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1、理力答案第六章均质杆AB,长I，重P,用铰A与均质圆盘中心连接。圆盘半径为 r ,重Q,可在水平面内 作无滑动滚动。当 =30时，杆AB的B端沿铅垂方向下滑的速度为 VB，求此刚体系统在 图示瞬时的动量。解：AB杆的瞬心D如图所示，故其质心 C的速度为Vb2g往复式水泵的固定外壳部分 D和基础E的质量为mi，均质曲柄0A长为r，质量为m2。导 杆B和活塞C作往复运动，其质量为 m3。曲柄0A以匀角速度，绕0轴转动。求水泵基础给地面的压力。D和基解：建立坐标系，x轴水平向右为正方向，y轴竖直向上为正方向。系统中外壳 础E固定，曲柄0A作匀速转动，并带动导杆和活塞平动。系统的总动量为：rp = m

2、2 cos ti sin j亠 m3r sin，tj由y方向的动量定理得:S Fydtr 2 2m2 cos t m3r， cos二 N -mil m2 m3 g 21 2N = m! m2 m3 g m2 2m3 r cos t2图示凸轮机构中，凸轮半径为 r、偏心距为e。凸轮绕A轴以匀角速转动，带动滑杆 D在 套筒E中沿水平方向作往复运动。已知凸轮质量为 m1,滑杆质量为m2。试求在任意瞬时机座螺栓所受的动反力。解：取凸轮、滑杆和机座组成的系统为研究对象。由于只求动反力，故不考虑重力，受力图如图示。凸轮质心的加速度为：aC1x - -e 2 cos taciy = -e 2 sin t滑杆

3、质心的加速度为： aC2x - -e -2 cos t aC2y =0由质系动量定理得：-me 2 cos t -m2e 2 cos t = F2-m1 e sin t = N所以：2F - -(mh m2)e cos tN = -mi|e 2 si nt图示小球P沿大半圆柱体表面由顶点滑下， 小球质量为m2,大半圆柱体质量为 m ,半径为R,放在光滑水平面上。初始时系统静止，求小球未脱离大半圆柱体时相对图示静止坐标系 的运动轨迹。解：根据题意，视小球为质点，大半圆柱体作平动。系统在水平方向动量守恒。设小球 水平方向的位移为 x，竖直方向的位移为 y，则大半圆柱体质心在水平方向的位移为(m2/

4、mi)x，由图示几何关系，有,2 2 2(x (m2/mi)x) y R化简为,mi R即小球运动轨迹为一椭圆。图示系统中，物块 A的质量为m，小车B的质量为M，弹簧刚度系数为k,斜面光滑。不计 轮子的质量，试建立系统的运动微分方程。解：取系统为研究对象。系统具有两个自由度，取 x和s为广义坐标，其中s的原点取在物块A的静平衡位置处。系统在水平方向不受力，故由动量定理在 x方向的投影式得：m(X Scos ：) MX = 0再取物块A为研究对象，列写牛顿第二定律在 s方向的投影式，得:m(S Xcos：)=mgsink s k将两式整理后得:(m M )X mgcos: = 0ms mXcos

5、x，ks = 0两质量都等于 M的小车，停在光滑的水平直铁轨上。 一质量为m的人，自一车跳到另一车， 并立刻自第二车跳回第一车。证明两车最后速度大小之比为 M : (M+m)。解：根据题意，这系统(人和两小车)在水平方向上动量守恒。设最终状态两车的速度大小分别为 和口v2，则由动量守恒定理知Mvj -(M m)v2 = 0于是，两车最后的速度大小之比为v2: M = M : (M m)如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A,质心为C, AC =e ；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA ； C、A、B三点在同一铅直线上。(1).当轮子只滚不滑时，若 VA已知，求轮子的

6、动量和对地面上 B点的动量矩。(2).当轮子又滚又滑时，若 VA和已知，求轮子的动量和对地面上 B点的动量矩。解：(1 )轮子只滚不滑时轮子的动量为：R + ep =mv：二 RRemvA对地面上B点的动量矩，利用 Lb二LC r BC P，投影后为:LLc m(R e)2；R:Ja = Jc me2Lc =(Ja - me2)*故有:Lb 二Ja - me2 m(R e)2巻 R(2)轮子又滚又滑时轮子的动量为：p 二 mvc 二 m(VA e )对地面上b点的动量矩：Lb 二 Lc m(R e)(VA e )Lc =(Ja - me2) Lb =(Ja meRr、亠(R e)mvA水平圆盘

