初中数学华师大版八年级下册一次函数试题.docx

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初中数学华师大版八年级下册一次函数试题

初中数学华师大版八年级下册一次函数试题

一次函数经典讲练

新课指南

1.知识与技能:

（1）理解一次函数和正比例函数的概念,能根据所给条件写出简单的一次函数表达式;

（2）会画一次函数的图象;（3）知道两个条件可确定一个一次函数,能由两个条件求出一些简单的一次函数的表达式.

2.过程与方法:

经历探索一次函数图象的作图过程和一次函数图象的性质,初步了解作函数图象的一般步骤及由函数图象探究函数性质的能力.

3.情感态度与价值观:

通过一次函数的概念、图象、性质的探究,充分发展学生的数学应用能力,在解决实际问题的过程中,广泛使用了分类讨论、数形结合的数学思想方法,同时,使学生深刻体会数学知识来源于实际生产、生活的需求,反之,又服务于生产、生活实际.

4.重点与难点:

重点是理解一次函数和正比例函数的概念,初步了解作函数图象的一般步骤,熟练作出一次函数的图象,掌握一次函数的图象及性质,能由两个已知条件求出一次函数的表达式.难点是根据题设的条件寻找一次函数关系式,熟练作出一次函数的图象,掌握一次函数的图象和性质,求出一次函数的表达式.

教材解读

数学与生活

一根弹簧,长度为12cm,当弹簧下面每挂1kg质量的物体时,弹簧就伸长0.5cm,那么弹簧总长度y（原长度+伸长长度）（单位:

cm）与弹簧所挂物体的质量x（单位:

kg）的关系是,当x2时,y.

思考讨论弹簧的总长度y弹簧原长度+弹簧伸长长度,已知弹簧的原长度是12cm,每挂1kg质量的物体弹簧伸长0.5cm,那么挂xkg的物体时,弹簧伸长长度为0.5xcm,所以y12+0.5x,当x2时,y12+0.5×213（cm）.那么,函数关系式y12+0.5x是什么函数呢?

它的图象情况如何?

其性质如何?

知识详解

知识点1一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x,y间的关系式可以表示成ykx+b（k,b为常数,k≠0）的形式,则称y是x的一次函数（x为自变量）,特别地,当b0时,称y是x的正比例函数.例如:

y2x+3,y-x+2,yx等都是一次函数,yx,y-x都是正比例函数.

【说明】

（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数ykx+b（k,b为常数,b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.

（3）当b0,k≠0时,yb仍是一次函数.

（4）当b0,k0时,它不是一次函数.

探究交流

有人说:

“正比例函数是一次函数,一次函数也是正比例函数,它们没什么区别.”

点拨这种说法不完全正确.正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,只有当b0时,一次函数才能成为正比例函数.

知识点2确定一次函数的关系式

根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式,实质是先列出一个方程,再用含x的代数式表示y.

知识点3函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步:

列表、描点、连线.

知识点4一次函数的图象

由于一次函数ykx+b（k,b为常数,k≠0）的图象是一条直线,所以一次函数ykx+b的图象也称为直线ykx+b.

由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点:

直线与y轴的交点（0,b）,直线与x轴的交点（-,0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数ykx的图象时,只要描出点（0,0）,（1,k）即可.

知识点5一次函数ykx+b（k,b为常数,k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向;

①k>0时,y的值随x值的增大而增大;

②k?

O时,y的值随x值的增大而减小.

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡）,|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）;

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置;

①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;

②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;

③当b0时,直线经过原点,是正比例函数.

（4）由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;

①如图11-18（l）所示,当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）;

②如图11-18

（2）所示,当k>0,b?

O时,直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）;

③如图11-18（3）所示,当k?

O,b>0时,直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）;

④如图11-18（4）所示,当k?

O,b?

O时,直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）.

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如:

直线yx+1可以看作是正比例函数yx向上平移一个单位得到的.

