第1轮总复习理科数学课件第56讲复数的概念与运算.ppt

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新课标高中一轮新课标高中一轮新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习总复习总复习复数复数第第56讲讲复数的概念与运算复数的概念与运算1.理理解解复复数数的的有有关关概概念念，以以及及复复数数相相等的充要条件等的充要条件.2.会进行复数的代数形式的四则运算会进行复数的代数形式的四则运算.3.了了解解复复数数代代数数形形式式的的几几何何意意义义及及复复数的加、减法的几何意义数的加、减法的几何意义.1.如果用如果用C、R和和I分别表示复数集、实数分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中集和纯虚数集，其中C为全集，则下列为全集，则下列关系正确的是（关系正确的是（）DA.C=RIB.RI=0C.CR=CID.RI=由复数的分类可知应选由复数的分类可知应选D.2.已已知知向向量量对对应应的的复复数数为为3-2i，对对应应的的复复数数为为-4-i，则，则对应的复数为（对应的复数为（）CA.-1-iB.7-3iC.-7+iD.1+i由复数运算的几何意义，由复数运算的几何意义，=-=（-4-i）-（3-2i）=-7+i，故选故选C.3.复数复数z1=3+i，z2=1-i，则，则z=z1z2在复平面在复平面内对应的点位于（内对应的点位于（）DA.第一象限第一象限B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限D.第四象限第四象限z=z1z2=（3+i）（1-i）=31+i（-i）+i-3i=4-2i,对应的点为（对应的点为（4，-2），位于第四象限），位于第四象限.4.已已知知复复数数z1=a+2i，z2=-2+i，且且|z1|=|z2|,则则实数实数a=.1由已知可得由已知可得=，则则a=1.5.若若复复数数为为纯纯虚虚数数（i为为虚虚数数单单位位,a为为实实数数），则实数，则实数a=.-1因为因为=+为纯虚数为纯虚数,所以所以=0，且，且0，所以，所以a=-1.1.复数的代数形式：

复数的代数形式：

z=a+bi（a,bR）,其中其中i2=-1,a为实部为实部,b为虚部为虚部.2.复数的分类：

复数的分类：

实数实数（b=0）虚数虚数（b0）;纯虚数纯虚数（a=0）非纯虚数（非纯虚数（a0）.复数复数a+bi虚数虚数a+bi（b0）3.复数相等的充要条件：

复数相等的充要条件：

a+bi=c+di.4.复数的模：

复数的模：

|a+bi|=.5.共轭复数：

共轭复数：

a+bi与与a-bi互为互为.显然，任一实数的共轭复数是它自己显然，任一实数的共轭复数是它自己.a=cb=d共轭复数共轭复数6.复数的代数形式的几何意义复数的代数形式的几何意义复复数数z=a+bi（a,bR）可可用用复复平平面面内内的的点点Z（a,b）以以及及表表示示,且三者之间为一一对应关系且三者之间为一一对应关系.规定规定:

相等的向量表示同一个复数相等的向量表示同一个复数.7.复数的代数形式的四则运算：

复数的代数形式的四则运算：

若若a、b、c、dR,则：

则：

（a+bi）（c+di）=；（a+bi）（c+di）=；=；其中其中c、d不同时为不同时为0.以原点为起点以原点为起点,点点Z（a,b）为终点的向量为终点的向量（ac）+（bd）i（ac-bd）+（ad+bc）i8.复复平平面面内内两两点点间间的的距距离离：

复复平平面面内内两两点点Z1、Z2对对应应的的复复数数分分别别为为z1、z2,则则|=,其中其中O为原点为原点.9.复复数数的的加加、减减法法的的几几何何意意义义：

复复数数的的加加、减减运运算算满满足足向向量量加加、减减法法的的平平行行四四边边形法则形法则（或三角形法则或三角形法则）.|z2-z1|题型一题型一复数的概念及几何意义复数的概念及几何意义例例1已知复数已知复数z=lg（m2-2m-2）+（m2+3m+2）I,当实数当实数m为何值时，为何值时，

（1）z为纯虚数；为纯虚数；

（2）z为实数；为实数；（3）z对应的点在复平面的第二象限对应的点在复平面的第二象限.依依据据复复数数分分类类的的条条件件和和代代数数形形式的几何意义求解式的几何意义求解.

（1）当当m=3时，时，z为纯虚数为纯虚数.lg（m2-2m-2）=0m=3或或m=-1m2+3m+20m-2或或m-1m=3.z为纯虚数为纯虚数

（2）当当m=-2或或m=-1时，为实数时，为实数.m2+3m+2=0m=-2或或m=-1m2-2m-20m1+3m=-2或或m=-1.（3）当当m（-1,3）时时,z对应的点在复平面的第二象限对应的点在复平面的第二象限.lg（m2-2m-2）0m2-2m-30m2+3m+20,-1m3m-1z为实数为实数由由,得得解得解得，即，即-1m3.复复数数为为何何属属性性的的数数的的问问题题通通常常可可转转化化为为其其实实数数、虚虚部部应应满满足足的的条条件件，复复数数对对应应的的点点位位于于复复平平面面的的什什么么位位置置也也取取决决于于实部和虚部的取值实部和虚部的取值.题型二题型二复数的运算复数的运算例例2计算：

计算：

（1）;

（2）.

（1）原式原式=i（-2i）=-2i2=2.

