理解三角函数(章建跃).ppt

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把数学教得更本质更简单把数学教得更本质更简单以三角函数的教学为例以三角函数的教学为例章建跃章建跃一、三角函数定位的变化一、三角函数定位的变化强调强调“函数的角度函数的角度”，强调刻画周期现象，强调刻画周期现象的数学模型。

的数学模型。

三角函数与其它学科的联系与结合非常重三角函数与其它学科的联系与结合非常重要。

最重要的是它与振动和波动的联系，要。

最重要的是它与振动和波动的联系，“可以说，它几乎是全部高科技的基础之可以说，它几乎是全部高科技的基础之一一”，这是当前数学教学的薄弱环节。

，这是当前数学教学的薄弱环节。

强调发挥单位圆的作用，强调利用向量方强调发挥单位圆的作用，强调利用向量方法，淡化三角恒等变换的技巧性内容。

法，淡化三角恒等变换的技巧性内容。

三角函数三角函数16课时，三角恒等变换课时，三角恒等变换8课时，解课时，解三角形三角形8课时。

课时。

思考：

三角函数与其它函数的不同点到底思考：

三角函数与其它函数的不同点到底在哪里？

为什么要强调单位圆的作用？

在哪里？

为什么要强调单位圆的作用？

强调单位圆作用的根本理由强调单位圆作用的根本理由三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现。

动的本质表现。

匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题，三角学源自天文学。

重大问题，三角学源自天文学。

角是角是“转转”出来的：

平面有向线段绕起点出来的：

平面有向线段绕起点（原点）在此平面内旋转就得到一个角。

（原点）在此平面内旋转就得到一个角。

“旋转旋转”就有始边、终边之分，由转的大就有始边、终边之分，由转的大小和方向决定。

小和方向决定。

有向线段的长度对角的性质无影响，所以有向线段的长度对角的性质无影响，所以只讨论单位有向线段旋转所成的角。

把它只讨论单位有向线段旋转所成的角。

把它的起点置于（的起点置于（0，0），终点是（），终点是（x，y），），x2+y2=1。

于是，角就是单位圆上的点（。

于是，角就是单位圆上的点（x，y）在其圆周上旋转所成的，称为任意角。

）在其圆周上旋转所成的，称为任意角。

任意角不仅是可取任意值的角，还有其他任意角不仅是可取任意值的角，还有其他丰富内容，主要是有方向。

丰富内容，主要是有方向。

匀速旋转的研究内容匀速旋转的研究内容首先是角，首先是角，=t+0，0是角的初始位置。

是角的初始位置。

这不仅有数学意义，更重要的是有物理意这不仅有数学意义，更重要的是有物理意义。

义。

研究匀速旋转最重要的是研究（研究匀速旋转最重要的是研究（x，y）的变化，）的变化，即是研究即是研究x和和y作为作为的函数的函数这是为什么要这是为什么要采用采用“单位圆定义法单位圆定义法”的理由，的理由，“正弦函数和正弦函数和余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘”。

更重要的，在这一定义下，三角函数的性质都更重要的，在这一定义下，三角函数的性质都是定义的推论。

是定义的推论。

三角恒等变换可以进一步简化三角恒等变换可以进一步简化已没有太大已没有太大用处了，因为过去是为了制作三角函数表，应用处了，因为过去是为了制作三角函数表，应付天文学、测量学的需要，现在这种计算用微付天文学、测量学的需要，现在这种计算用微积分的方法可以轻易完成（有人认为是积分的方法可以轻易完成（有人认为是“培养培养能力能力”）。

）。

三角函数中需要加强的内容三角函数中需要加强的内容三角函数与振动和波动现象的关系越来越三角函数与振动和波动现象的关系越来越成为人们关注的焦点。

人类从自然界和社成为人们关注的焦点。

人类从自然界和社会生活中得到的关于振动和波动的信息越会生活中得到的关于振动和波动的信息越来越多，如三相交流电，某地日出时间在来越多，如三相交流电，某地日出时间在一年中的变化，各种乐器发出的声音，各一年中的变化，各种乐器发出的声音，各种各样的无线电波、雷达、电视，地震波，种各样的无线电波、雷达、电视，地震波，甚至物种种群大小的周期变化，都被归结甚至物种种群大小的周期变化，都被归结为为Asin（t+）（或（或Acos（t+））变换的变换的角度。