知识点6正比例函数ykx（k≠0）的性质

（1）正比例函数ykx的图象必经过原点;

（2）当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;

（3）当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.

知识点7点P（x0,y0）与直线ykx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0,y0）在直线ykx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式ykx+b;

（2）如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P（1,2）必在函数的图象上.

例如:

点P（1,2）满足直线yx+1,即x1时,y2,则点P（1,2）在直线yx+l的图象上;点P′（2,1）不满足解析式yx+1,因为当x2时,y3,所以点P′（2,1）不在直线yx+l的图象上.

知识点8确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数ykx（k≠0）中只有一个待定系数k,故只需一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值.

（2）由于一次函数ykx+b（k≠0）中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.

知识点9待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数）,再根据条件列出方程（或方程组）,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:

函数ykx+b中,k,b就是待定系数.

知识点10用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

（1）设函数表达式为ykx+b;

（2）将已知点的坐标代入函数表达式,解方程（组）;

（3）求出k与b的值,得到函数表达式.

例如:

已知一次函数的图象经过点（2,1）和（-1,-3）求此一次函数的关系式.

解:

设一次函数的关系式为y=kx+b（k≠0）,

由题意可知,

解

∴此函数的关系式为y.

【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下:

第一步,设（根据题中要求的函数“设”关系式ykx+b,其中k,b是未知的常量,且k≠0）;第二步,代（根据题目中的已知条件,列出方程（或方程组）,解这个方程（或方程组）,求出待定系数k,b）;第三步,求（把求得的k,b的值代回到“设”的关系式ykx+b中）;第四步,写（写出函数关系式）.

思想方法小结

（1）函数方法.

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.

（2）数形结合法.

数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.

知识规律小结

（1）常数k,b对直线ykx+bk≠0）位置的影响.

①当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;

当b0时,直线经过原点;

当b?

0时,直线与y轴的负半轴相交.

②当k,b异号时,即->0时,直线与x轴正半轴相交;

当b0时,即-0时,直线经过原点;

当k,b同号时,即-?

0时,直线与x轴负半轴相交.

③当b>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限;

当k>0,b0时,图象经过第一、三象限;

当b>O,b

当k?

O,b>0时,图象经过第一、二、四象限;

当k?

O,b0时,图象经过第二、四象限;

当b

（2）直线ykx+b（k≠0）与直线ykxk≠0的位置关系.

直线ykx+bk≠0平行于直线ykxk≠0

当b>0时,把直线ykx向上平移b个单位,可得直线ykx+b;

当b?

O时,把直线ykx向下平移|b|个单位,可得直线ykx+b.

（3）直线b1k1x+b1与直线y2k2x+b2（k1≠0,k2≠0）的位置关系.

①k1≠k2y1与y2相交;

②y1与y2相交于y轴上同一点（0,b1）或（0,b2）;

③y1与y2平行;

④y1与y2重合.

典例剖析

基本概念题

本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件.

例1下列函数中,哪些是一次函数?

哪些是正比例函数?

（1）y-x;

（2）y-;（3）y-3-5x;

（4）y-5x2;（5）y6x-（6）yxx-4-x2.

[分析]本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解.

解:

（1）（3）（5）（6）是一次函数,（l）（6）是正比例函数.

例2当m为何值时,函数y-（m-2）x+（m-4）是一次函数?

[分析]某函数是一次函数,除应符合ykx+b外,还要注意条件k≠0.

解:

∵函数y（m-2）x+（m-4）是一次函数,

∴∴m-2.

∴当m-2时,函数y（m-2）x+（m-4）是一次函数.

小结某函数是一次函数应满足的条件是:

一次项（或自变量）的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:

常数项为0.

基础知识应用题

本节基础知识的应用主要包括:

（1）会确定函数关系式及求函数值;

（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息;（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题;（4）利用待定系数法求函数的表达式.