（2）原式原式=i+=i+-i=0.复数的四则运算类似于多项式的四则复数的四则运算类似于多项式的四则运算运算,此时含有虚数单位此时含有虚数单位“i”的看作一类同的看作一类同类项类项,不含不含i的看作另一类同类项的看作另一类同类项,分别合并即分别合并即可可.题型三题型三复数的相等的充要条件及应用复数的相等的充要条件及应用例例3已已知知关关于于x的的方方程程x2-（tan+i）x-（2+i）=0有实数根有实数根,求锐角求锐角的值及实数根的值及实数根.由由题题设设解解是是有有实实根根，设设其其实实根根为为x0，代代入入方方程程，由由复复数数相相等等的的充充要条件即可求解要条件即可求解.设原方程的实根为设原方程的实根为x0,则则x02-（tan+i）x0-（2+i）=0,即即（x02-tanx0-2）-（x0+1）i=0，x02-tanx0-2=0x0+1=0，求得求得x0=-1,tan=1，又，又（0,），所以所以=.故故=，实根为，实根为-1.由复数相等的充要条件得由复数相等的充要条件得设设z的共轭复数为的共轭复数为，若，若z+=4，z=8，求，求的值的值.设设z=x+yi（x、yR），则，则=x-yi,所以所以z+=2x=4，所以，所以x=2,又又z=x2+y2=8,所以所以y=2,所以所以z=22i,所以所以=或或,即即z=i或或-i.涉及复数方程问题一般转化为复数涉及复数方程问题一般转化为复数相等的充要条件问题求解相等的充要条件问题求解.题型四题型四复数加法运算的几何意义及应用复数加法运算的几何意义及应用例例4若若复复数数z满满足足|z+2|+|z-2|=8,求求|z+2|的的最大值和最小值最大值和最小值.在在复复平平面面内内满满足足|z+2|+|z-2|=8的的复复数数z对对应应的的点点的的轨轨迹迹是是以以点点（-2,0）和和（2,0）为焦点，为焦点，8为长轴长的椭圆为长轴长的椭圆.|z+2|表示椭圆上的点到焦点表示椭圆上的点到焦点（-2,0）的距离的距离.椭椭圆圆长长轴轴上上的的两两个个顶顶点点到到焦焦点点的的距距离离分分别别是最大值和最小值是最大值和最小值.因此，当因此，当z=4时，时，|z+2|有最大值有最大值6；当当z=-4时时,|z+2|有最小值有最小值2.此此题题若若令令z=x+yi,问问题题的的条条件件和和结结论论都都是是较较复复杂杂的的式式子子，不不好好处处理理.从从复复数数的的加加、减减法法的的几几何何意意义义去去理理解解，则则是是一一道道简简单单的的几何问题几何问题.若若复复数数z满满足足|z+2-2i|=1,求求|z-2-2i|的的最小值最小值.（方方法法一一）一一般般的的，满满足足|z-z0|=r的的复复数数z对对应应的的点点的的轨轨迹迹是是以以z0对对应应的的点点为为圆圆心心，r为半径的圆为半径的圆.因因为为圆圆|z+2-2i|=1的的圆圆心心为为C（-2,2）,半半径径r=1,而而|z-2-2i|表表示示圆圆上上的的点点到到定定点点A（2，2）的距离的距离,故其最小值为故其最小值为|CA|-r=4-1=3.（方法二方法二）因为因为|z-2-2i|=|z+2-2i-4|z+2-2i|-4|=3，故故|z-2-2i|min=3.（方法三方法三）设设z=x+yi（x,yR），因此有因此有|x+2+（i-2）i|=1,即即（x+2）2+（y-2）2=1.又又|z-2-2i|=,而而|x+2|=1,即即-3x-1，所以当所以当x=-1时，时，|z-2-2i|取得最小值取得最小值3.方方法法一一是是一一种种常常规规方方法法，注注意意z对对应应的的点点在在圆圆上上这这一一约约束束条条件件；方方法法二二是是几几何何法法，以以数数寻寻形形，有有明明显显的的几几何何特特征征，再再由由形形解解数数，实实现现数数与与形形的的互互化化；方方法法三三利利用用的的是是复复数数模模的的运运算算性性质质，体体现了解题的灵活性现了解题的灵活性.在复数集在复数集C内解一元二次方程内解一元二次方程x2-4x+5=0.由于由于=b2-4ac=16-20=-40,所以所以x=2i.实实数数集集扩扩充充为为复复数数集集后后，解解决决了了实实系系数数一一元元二二次次方方程程在在实实数数集集中中无无解解的的问问题题，即即在在复复数数集集中中，实实系系数数的的一一元元二二次次方方程程总总有有解解.当当0时时，实实系系数数的的一一元元二二次方程有成对共轭虚数根次方程有成对共轭虚数根.1.设设z=a+bi（a,bR）,利利用用复复数数相相等等的的充充要要条条件件转转化化为为实实数数问问题题是是求求解解复复数数常常用用的的方法方法.2.实实数数的的共共轭轭复复数数是是它它本本身身，两两个个纯纯虚数的积是实数虚数的积是实数.3.复复数数问问题题几几何何化化，利利用用复复数数、复复数数的的模模、复复数数运运算算的的几几何何意意义义，转转化化条条件件和和结结论论，有有效效利利用用数数和和形形的的结结合合，取取得得事事半半功倍的效果功倍的效果.学例1（2008辽宁卷辽宁卷）复数复数的虚的虚部是部是（）BA.iB.C.-iD.-=（-2-i）+（1+2i）=-+i,所以虚部为所以虚部为.学例2（2009安徽卷安徽卷）i是虚数单位是虚数单位,若若=a+bi（a,bR），则则乘乘积积ab的的值是值是（）BA.-15B.-3C.3D.15=-1+3i,所以所以a=-1,b=3,ab=-3，故选，故选B.本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来