7、可绕铅垂轴 z转动，如图所示。其对 z轴的转动惯量为 Jz。一质量为m的质点,在圆盘上作匀速圆周运动， 圆周半径为r，速度为v0，圆心到盘心的距离为I。开始运动时,质点在位置A，圆盘角速度为零。试求圆盘角速度 与角间的关系。轴承摩擦略去不计。Vr系统在初始时刻对z轴的动量矩为：Li = m(l r)Vo系统在任意时刻对 z轴的动量矩为：Lo2 =Jz P m(ve vr) k其中:Ve 二亍, Vr 二 V:二.l2 r2 2lr cos2p mve k = m? - p mvr k = mv0 cos (I r cos ) mv0 sin r sin二 mv0(l cos r)由 LO1 =

8、 Lo2 得:2m(l +r)v0 = J乙 +mP 国 +mv0(l cos + r)mv0I (1 - cos)J z m(l2 r2 2rl cos :)故有Jo ； m1gl1/2由质心运动定理m|XC1 m2xC2 二 X ；miyci m2yc2 = 丫 -mp -m2gY = mg m2g gyCi m2yC2 二(m m2)g -mJi ； /2 - m2l2 ； - 449.167 N2求杆EC在 A处的弯矩取杆OA为研究对象，将其惯性力系向 O点简化，受力图如图示，其中惯性力 S和惯性力偶矩Ms分别为l1/3mug2S =口初；/ 2 M m1l1 J3对A点列写力矩平衡方

9、程l1M A M S m1g - (Y S)h = 0解得M a=(Y+S)IMs-= 272.225 N m匀质滚子的质量为 m，半径为R,放在粗糙的水平地板上，如图所示。在滚子的鼓轮上绕以 绳，在绳子上作用有常力 T,作用线与水平方向夹角为 ：。已知鼓轮的半径为r，滚子对轴O的回转半径为 匚，滚子由静止开始运动。试求滚子轴 O的运动方程。解法一：列写刚体平面运动微分方程mXO 二T cos： - F0 = T sin : - mg Nm - O - -Tr FR补充运动学方程：Xo=R;联立求解，得： TR（Rcos。r）= m（R2 韦）将上式积分两次，并考虑到滚子初始静止，得：2TR（

10、Rcos。-r） t冷-m（R2弋）空图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子 C沿水平轨道纯滚动。 绳子跨过定滑轮 D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R， 滚子C的半径为r，二者总质量为 M，其对与图面垂直的轴 0的回转半径为 。求重物A 的加速度。解：重物A作平动，滚子 C作平面运动。分别取重物 A和滚子C为研究对象，列出其 运动微分方程。对重物Ama 二 mg -T对滚子CmXo 二T -FM Y ; = Fr -TR滚子只滚不滑Xo 二 r ；取O为基点，分析E点的加速度联立求解mg(R-r )2 2 2Mr2 ： m R-r图示匀质圆盘

11、的质量为 16 kg，半径为0.1 m，与地面间的动滑动摩擦系数 二0.25。若盘心O的初速度vO = 0.4 m/s,初角速度- = 2 rad/s，试问经过多少时间后球停止滑动？此 时盘心速度多大？解：圆盘作平面运动，运动微分方程为mxo = _Fmyo = 0 = N - mg1mR2 ； = F R2由于圆盘又滚又滑，故有FXo g，； =2g/R(1)求经过多少时间后盘停止滑动。盘停止滑动的条件是Xq = R -由初始条件可得t时刻Xq = Vq Xq t , Q.t = -(R q vq)/(Xq -R ；) =(R q vq)/3g=0.0816 s(2)求此时盘心的速度Xq =