例3一根弹簧长15cm,它所挂物体的质量不能超过18kg,并且每挂1kg的物体,弹簧就伸长0.5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量xkg）之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并判断y是否是x的一次函数.

[分析]

（1）弹簧每挂1kg的物体后,伸长0.5cm,则挂xkg的物体后,弹簧的长度y为（l5+0.5x）cm,即y15+0.5x.

（2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值,即0≤x≤18.

3由y15+0.5x可知,y是x的一次函数.

解:

（l）y15+0.5x.

（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18.

（3）y是x的一次函数.

学生做一做:

乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度为58千米/时,则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是.

老师评一评:

研究本题可采用线段图示法,如图11-19所示.

火车从乌鲁木齐出发,t小时所走路程为58t千米,此时,距离库尔勒的距离为s千米,故有58t+s600,所以,s600-58t.

例4某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数:

Mt2-5t+100（其中t0表示中午12时,t1表示下午1时）,则上午10时此物体的温度为℃.

[分析]本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出t的具体值.从题中可以知道,t0表示中午12时,t1表示下午1时,则上午10时应表示成t-2,当t-2时,M（-2）3-5×（-2）+100102（℃）.

答案:

102

例5已知y-3与x成正比例,且x2时,y7.

（1）写出y与x之间的函数关系式;

（2）当x4时,求y的值;

（3）当y4时,求x的值.

[分析]由y-3与x成正比例,则可设y-3kx,由x2,y7,可求出k,则可以写出关系式.

解:

（1）由于y-3与x成正比例,所以设y-3kx.

把x2,y7代入y-3kx中,得

7-3=2k,

∴k=2.

∴y与x之间的函数关系式为y-32x,即y2x+3.

（2）当x4时,y2×4+311.

（3）当y=4时,42x+3,∴x.

学生做一做:

已知y与x+1成正比例,当x5时,y12,则y关于x的函数关系式是.

老师评一评:

由y与x+1成正比例,可设y与x的函数关系式为xk（x+1）.

再把x5,y12代入,求出k的值,即可得出y关于x的函数关系式.

设y关于x的函数关系式为yk（x+1）.

∵当x5时,y12,

∴12（5+1）k,∴k2.

∴y关于x的函数关系式为y2x+2.

【注意】y与x+1成正比例,表示ykx+1,不要误认为ykx+1.

例6求直线y-2x-3与x轴和y轴的交点,并画出这条直线.

[分析]要注意x轴和y轴上点的特征,x轴上所有点的纵坐标为0,y轴上所有点的横坐标为0,两个交点的坐标求出后,利用这两点就可以画直线了.

解:

令x0,则y-3;令y0,则x-.

∴该直线与x轴的交点为（-,0）,与y轴的交点为（0,-3）图象如图11-20所示.

学生做一做函数y-x+1的图象不经过（）

A.第四象限;B.第三象限;C.第二象限;D.第一象限

老师评一评因为k-O,所以函数图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,故选B项.

例7若正比例函数y（1-2m）x的图象经过点A（x1,y1）和点B（x2,y2）,当x1?

x2时,y1>y2,则m的取值范围是（）

A.m?

OB.m>0C.m?

D.m>M

[分析]本题考查正比例函数的图象和性质,因为当x1y2,说明y随x的增大而减小,所以1-2m?

O,∴m>,故正确答案为D项.

学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元,计划今后每年增加2万元.

（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式;

（2）画出函数的图象;

（3）求5年后的产值.

老师评一评

（1）年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式为y15+2x.

（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0,因此,函数y15+2x的图象应为一条射线.

画函数y12+5x的图象如图11-21所示.

（3）当x5时,y=15+2×525（万元）

∴5年后的产值是25万元.

例8已知一次函数ykx+b的图象如图11-22所示,求函数表达式.

[分析]从图象上可以看出,它与x轴交于点（-1,0）,与y轴交于点（0,-3）,代入关系式中,求出k为即可.