角度。

重要的是三角函数的图象与性质的教学，重要的是三角函数的图象与性质的教学，应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、单调性、周期性，解释诱导公式（简化公单调性、周期性，解释诱导公式（简化公式）的几何意义式）的几何意义诱导公式就是图像的诱导公式就是图像的平移、轴对称的解析表示平移、轴对称的解析表示变换的角度。

变换的角度。

由于平移由于平移后正弦曲线与余弦曲线完全重后正弦曲线与余弦曲线完全重合，所以正弦函数、余弦函数实际上是一合，所以正弦函数、余弦函数实际上是一回事，用物理的知识解释，就是它们仅在回事，用物理的知识解释，就是它们仅在位相上相差了位相上相差了变换的角度。

变换的角度。

“诱导公式诱导公式”的重要性在那里？

的重要性在那里？

诱导公式重要性在于它表现了三角函数的对称诱导公式重要性在于它表现了三角函数的对称性、变换中的不变性，几何意义是圆的对称性性、变换中的不变性，几何意义是圆的对称性（这是圆的最重要的性质）。

（这是圆的最重要的性质）。

所有变换所有变换（k=0，1，2）都都可以由可以由和和生成。

生成。

变换是整个数学的核心概念之一。

变换是整个数学的核心概念之一。

T1：

，则，则；（画；（画个图就可以明白它是正确的，证明可以用向量个图就可以明白它是正确的，证明可以用向量法：

经过法：

经过T1，ij，ji，所以向量，所以向量xi+yj变变为为xjyi=yi+xj。

）。

）T2：

，则，则。

上述结果用三角函数表示就是：

上述结果用三角函数表示就是：

由此可导出所有由此可导出所有“公式公式”，由变换导出的！

，由变换导出的！

“诱导公式诱导公式”是圆的对称性的表现。

是圆的对称性的表现。

必须抓住三角函数是刻画匀速圆周运动的必须抓住三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，这样才真正抓住了要领，才能数学模型，这样才真正抓住了要领，才能以简驭繁：

只要让学生真正懂得两个变换以简驭繁：

只要让学生真正懂得两个变换所表示的意义，再放手让他们逐步学着由所表示的意义，再放手让他们逐步学着由此推导出需用的公式，当然还要在理解的此推导出需用的公式，当然还要在理解的基础上记住。

基础上记住。

要坚决避免把三角函数的理论变成一大堆要坚决避免把三角函数的理论变成一大堆公式公式!

教诱导公式的三个要点：

教诱导公式的三个要点：

依据依据三角函数的定义；三角函数的定义；思想方法思想方法变换（旋转、对称）；变换（旋转、对称）；工具工具单位圆。

单位圆。

如何认识如何认识“和（差）角公式和（差）角公式”归根到底是圆对称性的解析表示：

归根到底是圆对称性的解析表示：

“诱导诱导公式公式”解决了旋转一直角的问题，这里要解决了旋转一直角的问题，这里要解决旋转任意角的解决旋转任意角的问题问题。

更上位地看更上位地看函数及其图象、函数的变换（映射）与坐函数及其图象、函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等标系的变换及其关系、对称性与不变性等等都是等都是18-19世纪以后的新思想，而且是当世纪以后的新思想，而且是当代的主流代的主流我们应该教给学生先进的东我们应该教给学生先进的东西。

西。

从联系的观点、发展的眼光看从联系的观点、发展的眼光看这样处理三角函数，可以充分利用单位圆，这样处理三角函数，可以充分利用单位圆，发挥向量的作用，并充分体现了变换的思发挥向量的作用，并充分体现了变换的思想、对称性思想、不变性思想，使三角函想、对称性思想、不变性思想，使三角函数简单、好懂、有用、好用。

数简单、好懂、有用、好用。

“向量就是复数，复数就是向量向量就是复数，复数就是向量”：

把把z=x+yi作为单位圆上点作为单位圆上点P（x，y）的复数坐标，的复数坐标，则则z=cos+isin。

令令z1=cos+isin，z2=cos+isin，就有，就有z1z2=（cos+isin）（cos+isin）=cos（+）+isin（+）。

结束语结束语改变习惯很难，但必须要改，否则跟不上改变习惯很难，但必须要改，否则跟不上发展的要求；发展的要求；更深刻地理解所教的内容是改变习惯的基更深刻地理解所教的内容是改变习惯的基础；础；“教什么教什么”是数学教学的首要问题；是数学教学的首要问题；在透彻了解内容本质的基础上，再用学生在透彻了解内容本质的基础上，再用学生能理解的方式呈现出来。

能理解的方式呈现出来。

敬请批评指正敬请批评指正谢谢谢谢