数学就悖论正论大全.docx
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数学就悖论正论大全
数学就悖论正论大全,一路来证明1=2
今天上数学课各类好玩的东西。
于是就找到好多那个来分享一下。
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固然不是我写的。
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而且大部份的人仿佛只会去看第一个就不想看了。
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而且大部份一样人都明白a-b=0不能约的。
因此大伙儿能够跳过第一条来看。
仍是能够开动头脑想一想关于自我指涉例句之类的东西吧。
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这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很成心思，和大伙儿一路分享，来一场头脑风暴。
1=2？
史上最经典的“证明”
设a=b，那么a·b=a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b-b^2=a^2-b^2。
注意，那个等式的左侧能够提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·（a-b）=（a+b）（a-b）。
约掉（a-b）有b=a+b。
但是a=b，因此b=b+b，也即b=2b。
约掉b，得1=2。
这可能是有史以来最经典的谬证了。
TedChiang在他的短篇科幻小说DivisionbyZero中写到：
引用
Thereisawell-known“proof”thatdemonstratesthatoneequalstwo.Itbeginswithsomedefinitions:
“Leta=1;letb=1.”Itendswiththeconclusion“a=2a,”thatis,oneequalstwo.Hiddeninconspicuouslyinthemiddleisadivisionbyzero,andatthatpointtheproofhassteppedoffthebrink,makingallrulesnullandvoid.Permittingdivisionbyzeroallowsonetoprovenotonlythatoneandtwoareequal,butthatanytwonumbersatall—realorimaginary,rationalorirrational—areequal.
那个证明的问题所在想必大伙儿都已经很清楚了：
等号两边是不能同时除以a-b的，因为咱们假设了a=b，也确实是说a-b是等于0的。
无穷级数的力量
（1）
小学时，那个问题困扰了我好久：
下面那个式子等于多少？
1+（-1）+1+（-1）+1+（-1）+…
一方面：
1+（-1）+1+（-1）+1+（-1）+…
=[1+（-1）]+[1+（-1）]+[1+（-1）]+…
=0+0+0+…
=0
另一方面：
1+（-1）+1+（-1）+1+（-1）+…
=1+[（-1）+1]+[（-1）+1]+[（-1）+…
=1+0+0+0+…
=1
这岂不是说明0=1吗？
后来我又知道了，这个式子还可以等于1/2。
不妨设S=1+（-1）+1+（-1）+…，于是有S=1-S，解得S=1/2。
学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。
无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。
无穷级数的力量
（2）
一样的戏法能够变出更多难以想象的东西。
例如，令
x=1+2+4+8+16+…
则有：
2x=2+4+8+16+…
于是：
2x-x=x=（2+4+8+16+…）-（1+2+4+8+16+…）=-1
也就是说：
1+2+4+8+16+…=-1
平方根的阴谋
（1）
定理：
所有数都相等。
证明：
取任意两个数a和b，令t=a+b。
于是，
a+b=t
（a+b）（a-b）=t（a-b）
a^2-b^2=t·a-t·b
a^2-t·a=b^2-t·b
a^2-t·a+（t^2）/4=b^2-t·b+（t^2）/4
（a-t/2）^2=（b-t/2）^2
a-t/2=b-t/2
a=b
怎么回事儿？
问题出在倒数第二行。
永远记住，x^2=y^2并不能推出x=y，只能推出x=±y。
平方根的阴谋
（2）
1=√1=√（-1）（-1）=√-1·√-1=-1
嗯？
只有x、y都是正数时，√x·y=√x·√y才是成立的。
-1的平方根有两个，i和-i。
√（-1）（-1）展开后应该写作i·（-i），它正好等于1。
复数才是王道
考虑方程
x^2+x+1=0
移项有
x^2=-x-1
等式两边同时除以x，有
x=-1-1/x
把上式代入原式中，有
x^2+（-1-1/x）+1=0
即
x^2-1/x=0
即
x^3=1
也就是说x=1。
把x=1代回原式，得到1^2+1+1=0。
也就是说，3=0，嘿嘿！
其实，x=1并不是方程x^2+x+1=0的解。
在实数范围内，方程x^2+x+1=0是没有解的，但在复数范围内有两个解。
另一方面，x=1只是x^3=1的其中一个解。