解:

由图象可知,图象经过点（-1,0）和（0,-3）两点,

代入到ykx+b中,得

∴

∴此函数的表达式为y-3x-3.

例9求图象经过点（2,-1）,且与直线y2x+1平行的一次函数的表达式.

[分析]图象与y2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为y2x+b,再将点（2,-1）代入,求出b即可.

解:

由题意可设所求函数表达式为y2x+b,

∴图象经过点（2,-1）,

∴-l2×2+b.

∴b-5,

∴所求一次函数的表达式为y2x-5.

例10已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂4kg的重物时,弹簧的长度是7.2cm,求这个一次函数的表达式.

[分析]题中并没给出一次函数的表达式,因此应先设一次函数的表达式ykx+b,再由已知条件可知,当x0时,y6;当x4时,y7.2.求出k,b即可.

解:

设这个一次函数的表达式为ykx+b.

由题意可知,当x0时,y6;当x4时,y7.2.

把它们代入ykx+b中得

∴

∴这个一次函数的表达式为y0.3x+6.

学生做一做已知直线y2x+1.

（1）求已知直线与y轴交点M的坐标;

（2）若直线ykx+b与已知直线关于y轴对称,求k,b的值.

老师评一评

（1）令x0,则y2×0+11,∴M（0,1）.

∴直线y2x+1与y轴交点M的坐标为0,1

（2）∵直线ykx+b与y2x+l关于y轴对称,

∴两直线上的点关于y轴对称.

又∵直线y=2x+1与x轴、y轴的交点分别为A（-,0）,B（0,1）,

∴A（-,0）,B（0,1）关于y轴的对称点为A′（-,0）,B′（0,1）.

∴直线ykx+b必经过点A′（-,0）,B′（0,1）.

把A′（-,0）,B′（0,1）代入ykx+b中得

∴

∴k=-2,b=1.

小结当两条直线关于x轴（或y轴）对称时,则它们图象上的点也必关于x轴（或y轴）对称.例如:

对于两个一次函数,若它们关于x轴对称,求出已知一个一次函数和x轴、y轴的交点,再分别求出这两个点关于x轴的对称点,利用求出的两个对称点,就可以求出另一个函数的解析式.

综合应用题

本节知识的综合应用包括:

（1）与方程知识的综合应用;

（2）与不等式知识的综合应用;（3）与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际问题.

例11已知y+a与x+b（a,b为是常数）成正比例.

（1）y是x的一次函数吗?

请说明理由;

（2）在什么条件下,y是x的正比例函数?

[分析]判断某函数是一次函数,只要符合ykx+b（k,b中为常数,且k≠0）即可;判断某函数是正比例函数,只要符合ykxk为常数,且k≠0即可.

解:

（1）y是x的一次函数.

∵y+a与x+b是正比例函数,

∴设y+akx+b（k为常数,且k≠0）

整理得ykx+（kb-a）.

∵k≠0,k,a,b为常数,

∴ykx+kb-a是一次函数.

（2）当kb-a0,即akb时,

y是x的正比例函数.

例12某移动通讯公司开设了两种通讯业务:

“全球通”使用者先交50元月租费,然后每通话1分,再付电话费0.4元;“神州行”使用者不交月租费,每通话1分,付话费0.6元（均指市内通话）若1个月内通话x分,两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.

（1）写出y1,y2与x之间的关系;

（2）一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同?

（3）某人预计一个月内使用话费200元,则选择哪种通讯方式较合算?

[分析]这是一道实际生活中的应用题,解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算,方可得出正确结论.

解:

（1）y150+0.4x（其中x≥0,且x是整数）

y20.6x（其中x≥0,且x是整数）

2∵两种通讯费用相同,

∴y1y2,

即50+0.4x0.6x.

∴x=250.

∴一个月内通话250分时,两种通讯方式的费用相同.

