正余弦定理的综合运用.ppt
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正弦定理、余弦定理综合运用正弦定理、余弦定理综合运用知识目标：
知识目标：
1、三角形形状的判断依据；、三角形形状的判断依据；2、利用正弦、余弦定理进行边角、利用正弦、余弦定理进行边角互换。
互换。
能力目标：
能力目标：
1、进一步熟悉正、余弦定理；、进一步熟悉正、余弦定理；2、边角互化；、边角互化；3、判断三角形的形状；、判断三角形的形状；4、证明三角形中的三角恒等式。
、证明三角形中的三角恒等式。
教学重点：
教学重点：
利用正弦、余弦定理进行边利用正弦、余弦定理进行边角互换。
角互换。
教学难点：
教学难点：
1、利用正弦、余弦定理进行、利用正弦、余弦定理进行边角互换时的转化方向；边角互换时的转化方向；2、三角恒等式证明中结论与、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系。
条件之间的内在联系。
余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理：
正弦定理正弦定理正弦定理正弦定理：
复习：
复习：
（R是三角形外接圆半径是三角形外接圆半径）实实现现边边角角互互化化余余余余弦弦弦弦定定定定理理理理的的的的变变变变式式式式正正正正弦弦弦弦定定定定理理理理的的的的变变变变式式式式例例1如果如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（的三个内角的正弦值，则（）（A）A1B1C1和和A2B2C2都是锐角三角形都是锐角三角形（B）A1B1C1和和A2B2C2都是钝角三角形都是钝角三角形（C）A1B1C1是钝角三角形，是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形是锐角三角形（D）A1B1C1是锐角三角形，是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形是钝角三角形题型一题型一:
判断三角形形状判断三角形形状解：
解：
A1B1C1的三个内角的余弦值都大于的三个内角的余弦值都大于0，所以所以A1B1C1是锐角三角形，是锐角三角形，若若A2B2C2也是锐角三角形，则也是锐角三角形，则sinA2=cosA1=sin（A1），则则A2=A1，同理同理B2=B1，C2=C1，矛盾矛盾所以所以A2B2C2不是锐角三角形，不是锐角三角形，选选D。
则则A2+B2+C2=（A1+B1+C1）=，2p小结一：
小结一：
判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：
判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：
一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这也另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这也要求同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先要求同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先确定角的范围确定角的范围在在中，若中，若，则，则是是（）A等腰三角形等腰三角形B等腰直角三角形等腰直角三角形C直角三角形直角三角形D等边三角形等边三角形D练习一练习一题型二：
三角形中的化简求值题题型二：
三角形中的化简求值题例例2：
ABC中，已知中，已知a=2，求，求bcosCccosB的值。
的值。
解解:
（化（化角角为为边边）由由余弦定理余弦定理得：
得：
bcosCccosBcb解法二解法二:
（化（化边边为为角角）由由正弦定理正弦定理得：
得：
bcosCccosB例例2：
ABC中，已知中，已知a=2，求，求bcosCccosB的值。
的值。
射影定理：
射影定理：
a=bcosCccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA解法一：
解法一：
代入代入得：
得：
由由正弦定理正弦定理得：
得：
（化（化边边为为角角）例例3：
解法二：
解法二：
由由余弦定理得余弦定理得代入代入得：
得：
整理得整理得（化（化角角为为边边）例例3：
解：
由余弦定理知：
解：
由余弦定理知：
（化化边边为为角角）练习二练习二练习二练习二题型三题型三:
证明恒等式证明恒等式方法一方法一:
边化角边化角;方法二方法二:
角化边角化边;小结三：
由边向角转化后，要熟练运用三小结三：
由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。
子的化简问题。
练习练习：
在：
在ABC中，求证：
中，求证：
a2sin2B+b2sin2A=2absinC题型四题型四、面积问题面积问题变式变式4、已知、已知ABC的三边长的三边长求求ABC的面积变式变式3、已知、已知ABC的面积求求C角的大小？
角的大小？
变式变式1.ABC的面积为的面积为求求A变式变式2、在、在ABC中，中，求求ABC的面积及外接圆半径的面积及外接圆半径例例5、a,a+1,a+2构成钝角三角形，求构成钝角三角形，求a的取值范围。
的取值范围。
变式：
锐角三角形的三边长为变式：
锐角三角形的三边长为2,x,3，求求x的取值范围。
的取值范围。
练习：
练习：
三条线段长度为三条线段长度为2,x,6
（1）求构成直角三角形时，求构成直角三角形时，x的的取值范围取值范围
（2）求构成锐角三角形时，求构成锐角三角形时，x的取值范围的取值范围（3）求构成钝角三角形时，求构成钝角三角形时，x的取值范围的取值范围题型五题型五、范围问题范围问题1、（、（07年全国卷）年全国卷）方法一：
正弦定理方法一：
正弦定理
（1）方法二：
余弦定理方法二：
余弦定理
（2）方法一：
向量数量积定义方法一：
向量数量积定义方法二：
勾股定理方法二：
勾股定理（3）余弦定理余弦定理小结：
小结：
11、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型：
、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型：
（11）判断三角形的形状；判断三角形的形状；（22）三角形中的求值题。
三角形中的求值题。
2、两种题型、两种题型思路的共同点思路的共同点就是就是从从“统一统一”着眼着眼，或统一转化为三角函数或统一转化为三角函数，作三角变换；，作三角变换；或统一转化为边或统一转化为边，作代数变换。
，作代数变换。
3、解三角形中的求值题时还要、解三角形中的求值题时还要注意综合运用注意综合运用三角形的有关性质和三角公式进行变形。
三角形的有关性质和三角公式进行变形。
4、本节课渗透的主要数学思想：
本节课渗透的主要数学思想：
转换的思想转换的思想和和方程的思想方程的思想
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