平面向量基本定理.ppt

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2.3.1平面向量的基本定理平面向量的基本定理2.3.2平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算shalom温故知新温故知新向量的加法向量的加法（三角形法则三角形法则）aba+baba+b向量的加法向量的加法（平行四边形法则平行四边形法则）向量的减法向量的减法（三角形法则）三角形法则）aba-b向量的数乘运算向量的数乘运算

（1）|

（1）|aa|=|=|aa|

（2）

（2）当当当当00时时时时,aa的方向与的方向与的方向与的方向与aa方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；当当当当00时时时时,aa的方向与的方向与的方向与的方向与aa方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当=0=0或或或或a=0a=0时时时时,a=0a=0对实数对实数对实数对实数和向量和向量和向量和向量aa设设a,b为任意向量，为任意向量，,为任意为任意实数实数，则有：

，则有：

（a）=（）a（+）a=a+a（a+b）=a+b特别地特别地:

向量向量a（a0）与与b共线，共线，当且仅当当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数，使，使b=a问题问题:

一天一天,2,2只住在正西方向的大猴子和只住在正西方向的大猴子和44只住在北只住在北偏东偏东3030方向的小猴子同时发现一筐桃子方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分他们分别朝着自己住的方向拉别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100100牛顿牛顿,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是5050牛顿牛顿,问这筐桃子问这筐桃子往哪边运动往哪边运动?

问题问题:

一天一天,2,2只住在正西方向的大猴子和只住在正西方向的大猴子和44只住在北只住在北偏东偏东3030方向的小猴子同时发现一筐桃子方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分他们分别朝着自己住的方向拉别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100100牛顿牛顿,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是5050牛顿牛顿,问这筐桃子问这筐桃子往哪边运动往哪边运动?

如果是如果是11只大猴子和只大猴子和44只小猴子呢只小猴子呢?

NMe1e2a如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改如何改变大小猴子的数量变大小猴子的数量?

aCe1e2oBAOC=OM+ON=xe1+ye2给定平面内任意两个不共线向量给定平面内任意两个不共线向量e1、e2，其他任其他任一向量是否都可以表示为一向量是否都可以表示为xe1+ye2的形式？

的形式？

NMaCe1e2oBAOC=OM+ON=xe1+ye2e1e2a如果如果，是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线的的向量向量,那么对于这一平面内的那么对于这一平面内的任一向量任一向量,有且只有有且只有一对实数一对实数、使使其中不共线的向量其中不共线的向量,叫做表示这一平叫做表示这一平面内的所有向量的一组面内的所有向量的一组基底基底。

平面向量的基本定理平面向量的基本定理oCaNMFE思考思考:

平面内平面内,向量的基底是否唯一？

向量的基底是否唯一？

例例11已知向量ee11,e,e22,求作向量-2.5ee11+3ee22.于是OC就是所求作的向量.

（2）作OACB.e1e2OC作法：

（1）任取一点o,作OA=-2.5ee11,OB=3ee22-2.5e1AB3e2e1e2aNMe1e2oaCOC=OM+ON=xe1+ye2平行四边形做法唯一，所以实数对平行四边形做法唯一，所以实数对x,yx,y存在唯一存在唯一对定理的理解:

1）基底基底:

不共线不共线的向量的向量e1e2。

同一平面可以有不同基底同一平面可以有不同基底2）平面内的平面内的任一向量任一向量都可以沿两个不共线的都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式；方向分解成两个向量的和的形式；3）分解是分解是唯一唯一的的思考思考:

一天一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北只住在正西方向的大猴子和住在北偏东偏东30方向的小猴子同时发现一筐桃子方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分他们分别朝着自己住的方向拉别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100牛顿牛顿,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是50牛顿牛顿,问这筐桃子问这筐桃子往正北运动往正北运动,要几只小猴子要几只小猴子?

30？

30向量的夹角向量的夹角已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b如图，如图，则则AOB=（0180）叫做向量的夹角叫做向量的夹角当当=0时，时，a与与b同向同向当当=180时，时，a与与b反向反向a与与b的夹角是的夹角是90，则，则a与与b垂直，记作垂直，记作aboBAab共起点共起点ABC思考思考:

正正ABC中中,向量向量AB与与BC的夹角为几度的夹角为几度?

D把一个向量分解为两个互相垂直的向把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量量，叫作把向量正交分解正交分解2.3.2平面向量的正交分解平面向量的正交分解a=xi+yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得，使得分别与分别与x轴轴、y轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i、j能否作能否作为基底？

为基底？

Oxyij任一向量任一向量a，用这组基底可表示为，用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=（x,y）那么那么i=（，）j=（，）0=（，）1001002.3.2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示OxyijaA（x,y）a1以原点以原点O为起点作为起点作，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?

由由a唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a的坐标的关系？

的坐标的关系？

两者相同两者相同向量向量a坐标（坐标（x，y）一一一一对对应应概念理解概念理解3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？

两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？

2.3.2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示解：

由图可知解：

由图可知同理，同理，例例2如图，用基底如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d，并并求它们的坐标求它们的坐标AA2A1课堂小结：

课堂小结：

1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理（书本（书本94页）页）如果如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这那么对于这一平面内的任一向量一平面内的任一向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数、使使a=e1+e22.向量的夹角：

向量的夹角：

共起点的两个向量形成的角共起点的两个向量形成的角4.向量的坐标表示向量的坐标表示3.基本定理的应用基本定理的应用e1+e2=xe1+ye2把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解正交分解。

分别与分别与x轴轴、y轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i、j作为基底，任一向作为基底，任一向量量a，用这组基底可表示为，用这组基底可表示为a=xi+yj，（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标的坐标2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知已知a，b，求，求a+b，a-b解：

解：

a+b=（i+j）+（i+j）=（+）i+（+）j即即a+b同理可得同理可得a-b两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）坐标的和（差）2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例例3已知已知求求xyO解：

解：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标应坐标2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例例4已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），），求求a+b，a-b，3a+4b的坐标的坐标解：

解：

a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例例5已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为（2，1）、（）、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标解法解法1：

设顶点：

设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y）ABCDxyO补充补充1已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为（2，1）、（）、（1，3）、（）、（-3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标作业布置作业布置作业本课后练习习题能写则写