22行程问题12345.docx
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22行程问题12345
（二十二）行程问题
（1）
行程问题是反映物体匀速运动状况的应用题，它研究的是物体运动速度、时间和路程三者之间的关系。
基本数量关系式为：
路程＝速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
行程问题根据运动物体的个数可分为：
一个物体的运动、两个物体的运动或三个物体的运动。
这里主要研究两个物体的运动，根据两个物体运动的方向，可分为：
相遇问题（相向运动）、追及问题（同向运动）、相离问题（相背运动）三种情况。
两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体相向运动或相背运动时，以两个运动物体速度的和作为运动速度（简称速度和），当两个物体同向运动时，追击的速度就变为了两个运动物体速度的差（简称速度差）。
当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。
如人在赛跑时顺风跑和逆风跑速度与无风跑速度相差一个风速；船在河中顺流航行和逆水航行速度分别与静水航行速度相差一个水流速度。
行程问题涉及到的物体运动的具体情况较复杂，题型较多。
《奥赛天天练》第十五讲《相遇问题》，《奥赛天天练》第十六讲《追及问题》，《奥赛天天练》第十七讲《火车行程问题》，《奥赛天天练》第十八讲《流水行程问题》，依次教学相遇问题、追及问题、火车行程问题、流水行程问题这4种典型的常见行程问题应用题。
一、相遇问题。
两个物体在同一直线或环形路线上，同时或不同时由两地出发相向而行，在途中相遇，此类行程问题被称为相遇问题。
两个物体同时或不同时从同一地点出发，相背而行，此类行程问题被称为相离问题。
相离问题就相当于相遇问题的逆过程，这两类问题解题方法相同。
常用数量关系式为：
甲的路程+乙的路程=相遇（或相离）路程
速度和×相遇（或相离）时间＝相遇（或相离）路程
相遇（或相离）路程÷速度和=相遇（或相离）时间
相遇（或相离）路程÷相遇（或相离）时间= 速度和
二、追及问题。
两物体在同一直线或环形路线上运动，速度慢的在前，速度快的在后，经过一段时间，速度快的追上速度慢的，此类问题通常被称为追及问题。
常用数量关系式为：
路程差=追及者所行路程-被追者所行路程
追及时间×速度差＝路程差
追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间
三、火车行程问题。
火车过桥，火车过隧道，两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题，被称为火车行程问题。
一般行程问题中，因为人、车之类的运动物体的长度很小，可以忽略不计。
但火车行程问题在考虑路程时,必须考虑到火车本身的长度。
常用数量关系式有：
①火车过桥或隧道：
过桥（隧道）时间×速度=桥（隧道） 长+火车车长
②两列火车相向而行,从车头相遇到车尾相离：
所用时间×速度和=两车车长之和
③两列火车同向而行, 从快车头追上慢车尾到快车尾超过慢车头：
所用时间×速度差=两车车长之和
四、流水行程问题。
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到水流速度影响，在这种情况下船只的航行速度、时间和所行的路程之间的关系问题，就叫做流水行程问题，也称为流水行船问题。
常用数量关系式为：
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
顺水行程＝顺水速度×航行时间
逆水行程＝逆水速度×航行时间
解题策略：
①要正确的解答相关行程问题应用题，必须要弄清运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（直线，环形路线），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追上）等情况。