x^3=1其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。
考虑方程x^3-1=（x-1）（x^2+x+1）=0，容易看出x^3=1的两个复数解正好就是x^2+x+1的两个解。
因此，x^2+x+1=0与x^3=1同时成立并无矛盾。
注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。
或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。
颇具喜剧色彩的错误
众所周知，
1+2+3+…+n=n（n+1）/2
让我们用n-1去替换n，可得
1+2+3+…+（n-1）=（n-1）n/2
等式两边同时加1，得：
1+2+3+…+n=（n-1）n/2+1
也就是
n（n+1）/2=（n-1）n/2+1
展开后有
n^2/2+n/2=n^2/2-n/2+1
可以看到n=1是这个方程的唯一解。
也就是说⋯⋯1+2+3+…+n=n（n+1）/2仅在n=1时才成立！
这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。
等式两边同时加1后，等式左边得到的应该是
1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+1
1块钱等于1分钱？
我要用数学的力量掏空你的钱包！
请看：
1元=100分=（10分）^2=元）^2=元=1分
用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：
单位也是要参与运算的。
事实上，“100分=（10分）^2”是不成立的，“10分”的平方应该是“100平方分”，正如“10米”的平方是“100平方米”一样。
数学归纳法的杯具
（1）
下面那个“证明”是由数学家GeorgePólya给出的：
任意给定n匹马，能够证明这n匹马的颜色都相同。
对n施归纳：
首先，当n=1时命题显然成立。
若命题对n=k成立，则考虑n=k+1的情形：
由于{#1,#2,…,#k}这k匹马的颜色相同，{#2,#3,…,#k+1}这k匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这k+1匹马的颜色也都相同了。
这个证明错在，从n=1推不出n=2，虽然当n更大的时候，这个归纳是正确的。
这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：
基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。
数学归纳法的杯具
（2）
下面，我来给大伙儿证明，所有正整数都相等。
为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数a、b，都有a=b。
为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数n，如果max（a,b）=n，那么a=b。
我们对n施归纳。
当n=1时，由于a、b都是正整数，因此a、b必须都等于1，所以说a=b。
若当n=k时命题也成立，现在假设max（a,b）=k+1。
则max（a-1,b-1）=k，由归纳假设知a-1=b-1，即a=b。
这个问题出在，a-1或者b-1有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。
所有三角形都是等腰三角形
别以为谬证都是隐藏在数字和字母当中的。
下面确实是一个经典的几何谬论。
画一个任意三角形ABC。
下面我将证明，AB=AC，从而说明所有三角形都是等腰三角形。
令BC的中垂线与∠A的角平分线交于点P。
过P作AB、AC的垂线，垂足别离是E、F。
由于AP是角平分线，因此P到两边的距离相等，即PE=PF。
于是，由AAS可知△APE≌△APF。
由于DP是中垂线，因此P到B、C的距离相等，由SSS可知△BPD≌△CPD。
另外，由于PE=PF，PB=PC，且∠BEP=∠CFP=90°，由HL可知△BEP≌△CFP。
此刻，由第一对全等三角形知AE=AF，由最后一对全等三角形知BE=CF，因此AE+BE=AF+CF，即AB=AC。
那个证明进程其实字字据理，并无马脚。
证明的问题出在一个你完全没成心识到的地址——那个图形确实是错的！
事实上，BC的中垂线与∠A的角平分线不可能交于三角形的内部。
咱们能够证明，P点老是落在△ABC的外接圆上。
如图，P是BC的中垂线与外接圆的交点，显然P确实是弧BC的中点，即弧BP=弧PC。
因此，∠BAP=∠CAP，换句话说P恰好就在∠A的角平分线上。
P在△ABC外的话，会对咱们的证明产生什么阻碍呢？
你会发觉，垂足的位置发生了本质上的转变——F跑到AC外面去了！
也确实是说，结论AE+BE=AF+CF并非错，只是AF+CF并非等于AC算了。
一个恐怖的逻辑错误
下面那个勾股定理的“证明”曾经发表在1896年的TheAmericanMathematicalMonthly杂志上：
假设勾股定理是正确的，于是咱们能够取得
AB^2=AC^2+BC^2
BC^2=CD^2+BD^2
AC^2=AD^2+CD^2
把后两式代入第一个式子，有
AB^2=AD^2+2·CD^2+BD^2
但CD^2=AD·BD，因此
AB^2=AD^2+2·AD·BD+BD^2
即
AB^2=（AD+BD）^2
即
