教师招聘考试真题中学数学科目与答案.docx

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教师招聘考试真题中学数学科目与答案

教师招聘考试真题［中学数学科目］

（满分为120分）

第一部分数学教育理论与实践

一、简答题（10分）

教育改革已经紧锣密鼓，教学中应确立这样的思想“以促进学生的全面发展为本，以提

高全体学生的数学素质为纲”，作为教师要该如何去做呢？

谈谈高中数学新课程改革对教师

的要求。

二、论述题（10分）

如何提高课堂上情境创设、合作学习、自主探究的实效性？

第二部分数学专业基础知识

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．复数（1+i）（1-i）=（）

A．2B．-2C．2iD．-2i

2．

2

0

（3x2+k）dx=10,则k=（）

2+k）dx=10,则k=（）

A．1B．2C．3D．4

3．在二项式（x-1）

6的展开式中，含x3的项的系数是（）

A．-15B．15C．-20D．20

4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，

时速在［50,60）的汽车大约有（）

A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆

5．某市在一次降雨过程中,降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可近似

地表示为f（t）=

2

t

100

则在时刻t=10min的降雨强度为（）

A．

1

5

mm/minB．

1

4

mm/minC．

1

2

mm/minD．1mm/min

6．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f

（1）=2，则f（-3）等于

（）

A．2B．3C．6D．9

7．已知函数f（x）=2

x+3，f-1（x）是f（x）的反函数，若mn=16（m，n∈R+），则f-1（m）+f-1（n）

的值为（）

A．-2B．1C．4D．10

8．双曲线

22

xy

-

22

ab

=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）

A．6B．3C．2D．

3

3

9．如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别是a和b，AB与α，

β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影分别是m和n，若a>b，则（）

A．θ>φ，m>nB．θ>φ，m

C．θ<φ，mn

y≥1

10．已知实数x，y满足y≤2x-1如果目标函数z=x-y的最小

值为-1，则实数m等于（）

x+y≤m

A．7B．5C．4D．3

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上。

2

11．x+4y

2

=16的离心率等于,与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是

x+3y=0的双曲线方程是。

12．不等式|x+1|+|x-2|≥5的解集为。

y=sinθ+1

13．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是x=cosθ（θ

是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程

可写为。

14．已知函数f（x）=2

x,等差数列{ax}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4,

则log2［f（a1）·f（a2）·f（a3）·,·f（a10）］=。

15．已知：

如右图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，

CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝。

三、解答题（本大题共5小题，共45分。

）解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤。

16．（本小题满分8分）

在△ABC中,∠B=

4

AC=25,cosC=

25

5

。

（Ⅰ）求sinA;

（Ⅱ）记BC的中点为D,求中线AD的长。

17．（本小题满分8分）

在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题。

规定每位考生必须且只须在其中选做

一题。

设4名考生选做这两题的可能性均为

1

2

。

（Ⅰ）其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;

（Ⅱ）设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个,求的分布列及数学期望。

18．（本小题满分8分）

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD，

且PA=PD=

2

2

AD,若E、F分别为PC、BD的中点。

（Ⅰ）EF//平面PAD；

（Ⅱ）求证:

平面PDC⊥平面PAD；

（Ⅲ）求二面角B-PD-C的正切值。

19．（本小题满分9分）

已知函数fx=x

3+3ax-1,gx=f′x-ax-5，其中f′x是f（x）的导函数。

（Ⅰ）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有gx<0，求实数x的取值范围；

（Ⅱ）设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=fx的图像与直线y=3只有一

个公共点。

20．（本小题满分12分）

把由半椭圆

22

xy

+

22

ab

=1（x≥0）与半椭圆

22

xy

+

22

bc

=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中

a2=b2+c2，a>0，b>c>0。

如下图所示，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2

分别是“果圆”与x，y轴的交点。

（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）当|A1A2|>|B1B2|时，求

b

a

的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。

试研究：

是否存在实数k，

使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？

若存在，求出所有可能的k

值；若不存在，说明理由。

四、教学技能（10分）

21．结合教学实际，谈谈在具体数学教学中如何有效处理生成与预设的关系。

教师招聘考试模拟考卷［中学数学科目］

第一部分数学教育理论与实践

一、简答题

【答案要点】

（1）首先是从更新教育观念出发，建立由应试数学变为大众数学的新观点，

培养学生学数学、懂数学、用数学的意识，使之具有基本的数学素质。

（2）牢牢抓住课堂教学这个主阵地，从数学知识、数学意识、逻辑推理和信息交流四个

层面入手，向40分钟要效益，克服重理论，轻实践，重结果，轻过程的倾向，冲破“讲得

多”，“满堂灌”等束缚，更新教学方法，提高教学质量。

（3）数学教师素质的提高刻不容缓，教师必须有能力进行数学素质教育，这就需要教师

在观念层次、知识层次、方法层次等方面都能达到相应的高度，这样才能有效地开发学生的

数学潜能，达到提高数学素质的最终目的。

“大众数学的目标是人人学有用的数学，人人学好数学，人人学更多的数学”。

它要求

教学要重过程，重推理，重应用，以解决问题为出发点和归宿，它要求教学是发展的，动态

的，这有利于学生能力发展的要求。

教师要在新的教学观的指导下，充分发挥学生的主观能动性，让学生逐步学会求知和创

新，从而为学生获得终身学习的能力、创造的能力和长远发展的能力打好基础。

二、论述题

【答案要点】谈到课堂教学的实效性大家都不约而同地谈到一个问题——数学学习情境

的创设。

创设学习情境是为了更有效地引导学生学习数学、研究数学，是为学生的数学学习

服务的。

而不是为了创造情境而创造情境，创设情境一定是围绕着教学目标，紧贴教学内容，

遵循儿童的心理发展和认知规律。

在课堂实践中教师们用智慧为学生创设了多种有利于促进

学习的学习环境。

1．创设数学与生活紧密联系的学习环境

2．创设有思维价值的数学活动情境

3．创设源于数学知识本身的问题情境

4．创设思维认知冲突的问题情境

合作、自主探究学习首先要给学生独立思考、自主探究的空间。

一个人没有自己的独立

思考，没有自己的想法拿什么去与别人交流？

因此，独立思考是合作学习的重要基础。

其次，