②解答行程问题一定要养成画线段图的习惯，这是分析行程问题数量关系的基础。
相遇问题
《奥赛天天练》第15讲，模仿训练，练习1
【题目】：
甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两地相对而行，途中相遇，相遇点距A地60千米。
相遇后两车以原速前进，到底目的地后，两车立即返回，在途中又第二次相遇，这时距A地40千米。
问第一次相遇点距B地多少千米？
【解析】：
甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对而行，行驶情况如下图：
蓝色线条表示甲车行驶路线，红色线条表示乙车行驶路线；细线条是第一次相遇前两车行驶路程，粗线条表示两车从第一次相遇到第二次相遇之间行使的路程。
从图中可以看出，从出发到第一次相遇，两车合走了1个全程（细线条）；从第一次相遇到第二次相遇，两车合走了2个全程（粗线条）；两车总共合走了3个全程。
每辆汽车的速度是一定的，所以它们各自行驶的路程与时间成正比例。
解法一：
如上图，第一次相遇时，即两车合走1个全程的时间里，甲走了60千米。
两车总共合走了3个全程，则甲车从A地出发，经过B地到达第二次相遇地点，总共行驶了3个60千米（蓝色线条全长），加上第二次相遇地点到A地40千米，共2个全程。
所以A、B两地的距离为：
（60×3＋40）÷2＝110（千米）。
所以第一次相遇地点到B地的距离为：
110－60＝50（千米）。
解法二：
如上图，从第一次相遇到第二次相遇，即两车合走2个全程的时间里，乙从第一次相遇点经过A地到达第二次相遇地点，共走了（60＋40）千米。
则乙从出发到第一次相遇，即两车合走1个全程的时间里，行驶的路程为：
（60＋40）÷2＝50（千米）。
第一次相遇点距B地的距离就是乙从出发到第一次相遇行驶的路程，即50千米。
《奥赛天天练》第15讲，模仿训练，练习2
【题目】：
甲、乙两人分别从两地同时相向而行，8小时后可以相遇。
如果每小时都少行1.5千米，那么10小时后相遇，问两地相距多少千米？
【解析】：
把甲、乙的速度和即两人合走一小时的路程，看作一份。
如下图，按实际速度，8小时相遇，即两地距离可看作8大份。
如果每小时都少行1.5千米，则速度和就少了2个1.5千米即3千米。
按这样的速度，10个小时相遇，即两地距离可以看作10小份。
如上图，每1大份都比每1小份多3千米，8大份就比8小份多8个3千米，而10小份比8小份多了2小份。
对比两种走法，可得按第二种速度行驶2小时的路程，就相当于8个3千米。
所以全程为：
8×3÷2×10=120（千米）。
《奥赛天天练》第15讲，巩固训练，习题1
【题目】：
甲、乙两地相距260千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行，在距乙地95千米处相遇，相遇后两车又继续前进，客车到乙地，货车到甲地后，都立即返回，两车又在距甲地多少千米处相遇？
【解析】：
如下图：
第一次相遇点距乙地95千米，即两车合走1个全程的时间里，货车走了95千米。
与本讲前面【模仿训练，练习1】同理，两车从出发到第二次相遇合行了3个全程，总共行驶了两车合行3个全程的时间，则货车从乙地出发，经过甲地到达第二次相遇地点，也就行驶了3个95千米（红色线条全长）。
如上图，两车第二次相遇点距甲地的距离，就是货车行驶的总路程减去甲乙两地距离的差：
95×3－260＝25（千米）。
（二十三）行程问题
（2）
《奥赛天天练》第15讲，巩固训练，习题2
【题目】：
在一环形跑道上，甲从A点，乙从B点同时反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B地，又过8分钟两人再次相遇，甲、乙各行一周各需多少分钟？
【解析】：
如下图，蓝色线条是甲走的路程，图中标注的时间是指甲走过每一段路程花费的时间；红色线条是乙走过的路程；细线条是第一次相遇前甲乙两人走过的路程，粗线条是第一次相遇和再次相遇之间两人走过的路程。