AB=AD+BD
而这显然成立。
因此，我们的假设也是成立的。
这个证明是错误的。
假设结论正确，推出一个矛盾，确实能说明这个假设是错误的（这就是反证法）；但假设结论正确，推出它与条件吻合，这却并不能说明假设真的就是正确的。
错误的假设也有可能推出正确的结果来。
最经典的例子就是，不妨假设1=2，由等式的对称性可知2=1，等量加等量有1+2=2+1，即3=3。
但3=3是对的并不能表明1=2是对的。
如此反证
下面那个有趣的故事来源于LewisCarroll的一篇题为ALogicalParadox的小论文。
Joe去理发店理发。
理发店有A、B、C三位师傅，但他们并不总是待在理发店里。
Joe最喜欢C的手艺，他希望此时C在理发店里。
他远远地看见理发店还开着，说明里面至少有一位师傅。
另外，A是一个胆小鬼，没有B陪着的话A从不离开理发店。
Joe推出了这么一个结论：
C必然在理发店内。
让我们来看看他的推理过程。
反证，假设C不在理发店。
这样的话，如果A也不在理发店，那么B就必须在店里了，因为店里至少有一个人；然而，如果A不在理发店，B也理应不在理发店，因为没有B陪着的话A是不会离开理发店的。
因此，由“C不在理发店”同时推出了“若A不在则B一定在”和“若A不在则B也一定不在”两个矛盾的结论。
这说明，“C不在理发店”的假设是错误的。
从已有的条件看，C当然有可能不在理发店。
但是，为什么Joe竟然证出了C一定在理发店呢？
因为他的证明是错的。
其实，“若A不在则B一定在”和“若A不在则B也一定不在”并不矛盾——如果事实上A在理发店，那么这两个条件判断句都是真的。
“若A不在则B一定在”真正的否定形式应该是“A不在并且B也不在”。
自然语言的表达能力
我曾在《另类弄笑：
自我指涉例句不完全搜集》一文中写过：
引用
定理：
所有的数都能够用20个之内的汉字表达（比如00能够表达为“二十三的阶乘”，00000000000能够表达为“一后面二十三个零”）
证明：
反证，假设存在不能用20个以内的汉字表达的数，则必有一个最小的不能用20个以内的汉字表达的数，而这个数已经用“最小的不能用20个以内的汉字表达的数”表达出来了，矛盾。
当然，这个定理明显是错的，因为20个汉字的组合是有限的，而数是无限多的。
这个证明错在哪儿了呢？
我也没办法一针见血地道出个所以然来，大家一起来讨论吧。
有趣的是，我们有一个与之相关的（正确的）定理：
存在一个实数，它不能用有限个汉字来表达。
这是因为，有限长的汉字字符串是可数的，而实数是不可数的。
更有趣的是，这个定理的证明必然是非构造性的。
两边同时取导数
（1）
取一个正整数N。
那么有
N^2=N+N+N+…+N（N个N）
两边同时取导数，有
2N=1+1+1+…+1=N
两边同时除以N，得
2=1
数学威武！
这个推理是有问题的（废话）。
随着N的增加，等式右边的N的个数却没变，因此N^2的增长率比等式右边更大。
两边同时取导数
（2）
令x=1，两边同时取导数，1=0。
哈哈！
问题出在哪儿？
这里有意略去答案不写，呵呵。
链式法那么也犯错？
下面那个例子告知咱们，数学符号混淆不得，分清每一个数学符号的意义有多重要。
定义f（x,y）:
=（x+y）^2，然后令x=u-v，令y=u+v。
我们有：
∂f/∂x=∂f/∂y=2（x+y）
∂x/∂v=-1
∂y/∂v=+1
根据链式法则，有
∂f/∂v=（∂f/∂x）·（∂x/∂v）+（∂f/∂y）·（∂y/∂v）
=2（x+y）·（-1）+2（x+y）·
（1）
=0
但是，f（u,v）=（u+v）^2，因此∂f/∂v=2（u+v）=2y。
这岂不是说明y=0了么？
但是，条件里并没有什么地方规定y=0呀？
这怎么回事？
问题出在，整个推理过程把两个不同的函数都用f来表示了。
事实上，一个函数是f（x,y）:
=（x+y）^2，另一个函数是F（u,v）=f（u-v,u+v）=（2u）^2。
链式法则求的并不是∂f/∂v，而是∂F/∂v。
不定积分的困惑
咱们尝试用分部积分法求解∫（1/x）dx。
令u=1/x，dv=dx
du=-1/x^2dx，v=x
于是∫（1/x）dx=（1/x）x-∫x（-1/x^2）dx=1+∫（1/x）dx
怎么回事？
不怎么回事。
这个等式是成立的。
别忘了，不定积分的最后结果要加上一个常数C。
记得学高数时，求一积分，两哥们儿做出来的答案差别很大，而且试了很久也没能把其中一个答案变形成另外一个。
后来终于恍然大悟：
他们的答案是有可能不相同的，可以差一个常数嘛！
貌似漏掉了什么
很多Goldbach猜想、孪生素数猜想的“证明”都栽在了下面那个有时候很不容易注意到漏洞。
让我们来证明一个看上去有些不可思议的结论：
π^e是一个有理数。
首先注意到，对任意有理数r，logπr都是无理数，否则令s=logπr，我们就有π^s=r，这与π是超越数矛盾。
现在，假设π^e是无理数，也就是说对任意有理数r，π^e都不等于r。
这也就是说，对任意一个r，logππ^e都不等于logπr。
由前面的结论，logππ^e就不等于任意一个无理数。
但logππ^e是等于e的，这与e的无理性矛盾了。
因此，我们的假设是错的——π^e是一个有理数。
对于有理数r，logπr确实是无理数；但遍历所有的有理数r，并不能让logπr遍历所有的无理数，而e正好就等于某个漏掉的无理数。
不过，也不要想当然地认为，π^e当然是一个无理数。
目前为止，π^e是否有理还是一个谜。
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