12、Vq -g.Lt = 0.2 m/s图示匀质细长杆 AB,质量为m，长度为I，在铅垂位置由静止释放，借 A端的小滑轮沿倾角为二的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点 A的加速度。在光滑的水平面上平放着一半径为 a、质量为M的圆环。环上有一质量为 m的甲虫，原来静止，后甲虫沿圆环爬行，求甲虫和圆环中心的轨迹。解：设甲虫的运动速度为 V1，圆环的运动速度为 V2，系统质心速度为vq，由动量守恒得:mq Mv2 = (m M )Vo = 0所以系统质心速度为 0。以圆环中心为原点，圆环中心和甲虫的连线为 x轴建立坐标系，由系统质心计算可得:ma = (m M )xmax =m + M若圆

13、环圆心不动，则系统质心的轨迹随甲虫爬动为一半径为ma的圆。现在系统质心不m M的圆。m M5: . 21 o为一圆，圆心在O,半径为卫d om + M问哪个球均质的空心球壳和实心圆球，沿着同一斜面自同一高度同时无初速无滑动地下滚, 滚得快一些？证明：它们经过相等距离所需的时间之比为证明：本问题中球体具有一个自由度，取 x为广义坐标。其受力图如题中所示。由刚体平面运动微分方程得到：rnijXj =mgsina - FiM -mgcos。=oJiX FiR由纯滚动，补充运动学方程: 对i = 1或2，方程(1) ( 4)中分别为球壳和圆球的运动方程。 联立四个方程得到：g sin :mJi2j+m

14、Rgsin:对于球壳和圆球有:J 2 = m2 R5从而,21X1J1 gR；1境21X2 2 m2R2_ 1 -25J2 m2R；1艺即实心圆球比空心球壳下降得快。由于球沿斜面的加速度为常数，初始速度为零，因此1 2x xt。经过相等的距离所需时间之比为：2& _ -.J? _5_t2 顶、歹即证。球1速度Vi = 6 m/s，方向与静止球2相切，如图所示。两球半径相同、质量相等，不计摩n和切线解：两球碰撞时位置如图所示， 将两球碰撞前后的速度向两球接触面的公法线t上投影，设碰撞后两球的速度为 u和u2，则法向分量记为 v1n, u1n, u2n，切向分量记为由几何关系知 v - 30，故

15、v1n =6 cost - 3. 3m/s，v1 =6 sin - 3m/s。V碰撞前后质系在法向上动量守恒， 两小球各自在切向上动量守恒， 因此两球碰撞的动力学方程为:由(2)( 3)可解出:又根据恢复系数有:(1)、(4)式联立解得:mv = muU1 =3 m/s， U2 = 0u1n = V3 m/s5u?n 3 m/s5即：Ui =3.175 m/s,氏=4.157 m/s。质量为0.2kg的球以水平方向的速度 v =48 km/h打在一质量为2.4 kg的匀质木棒上，木棒的一端用细绳悬挂于天花板上。若恢复系数为 0.5,试求碰撞后木棒两端 A、B的速度。解：设碰撞后小球的速度为 U

16、1，木棒质心C点的速度为U2，其角速度为。取整体系 统为研究对象，设球与杆的撞击点为 D，绳的上方悬挂点为 0。系统对0点的动量矩守恒， 且在水平方向动量守恒，即m-iv OD = m1u1 OD JC m2u2 OCm = m1u1 m2u2补充运动学方程:恢复系数的定义:联立求解得：，罟 rad/sU2 = 1.5 m/s从而木棒两端A、B的速度分别为:uA = u2 - AC - 0 uB = u2 CB = 3 m/s匀质杆长为I，质量为m，在铅垂面内保持水平下降并与固定支点 E碰撞。碰撞前杆的质心速度为vC，恢复系数为e。试求碰撞后杆的质心速度 uC与杆的角速度。解：杆在碰撞前作平动

17、，碰撞后作平面运动。受力图如图示。列写平面运动动力学方程，得:muC - mvC = _S-0 = -S-4由恢复系数的定义，得:联立求解得:质量为mi的直杆A可以自由地在固定铅垂套管中移动， 杆的下端搁在质量为 m2，倾角为: 的光滑楔子B上，楔子放在光滑的水平面上， 由于杆子的重量，楔子沿水平方向移动， 杆下 落，如图所示。求两物体的加速度大小及地面约束力。解：系统为一自由，取整体系统为研究对象。由运动学关系得根据动量定理，对于 A杆联立（1）和（2）得mgm2 mi| sec2 :m2 mi| ta n2:质量为30kg的小车B上有一质量为20kg的重物A，已知小车在120N的水平力P作