从上图中可以看出，从第一次相遇到再次相遇，走了（8＋4）分钟，两人合走的路程正好是一周。
甲乙合走A、B两点间路程（黄色）用了6分钟。
甲乙两人的速度是一定的，路程与时间成正比例。
（8＋4）÷6＝2
所以环形跑道一周的路程正好是A、B间路程（黄色）的2倍。
甲从A走到B用了（6＋4）分钟，所以甲走一周需要时间：
（6＋4）×2＝20（分）。
从B点到第一次相遇地点，乙走了6分钟，甲走了4分钟，即甲走1分钟的路程，乙需要（6÷4）分钟，所以乙走完全程需要时间：
6÷4×20＝30（分）。
《奥赛天天练》第15讲，拓展提高，习题1
【题目】：
如下图，从A到B是1千米的下坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米上坡路。
小张和小王步行，下坡的速度都是每小时6千米，平路的速度都是每小时4千米，上坡的速度都是每小时2千米。
小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，问多少时间后相遇？
【解析】：
解法一：
1小时等于60分钟。
上坡行1千米的时间为：
60÷2＝30（分钟）
平路行1千米的时间为：
60÷4＝15（分钟）
下坡行1千米的时间为：
60÷6＝10（分钟）
小张从A到B需要时间：
1×10＝10（分钟）
小王从D到C需要时间：
2.5×10＝25（分钟）
即小张和小王到达B、C两地后继续前行时，出发时间小张比小王提前：
25－10＝15（分钟）
用BC的路程3千米减去小张先行15分钟所行的路程1千米，剩下路程就是小王到达D点后，两人同时步行一直到相遇时所行的路程和。
（3－1）÷2 ×15＝15（分钟）
即小王到达D点后，又经过15分钟，两人才相遇。
25＋15＝40（分钟）
所以，小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，40分钟后相遇。
解法二：
小张从A到B需要时间：
1÷6＝1/6（小时）
小王从D到C需要时间：
2.5÷6=5/12（小时）
即小张和小王到达B、C两地后继续前行时，出发时间小张比小王提前：
5/12－1/6＝1/4（小时）
用BC的路程3千米减去小张先行1/4小时所行的路程，剩下路程就是小王到达D点后，两人同时步行一直到相遇时所行的路程和。
（3－4×1/4）÷（4＋4）＝1/4（小时）
即小王到达D点后，又经过1/4小时，两人才相遇。
5/12＋1/4＝2/3（小时）
所以，小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，2/3小时后相遇。
注：
因为分数乘除法孩子要到六年级才能学到，五年级的孩子比较适合用第一种解法求解。
当孩子掌握了分数乘除法后，用第二种解法求解，思路更简洁。
《奥赛天天练》第15讲，拓展提高，习题2
【题目】：
丁丁和玲玲同时从家里出发相向而行，丁丁每分钟走52米，玲玲每分钟走70米，两人在途中A点相遇。
若丁丁提前4分钟出发，且速度不变，玲玲每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。
丁丁和玲玲家相距多少米？
【解析】：
如下图：
丁丁两次行的路程相等，都是从丁丁家到A点，两次行走的速度不变，因此丁丁两次从出发到相遇经过的时间也是相同的。
玲玲第一次行走时间与丁丁相同，第二次比丁丁少行了4分钟，即玲玲从家到A点，每分钟行90米比每分钟行70米少用了4分钟。
运用假设法，可以求出玲玲第二次出发到相遇的时间为：
70×4÷（90－70）＝14（分钟）
所以丁丁和玲玲家的距离为：
14×90＋（14＋4）×52＝2196（米）
追及问题
《奥赛天天练》第16讲，模仿训练，练习1
【题目】：
姐姐步行的速度是每分钟75米，妹妹步行的速度是每分钟65米，在妹妹先出发20分钟后姐姐去追赶妹妹，问姐姐多少分钟后追上妹妹？
这时离出发地多少米？
【解析】：
如上图，妹妹先行20分钟，即行走了（20×65）米后，姐姐出发。