合作学习要有明确的问题解决的目标，明确小组成员分工，组织好组内、组际之间的交流。

对学生的自主探索、合作交流，教师要加强指导。

除了培养学生合作的意识外，还要注意对

学生合作技能的训练和良好合作习惯的培养。

如倾听的习惯、质疑的能力，有条理汇报交流

的能力，合作探究的方法策略等。

对良好习惯的养成，合作探究技能的培养要持之以恒。

当

然，自主探究、合作学习都需要空间，教师要为学生的活动搭好台，留有比较充分的时间和

空间，以确保自主探究、合作学习的质量，使课堂教学的实效性得以落实。

第二部分数学专业基础知识

一、选择题

1．A【解析】（1+i）（1-i）=1-i

2=2

2．A【解析】原式=

32

x+|kx|=8+2k-0=10∴k=1

0

3．C【解析】略

4．C【解析】0．03×10×200=60

5．A【解析】

22

f（10）-f（9）1091

=-=

11001005

（mm/min）

6．C【解析】令x=y=0,f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0

令x=1,y=-1,f（-1）=f（0）=f

（1）+f（-1）-2=0∴f（-1）=0

f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）+2=2

f（-3）=f（-1）+f（-2）+4=6

7．A【解析】f-1（x）=log2x-3

f-1（m）+f-1（n）=log2m+log2n-6=log2（mn）-6=log216-6=4-6=-2

8．B【解析】|MF1|=2|MF2||MF2|=2a

b2=2a2

|MF1|-|MF2|=2a|MF2|=

2

b

a

∴

2222

ca+b3a

2

e====3e=3

222

aaa

22

m=AB-b

sin=bAB

sin>sin

9．D【解析】

22

n=AB-a

m>n

sin=aAB

a>ba>b>

10．B【解析】Zmin=x-y=

m+12m-1

-=-1

33

∴m=5

二、填空题

11．

22

3xy

-=1

293

【解析】

22

xy

+=1

164

∴a=4,b=2,c=23

∴e=

c233

==

a42

22

xy

设双曲线方程为

221

ab

2

c=12

∴

b3

=

a3

222

c=a+b

a2=9,b2=3∴

22

xy

-=1

93

12．x∈（-∞,-2）∪（3,+∞）

【解析】利用绝对值的几何意义。

13．ρ=2sinθ

【解析】略

14．-6

【解析】a2+a4+a6+a8+a10=5a6

∴f（5a6）=2

5a6

=4∴5a6=2

∴a6=

5

2

=a1+5d∴a1=

48

5

原式=

a+a++a

log21210=a1+a2+,+a10

1+a2+,+a10

2

=

10（a+a）

110

2

=5（a

1

+a1+9d）=-6

15．15

【解析】利用勾股定理和余弦定理。

三、解答题

16．【解析】（Ⅰ）由cosC=

25

5

C是三角形内角，得sinC=1－cos2C=

5

5

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

23225

=510

225

510

（Ⅱ）在△ACD中,由正弦定理，

BCACAC253

=,BC=sinA=10

×

sinAsinBsinB10

2

2

=6

AC=25,CD=

1

2

BC=3,cosC=

25

5

·

由余弦定理得:

AD=

AC

2CD2ACCDC

2··

cos·

25

=20922535

5

17．【解析】（Ⅰ）设事件A表示“甲选做14题”,事件B表示“乙选做14题”,则甲、

乙2名学生选做同一道题的事件为“AB+AB”,且事件A、B相互独立

∴P（AB+AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）,

=

1

2

×

1

2

+（1－

1

2

）×（1－

1

2

）=

1

2

（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4．且ξ～B（4,

1

2

）．

∴P（ξ=k）=

111

kk4kk4

C（）

（1）=C（）

44

222

（k=0,1,2,3,4）

所以变量ξ的分布列为

Ξ01234

P1

16

1

4

3

8

1

4

1

16

Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

3

8

+3×

1

4

+4×

1

16

=2或Eξ=np=4×

1

2

=2

18．【解析】解法一：

（Ⅰ）证明：

连结AC，在△CPA中EF//PA

且PA∈平面PAD

∴EF//平面PAD

（Ⅱ）证明：

因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD

所以，CD⊥平面PAD

∴CD⊥PA

又PA=PD=

2

2

AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

2

PA⊥PD

CD∩PD=D，且CD、PDPCD

PA⊥面PDC

又PAPAD面PAD⊥面PDC

（Ⅲ）解：

设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM⊥PD

由（Ⅱ）知EF⊥面PDC,EF⊥PD

PD⊥面EFMPD⊥MF

∠EMF是二面角B－PD－C的平面角

Rt△FEM中，EF=

1

2

PA=

2

4

aEM=

1

2

CD=

1

2

a

tan∠EMF=

2

a

EF=4=2

1

EMa2

2

故所求二面角的正切值为

2

2

解法二：

如图,取AD的中点O,连结OP,OF。

∵PA=PD,∴PO⊥AD。

∵侧面PAD⊥底面ABCD,

平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PO⊥平面ABCD,

而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB,又ABCD是正方形,故OF⊥AD．

∵PA=PD=

2

2

AD,∴PA⊥PD,OP=OA=

a

2

。

以O为原点,直线OA,OF,OP为x,y,z轴建立空间直线坐标系,则有

A（

a

2

0,0）,F（0,

a

2

0）,D（－

a

2

0,0）,P（0,0,

a

2

）,B（

a

2

a,0）,C（－

a

2

a,0）．

∵E为PC的中点,∴E（－

a

4

a

2

a

4

）．

（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为OF=（0,

a

2

0）而EF=（

a

4

0,－

a

4

）,

且OF·EF=（0,

a

2

0）·（

a

4

0,－

a

4

）=0,∴EF//平面PAD．

（Ⅱ）∵PA=（

a

2

0,－

a

2

）,CD=（0,a,0）∴PA·CD=（

a

2

0,－

a

2

）·（0,a,0）=0,

∴PACD,从而PA⊥CD,又PA⊥PD,PD∩CD=D,

∴PA⊥平面PDC,而PA平面PAD,∴平面PDC⊥平面PAD

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为PA=（

a

2

0,－a2）．

设平面PBD的法向量为n=（x,y,z）．∵DP=（

a

2

0,

a

2

）,BD=（－a,a,0）,

∴由n·DP0,n·BD0可得

a

2

·x+0·y+

a

2

·z=0,

－a·x+a·y+0·z=0,

令x=1,则y=1,z=－1,

故n=（1,1,－1）

∴cos=

nPAa6

·

==

|n||PA|23

·

a3

2

6

即二面角B－PD－C的余弦值为

3

2

二面角B－PD－C的正切值为

2

．

19．【解析】（Ⅰ）由题意gx=3x

2－ax+3a－5，令φx=3－xa+3x2－5，－1≤a≤1

对－1≤a≤1，恒有gx<0，即φa<0

∴φ1<03x2－x－2<0

φ－1<0即3x2+x－8<0

，解得－

2

3

故x∈（－

2

3

1）时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有gx<0

（Ⅱ）f′x=3x

2－3m2

①当m=0时，fx=x

3－1的图象与直线y=3只有一个公共点

②当m≠0时，列表：

x（－∞,|m|）－|m|（－|m|,|m|）|m|（|m|,+∞）

f′（x）+0－0+

F（x）↗极大↘极小↗

2|m|－1<－1∴f（x）极小=f|x|=－2m

又∵fx的值域是R，且在（|m|,+∞）上单调递增

∴当x>|m|时函数y=f（x）的图像与直线y=3只有一个公共点。

当x<|m|时，恒有f（x）≤f（－|m|）

2|m|－1=2|m|3－1<3，解得m∈（－32,0∪0,32）

由题意得f（－|m|）<3，即2m

综上，m的取值范围是（－

32,32）

20．【解析】

（1）∵F0（c，0），F1（0，－

22

b-c），F2（0，

22

b-c）

∴|F0F1|＝

222

（b-c）c=b=1，|F1F2|＝2

22

b-c=1

2=

于是c

3

4

2=b2+c2=

，a

7

4

，所求“果圆”方程为

4

7

x2+y2=1（x≥0），y2+

2+y2=1（x≥0），y2+

4

3

x2=1（x≤0）

2=1（x≤0）

（2）由题意，得a＋c＞2b，即

22

ab>2b－a

∵（2b）

2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得b<4

a5

又b2＞c2＝a2－b2，∴

2＞c2＝a2－b2，∴

2

b1

>

2

a2

∴

b

a

∈（

25

24

）

（3）设“果圆”的方程为

22

xy

+=1

22

ab

（x≥0）

22

yx

+=1（x≤0）

22

ba

设平行弦的斜率为k

当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆

22

xy

+=1

（x≥0）的交点是

22

ab

2

t

2

b

t），与半椭圆

22

xy

+=1

（x≤0）的交点是Q（－c

22

ab

1

2

t

2

b

p（a,t）．

1

∴P、Q的中点M（x，y）满足x=

2

2

act

1

2b

y=t

得

22

xy

+=1

2

ac

2

b

（）

2

．

∵a＜2b，∴

a-ca-c-2ba-c+2b

22

（）-b=0

·

222

．

综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆。

当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆

22

xy

+=1

22

ab

（x≥0）的交点是

（

2223

2kabkab-b

222222

ka+bka+b

）

由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线