18、用2s后移过5m。不计轨道阻力，试计算 A在B上移过的距离。解：已知 mA =20kg， mB =20kg , P =120 N， t =2s， sB =5m。由质点运动学公式有aB =2爭=2 25 =2.5 m/s2 t2 22若将小车B和质量A看作一个系统，在水平方向，由质系动量定理maA + maB = P于是aA = PFBaB J20305=2.25m/s2 mA 20这样1 2 1 2sA= aAt = x 2.22 =4.5 m2 2则A在B上移过的距离Sab = SB 一SA = 5 一4.5 =0.5 m如图所示，水平面上放一均质三棱柱 A。此三棱柱上又放一均质三棱柱 B,

19、两三棱柱的横截面都是直角三角形，三棱柱 A比三棱柱B重两倍。设三棱柱和水平面都是绝对光滑的。(1)试列写系统运动微分方程(3)求水平面作用于三棱柱 A的反力。解：取水平向右为X轴正方向，系统具有两个自由度，取A的绝对位移X和B的相对位移xr 为广义坐标。设 mB = m，则mA =3m，由水平方向动量守恒，得 mB x cosh x mAx = 0，即 4x xr cosa = 0 ( 1)对B沿斜面方向由动量定理得：mB xr xcos： = mBgsin：， 即 xcosa xr -gsina=0 (2)上两式即为系统运动微分方程。当B沿A下滑至水平面时，绝对位移 冰A二-s , .ixB

20、 = a - b - s由 mA Xa mB % =01得三棱柱A的位移s (a -b)。4在竖直方向由动量定理： N -mAgmBg = -mBXr sin即 n = 12mg4 - cos2 a如图所示均质圆盘，半径为R，质量为m ,不计质量的细杆长丨，绕轴o转动，角速度， 求下列三种情况下圆盘对固定轴 O的动量矩。(1)圆盘固结于杆；(2)圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为 ;(3)圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为 o解：（1 ）圆盘固结于杆：Lo - LA rOA P一 1 2圆盘对质心A的动量矩为：一mR2国2质心A对固定轴O的动量矩为：ml2 -所以圆盘对固定轴 O的动量矩为：（

21、丄mR2 ml2） 2（2） 圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为 :圆盘平动，圆盘对固定轴 O的动量矩为：ml2.（3） 圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为 -:同（1）可得圆盘对固定轴 O的动量矩为：（丄 mR2 +ml2）们 + 2mR2们 =ml2 +mR2o2 2B点，杆开始保持如图所示垂均质杆AC质量为30kg，有一水平力240N突然作用于杆上 直位置。（1 ）若不考虑水平表面与杆之间的摩擦力，试决定此瞬时杆端 C的加速度;（2）若AC杆与水平表面之摩擦系数为 0.30，试求C点的初加速度。解：根据题意（1） 无水平摩擦力的情况240 = maxN mg = may1 2240 ml

22、2；12:=6 rad/s2acxi acy j = aoxi aoy j (l / 2)二i联立以上各式，解得S 二-4 m/s2(2) 考虑水平方向有摩擦力的情况240 - mg 0.3 二 maox240 0.6mg =gml2 ；联立解得2比乂 =1.88 m/s半径为r的均质圆盘在铅垂平面内绕水平轴 A摆动(如图示)。设圆盘中心 O至A的距离为b，问b为何值时，摆动的周期为最小？求此最小周期。解：圆盘绕A点的转动惯量为2 1 2 2J = JO mb mr mb2根据动量矩定理，可以得到J，mgbsin 二-0因为是小转角，所以 sinv ，所以1 (mr mb )亠 mgb-0小值

23、,一圆环由绳 AB和光滑斜面支承。圆环质量为 10kg、半径为2m，质量为3kg的质点D与圆环固结如图所示。求当绳子剪断的瞬时质点 D的加速度。解：如图，建立平动参考系 Oxy。绳AB剪断的瞬时，圆环的受力如图所示。此瞬时圆环的 角速度为零，角加速度为 ；，圆环中心C的速度为零，加速度为 aO。D点速度为零，加速度 aD为:(1)ad = ae - a= a。 ；Rt其中T沿圆环切线方向。圆环和质点组成的系统对圆环中心 O点的动量矩为：2L。一 mR k Ed m2Vd其中,从而,L。= gRbk+rD 汉 m,(Vo +Rt) =一 m|R2 k- mt R2 k- m2RvO cosl5