从姐姐出发到姐姐追上妹妹这段时间内，姐姐比妹妹共多行了（20×65）米。
而姐姐每分钟比妹妹多行（75－65）米，所以姐姐从出发到追上妹妹，所花时间为：
20×65÷（75－65）＝130（分钟）。
这时离出发地的距离，也就是姐姐所行的路程：
130×75＝9750（米）。
（二十四）行程问题（3）
追及问题
《奥赛天天练》第16讲，模仿训练，练习2
【题目】：
兄妹两人同时从家出发去1080米远的学校上学，哥哥骑车每分钟走360米，妹妹步行每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘带课本，立即原路返回，问哥哥再次由家出发在离学校多远处追上妹妹？
【解析】：
如下图：
哥哥比妹妹总共多行了家与学校之间全程的2倍，即（1080×2）米。
而哥哥每分钟比妹妹多行（360－60）米。
则从兄妹同时出发到哥哥再次追及妹妹，经过时间为：
1080×2÷（360－60）＝7.2（分钟）。
用家校距离减去妹妹行走路程，可以求出追及地点离学校的距离为：
1080－7.2×60＝648（米）。
《奥赛天天练》第16讲，巩固训练，习题1
【题目】：
实验小学组织学生排队步行去郊游，步行速度是每秒1米，排头的王老师以每秒2.5米的速度赶到排尾，然后立即返回排头，共用10分钟，求队伍的长度。
【解析】：
如下图，红点代表王老师，褐色箭头代表队伍：
从图中可以看出：
第一次排头的王老师从排头赶到排尾的过程中，王老师步行的路程与队伍步行路程之和正好等于队伍的长度；
第二次王老师从排尾赶到排头，王老师步行路程与队伍步行路程之差正好等于队伍的长度。
解法一，假设王老师从排头赶到排尾用了x分钟，由题意可得：
（1＋2.5）×60x＝（2.5－1）×60×（10－x）
解得：
x＝3
所以，队伍的长度为：
（1＋2.5）×60×3＝630（米）
解法二：
令王老师从排头赶到排尾的时间为第一段时间，这段时间里，王老师和队伍步行的路程和等于队伍长度，即：
队伍长度＝（1＋2.5）×第一段步行时间
令王老师从排尾赶到排头的时间为第二段时间，这段时间里，王老师和队伍步行的路程差等于队伍长度，即：
队伍长度＝（2.5－1）×第二段步行时间
队伍长度是一定的，速度与时间成反比例，即速度扩大几倍，时间就缩小相同的倍数。
（1＋2.5）÷（2.5－1）＝7/3
所以第一段时间是第二段时间的3/7，是总时间的3/10。
所以队伍的长度为：
（1＋2.5）×60×（10×3/10）＝630（米）
注：
根据学生的现有水平，五年级学生适合使用第一种方法求解，第二种方法比较难以理解。
《奥赛天天练》第16讲，巩固训练，习题2
【题目】：
有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地。
乙比丙晚出发10分钟，经过40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，经过50分钟追上乙，那么甲出发后多长时间追上丙？
【解析】：
“乙比丙晚出发10分钟，经过40分钟追上丙”，即乙行40分钟的路程与丙行（10＋40＝）50分钟的路程相等；同理，“甲比乙晚出发20分钟，经过50分钟追上乙”，即甲行50分钟的路程与乙行（20＋50＝）70分钟的路程相等。
即行驶相同的路程乙所用时间是甲的（70÷50）倍，丙所行时间是甲的（50÷40）倍。
70÷50×（50÷40）＝1.75
所以行驶相同的路程丙所用时间是甲的1.75倍，根据题意可知，甲比丙晚出发（10＋20）分钟。
由差倍问题数量关系，可知甲追上丙所需时间为：
（10＋20）÷（1.75－1）＝40（分）
注：
本题也可以根据“路程一定，速度与时间成反比例”，来求解。
《奥赛天天练》第16讲，拓展提高，习题1
【题目】：
甲从A地步行去B地，同时乙从B地骑自行车去A地，1小时后在途中第一次相遇。
乙到达A地后立即返回到B地，在途中又追上了甲，此时与第一次相遇相隔40分钟，乙到达B地后又立即折返A地，两人又第二次相遇在途中，此时与乙追上甲的时间相隔多长？