（3）当y1200时,有20050+0.4x,

∴x375（分）.

∴“全球通”可通话375分.

当y2200时,有2000.6x,

∴x333（分）.

∴“神州行”可通话333分.

∵375>333,

∴选择“全球通”较合算.

例13已知y+2与x成正比例,且x-2时,y0.

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）画出函数的图象;

（3）观察图象,当x取何值时,y≥0?

（4）若点（m,6）在该函数的图象上,求m的值;

（5）设点P在y轴负半轴上,

（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且S△ABP4,求P点的坐标.

[分析]由已知y+2与x成正比例,可设y+2kx,把x-2,y0代入,可求出k,这样即可得到y与x之间的函数关系式,再根据函数图象及其性质进行分析,点（m,6）在该函数的图象上,把xm,y6代入即可求出m的值.

解:

（1）∵y+2与x成正比例,

∴设y+2kx（k是常数,且k≠0）

∵当x-2时,y0.

∴0+2=k?

（-2）,∴k=-1.

∴函数关系式为x+2-x,

即y-x-2.

（2）列表;

x0-2

y-20

描点、连线,图象如图11-23所示.

（3）由函数图象可知,当x≤-2时,y≥0.

∴当x≤-2时,y≥0.

4∵点（m,6）在该函数的图象上,

∴6-m-2,

∴m=-8.

（5）函数y-x-2分别交x轴、y轴于A,B两点,

∴A（-2,0）,B（0,-2）.

∵S△ABP?

|AP|?

|OA|4,

∴|BP|.

∴点P与点B的距离为4.

又∵B点坐标为0,-2,且P在y轴负半轴上,

∴P点坐标为0,-6.

例14已知一次函数y（3-k）x-2k2+18.

（1）k为何值时,它的图象经过原点?

（2）k为何值时,它的图象经过点（0,-2）?

（3）k为何值时,它的图象与y轴的交点在x轴的上方?

（4）k为何值时,它的图象平行于直线y-x?

（5）k为何值时,y随x的增大而减小?

[分析]函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与y轴的交点在y轴上方,说明常数项b>O;两函数图象平行,说明一次项系数相等;y随x的增大而减小,说明一次项系数小于0.

解:

（1）图象经过原点,则它是正比例函数.

∴∴k=-2.

∴当k-3时,它的图象经过原点.

（2）该一次函数的图象经过点（0,-2）.

∴-2-2k2+18,且3-k≠0,

∴k±

∴当k±时,它的图象经过点0,-2

（3）∵图象与y轴的交点在x轴上方,即b>0.

∴-2k2+18>0,

∴-3

∴当-3?

k?

3时,它的图象与y轴的交点在x轴的上方.

（4）函数图象平行于直线y-x,

∴3-k-1,

∴k=4.

∴当k=4时,它的图象平行于直线x-x.

（5）∵随x的增大而减小,

∴3-k?

O.

∴k>3.

∴当k>3时,y随x的增大而减小.

例15判断三点A（3,1）,B（0,-2）,C（4,2）是否在同一条直线上.

[分析]由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明在此直线上;若不成立,说明不在此直线上.

解:

设过A,B两点的直线的表达式为ykx+b.

由题意可知,

∴

∴过A,B两点的直线的表达式为yx-2.

∴当x4时,y4-22.

∴点C（4,2）在直线yx-2上.

∴三点A（3,1）,B（0,-2）,C（4,2）在同一条直线上.

学生做一做判断三点A（3,5）,B（0,-1）,C（1,3）是否在同一条直线上.

老师评一评由于两点确定一条直线,因此选取其中的两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入函数表达式中,若成立,说明在此直线上,即这三个点在同一条直线上,反之,这三个点不在同一条直线上.

设过点A（3,5）,B（0,-1）的直线表达式为ykx+b.

由题意可知,

∴

∴过A,B两点的直线表达式为y2x-1.

∴当xl时,y1×2-l1≠