24、k由公式:在初始时刻vO =0，有:(5)(6)代入(1)得到D的加速度aD为：. (m+叫)2 cos30-m； sin45 m2gsin45 - m2aO cos15a d = a。i -R t 2 2 g i R t(m+mD -m|cosi5 (m+m2)R= 0.8733gi - 0.0315g 0.8429gi - 0.0082gj0.4144g|1 -0.734 =4.06 -7.19j1解：杆作平面运动，受力图如下所示，取 二为广义坐标。先假设B端不滑动，在该瞬时杆绕 B点作定轴转动，则质心 C坐标为1 . 1 .xC l cos ： , yC l sin 二2 2质心加速度为

25、,yc sin 2 Icos Z2 2Xc 二 _fcos2 -sin d由刚体平面运动微分方程得1_ 2 _m (cos = sin 二 v) = F212m-(-s in 门 cosn)=N-G21 2 lml - G cosv3 2代入v - 30 -0到上式，得7 3、3N = G, F 二 G16 16其中F/N =3、3/7 .0.3，可知B端必然滑动。在任意时刻，质心 C的y方向坐标满足yC =-】sin 2 - cos 丁口2 2由刚体平面运动微分方程得12m (sin r cos 门)=N -G2代入当前瞬时 v - 30 -0，到上式，得m 1 N ( f - 一 3)12

26、 4解得N =35 N, F =10.5 N,也=-14.7 rad/s2 (顺时针方向)如图所示，一球放在水平面上， 其半径为r。在球上作用一水平冲量 S，求当接触点A无滑 动时，冲量距水平面的高度 h应为多少？不考虑摩擦力的冲量。解：对质心分别运用动量定理和动量矩定理S = mvcS(h -r) = J 2 2其中球体的转动惯量为 J mr25由于球体没有滑动，所以vC = r2 2 Vcj 5mr 7 7h r 二 5 r rS m Vd 5三根杆开始为静止， AB =BD =2CD二丨，彼此用铰链连接，AB、CD铅垂，BD水平。AB、BD质量为m , CD质量为1m，在AB杆上有一水平

27、冲量 S作用，求AB杆的角速度。假设铰链都是光滑的。Sb bB%注意到BD杆瞬时平动且速度为:BD =用1，CD角速度为CD = 2.,由动量矩定理的有限形式有：1 2Sh - Sgl 二 J ab rnl -3S _ SD - mVB - ml 。I 1 “ ml2SD J DC CD -2 12于是2Sh3ml2两球的质量各为 m、m2，分别用长为ii、I2的两根不可伸长的绳子平行地挂起，使两球的中心在同一水平上并且紧挨着。今使 m-j球与竖直线偏离角，然后无初速地释放，若恢复系数为e，求第二个球的最大偏角 :-解：对球1，设碰撞前的速度为 v1，则:1 2g gh 1 -cos m1v1

28、22g|1 吒设碰撞后球1的速度为u1，球2的速度为U2。由水平方向动量守恒:my 二 m)u1 m2u2由恢复系数:求得garcsiJmUjTsinTj m m2 Y l2 2n角，自高处无初速地落下时与光滑水平面作完全非弹性碰一长为2a的均匀杆与竖直线成 撞。证明：若杆中心下落高度2 2H a(1 3sin R H18sin 日 cos日则杆的下端与地面接触后又立刻离开地面。证明：设碰撞前瞬间杆子速度为 Uo，碰撞后瞬间杆子质心 C速度为Ucx，UCy，转动角速度为 1。碰撞后的动力学方程为muc Ie = 0m(u -Ucy) = Ie e -iJc( 1 - 0)=Jc 1 =Mc(l ) =lyasin杆与地面发生完全非弹性碰撞，故碰撞后瞬间UAy =0，即只有水平方向速度，而质心只有Ucy竖直方向的速度，杆转动瞬心为图示点 E,可知-一，代入运动方程得asin 0JeC = ma2 Cy = I yasin 日=m(u0 uCy)a sin日3 asinG23u0 sin rUCy23sin 13sins 、顽（方向竖直向下）3sin 二 T