【解析】：
如下图：
第一次相遇时，两人合行了1个全程，需要1小时。
第二次相遇时，两人合行了3个全程，则需要3个小时。
即第二次相遇与出发时间相隔3个小时。
乙追上甲时，与出发时间相隔：
1小时＋40分钟＝1小时40分钟。
所以，两人第二次相遇时与乙追上甲的时间相隔：
3小时－1小时40分钟＝1小时20分钟
《奥赛天天练》第16讲，拓展提高，习题2
【题目】：
如图所示，某单位围墙外面的小路是边长300米的正方形。
甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。
已知甲每分钟走90米，乙每分钟走70米，问至少经过多长时间甲才能看到乙？
【解析】：
如下图，甲从A点出发，乙从C点出发，甲、乙距离为（300×2）米：
由于围墙相隔，甲、乙两人必须在图中正方形的同一条边上，即甲乙距离至少在300米之内，甲才能看到乙。
（300×2－300）÷（90－70）＝15（分钟）
但两个人之间相距300米，甲不一定能看到乙，还必须在同一条边上，需要验证。
甲：
15×90÷300＝4.5
乙：
15×70÷300＝3.5
15分钟后，甲走了4.5条边，到了AB边中点上；乙走了3.5条边，到了BC边中点上，甲仍然看不到乙，甲再继续走半条边，走到BC边上才可以看到乙。
300÷2÷90＝5/3（分钟）＝1分钟40秒
15分钟＋1分钟40秒＝16分钟40秒
所以至少经过16分钟40秒甲才能看到乙。
（二十五）行程问题（4）
火车行程问题
《奥赛天天练》第17讲，模仿训练，练习1
【题目】：
甲火车长290米，每秒行20米，乙火车长250米，每秒行25米，两车在平行的轨道上同向行驶，刚好经过一座900米的铁桥，当甲火车车尾离开桥的一端，同时乙火车车头刚好驶上桥的另一端，经过多长时间乙火车完全超过甲火车？
【解析】：
火车行驶经过的路程有两种计量方法：
一种是从出发时的车头位置量到到达时的车头位置；另一种是从出发时的车尾位置量到到达时的车尾位置。
如下图：
从甲火车车尾离桥、乙火车车头上桥开始，到乙火车完全超过甲火车结束，这段时间乙火车比甲火车多行了一个桥长加两列车的车长，共（250＋900＋290）米。
乙火车每秒比甲火车多行（25－20）米。
所以从开始到乙火车完全超过甲火车经过时间为：
（250＋900＋290）÷（25－20）＝288（秒）。
《奥赛天天练》第17讲，模仿训练，练习2
【题目】：
305次列车通过450米长的山洞用了23秒，经过一位站在铁路边的扳道工人用了8秒，求列车每小时的速度和车身长度各是多少？
【解析】：
列车通过山洞，即列车从车头进入山洞到车尾离开山洞。
列车经过扳道工人，即列车从车头到达扳道工，到车尾离开扳道工。
如下图：
列车通过山洞行驶的路程为山洞长450米加上一个车长，经过时间为23秒；列车经过扳道工人行驶的路程为一个车长，经过时间为8秒。
则列车行驶450米的路程需要时间（23－8）秒。
列车每秒的速度为：
450÷（23－8）=30（米）。
所以，列车每小时的速度为：
30×3600÷1000=108（千米）。
车身长度为：
30×8＝240（米）。
《奥赛天天练》第17讲，巩固训练，习题1
【题目】：
甲列车长500米，乙列车长400米，已知甲、乙两列车的速度分别为每秒20米和每秒25米，两列车相向而行，从车头相遇到车尾相离需要多少秒？
【解析】：
如下图：
从两车车头相遇到车尾相离，两车行驶的路程和为两车车长之和（500＋400）米，两车的速度和为（20＋25）米。
所以从车头相遇到车尾相离需要时间：
（500＋400）÷（20＋25）＝20（秒）。
《奥赛天天练》第17讲，巩固训练，习题2
【题目】：
一列货车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节与节间隔1.5米，这列货车以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用了2分钟，这个山洞长多少米？
【解析】：
