1，球2的速度为U2。
由水平方向动量守恒:
my二m）u1m2u2
由恢复系数:
求得
garcsiJmUjTsinT
jm^m2Yl22
n角，自高处无初速地落下时与光滑水平面作完全非弹性碰
一长为2a的均匀杆与竖直线成撞。
证明：
若杆中心下落高度
22
Ha（13sinRH
18sin日cos日
则杆的下端与地面接触后又立刻离开地面。
证明：
设碰撞前瞬间杆子速度为Uo，碰撞后瞬间杆子质心C速度为Ucx，UCy，转动角速度
为•1。
碰撞后的动力学方程为
muc^Ie=0
m（u°-Ucy）=I
ee-i
Jc（1-0）=Jc1=Mc（l）=lyasin^
杆与地面发生完全非弹性碰撞，故碰撞后瞬间
UAy=0，即只有水平方向速度，而质心只有
Ucy
竖直方向的速度，杆转动瞬心为图示点E,可知-一—，代入运动方程得
asin0
JeC^=^ma2—Cy—=Iyasin日=m（u0—uCy）asin日
3asinG
2
3u0sinr
UCy
2
3sin「1
3sins•、顽（方向竖直向下）
3sin二T
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