先求出列车车长为：
30×41＋1.5×（41－1）＝1290（米）。
与上面【第17讲，模仿训练，练习2】同理，列车穿过山洞行驶的路程等于山洞长度与列车长度之和。
所以山洞长度为：
1×1000×2－1290＝710（米）。
《奥赛天天练》第17讲，拓展提高，习题1
【题目】：
一座铁桥长1000米，一列火车从车头上桥到车尾离开桥共用了120秒。
已知整个列车完全在桥上行驶的时间是80秒，求火车的长度与火车的速度。
【解析】：
与上面【第17讲，模仿训练，练习2】同理，列车从车头上桥到车尾离开桥行驶的路程等于桥长与车长之和。
如下图，整个列车完全在桥上行驶，即从车尾上桥到车头开始离桥，列车行驶的路程等于桥长与车长之差。
由和差关系，可求出火车行驶桥长1000米需要的时间为：
（80＋120）÷2＝100（秒）。
所以火车速度，每秒行驶的路程为：
1000÷100=10（米）。
火车长度为：
120×10－1000=200（米）。
《奥赛天天练》第17讲，拓展提高，习题2
【题目】：
甲、乙两人在铁路平行的马路上背向而行，甲骑车每小时行36千米，乙步行每小时行3.6千米，一列火车匀速向甲驶来，列车在甲旁开过用了10秒钟，而在乙旁开过用了21秒钟，问这列火车的长是多少米？
【解析】：
列车沿一个方向行驶，甲乙二人相背而行，则两人中一人与列车同向而行，另一人与列车相向而行。
根据列车经过二人身旁的时间，可知甲与列车相向而行，乙与列车同向而行。
如下图，甲与列车行驶的路程和等于车长，列车与乙的路程差等于车长。
甲是速度为每小时36千米，则每秒的速度为：
36×1000÷3600＝10（米）
乙是速度为每小时3.6千米，则每秒的速度为：
3.6×1000÷3600＝1（米）
解法一：
假设列车每秒行x米，根据题意可得：
（10＋x）×10＝（x－1）×21
解得：
x＝11
所以列车长为：
（10＋11）×10＝210（米）。
解法二：
列车首先遇到甲，经过甲时列车10秒行驶的路程比车长少了甲10秒的路程（10×10）米；
列车再遇到乙，经过乙时列车21秒行驶的路程比车长多了乙行的路程（1×21）米。
即列车经过乙时比经过甲时多行了路程（10×10＋1×21）米，多行了时间（21－10）秒。
可求出列车的速度为每秒行驶：
（10×10＋1×21）÷（21－10）＝11（米）
所以列车长为：
（10＋11）×10＝210（米）。
（二十六）行程问题（5）
流水行程问题
《奥赛天天练》第18讲，模仿训练，练习1
【题目】：
沿江两码头相距105千米，乘船往返一次的时间是6小时，去时比回时多1小时，那么水的流速是多少？
船在静水中的速度是多少？
【解析】：
由题意可知，乘船去时是逆水，回来时是顺水，顺水航行一趟和逆水航行一趟的时间和是6小时，时间差是1小时。
逆水航行一趟时间为：
（6＋1）÷2＝3.5（小时）；
顺水航行一趟时间为：
6－3.5＝2.5（小时）。
所以顺水速度为：
105÷2.5＝42（千米/小时）；
逆水速度为：
105÷3.5＝30（千米/小时）。
所以船在静水中的速度是：
（42＋30）÷2＝36（千米/小时）；
水的流速是：
36－30＝6（千米/小时）。
《奥赛天天练》第18讲，模仿训练，练习2
【题目】：
一位短跑运动员，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒，问在无风的时候，他跑100米要用多少秒？
【解析】：
要求出这位运动员无风的时候，跑100米要用多少秒，先要求出这位运动员在无风时的跑步速度。
顺风速度为：
90÷10＝9（米/秒）；
逆风速度为：
70÷10＝7（米/秒）；
则这位运动员在无风时跑步速度为：
（9＋7）÷2＝8（米/秒）；
100÷8＝12.5（秒）
所以，这位运动员无风的时候，跑100米要用12.5秒。
《奥赛天天练》第18讲，巩固训练，习题1
【题目】：
一船往返于两港之间，顺流需4小时到达，逆流需6小时
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