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三角形培优练习题
1已知：
AB=4,AC=2,D是BC中点，AD是整数，求AD
2已知：
BC=DE，/B=/E,/C=/D,F是CD中点，求证:
A
3已知：
/1=/2,CD=DE,EF//AB，求证：
EF=AC
4已知：
AD平分/BAC,AC=AB+BD，求证：
/B=2/C
5已知：
AC平分/BAD,CE丄AB，/B+/D=180°，求证：
AE=AD+BE
6如图，四边形ABCD中，AB//DC,BE、CE分别平分/ABC、/BCD,且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
7已知：
AB=CD，/A=/D，求证：
/B=/C
8.P是/BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：
PC-PB9已知，E是AB中点，AF=BD,BD=5,AC=7，求DC
10.如图，已知AD//BC,ZPAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：
AD+BC=AB.
11如图，△ABC中，AD是/CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：
/C=2/B
12如图：
AEBC交于点MF点在AMk,BE//CF,BE=CF
求证：
人皿是厶ABC的中线。
E
13已知：
如图，AB=AC,BDAC,CEAB，垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F。
求证：
BE=CD.
C
14在厶ABC中，ACB90,ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D,
BEMN于E•⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①ADC也CEB:
②DEADBE;
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立,
请给出证明；若不成立，说明理由
15如图所示，已知AE!
AB,AF丄AC,AE=ABAF=AC求证：
（1）EC=BF
（2）EC丄BF
BC
16.如图，已知AC//BD,EA、EB分别平分/CAB和/DBA,CD过点E,贝UAB与AC+BD相等吗？
请说明理由
17.如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：
/ADC=ZBDE.
图9
全等三角形证明经典（答案）
1.延长AD至UE,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE即:
10-2<2AD<10+24又AD是整数,则AD=5
2证明：
连接BF和EF。
因为BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。
所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。
所以BF=EF,/CBF=/DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
所以/EBF=/BEF。
又因为/ABC=/AED。
所以/ABE=/AEB。
所以AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中，
AB=AE,BF=EF,
/ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=/AEF。
所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以/BAF=/EAF（/1=/2）。
3证明：
过E点，作EG//AC，交AD延长线于G
则/DEG=/DCA，/DGE=/2
又•••CD=DE
•••/ADC6GDE（AAS）
•••EG=AC
•/EF//AB
•••/DFE=/1
•••/1=/2
•••/DFE=/DGE
•EF=EG
•EF=AC
4证明：
在AC上截取AE=AB，连接ED
•/AD平分/BAC
•••/EAD=/BAD
又•••AE=AB,AD=AD
•••/AED6ABD（SAS）
•••/AED=/B,DE=DB
•/AC=AB+BD
AC=AE+CE
•CE=DE
•••/C=ZEDC
•••/AED=/C+/EDC=2/C
•••/B=2/C
5证明：
在AE上取F,使EF=EB，连接CF
因为CE丄AB
所以/CEB=ZCEF=90°
因为EB=EF,CE=CE,
所以△CEB◎△CEF
所以/B=ZCFE
因为/B+ZD=180°,/CFE+ZCFA=180°
所以/D=ZCFA
因为AC平分ZBAD
所以ZDAC=ZFAC
又因为AC=AC
所以△ADC也厶AFC（SAS）
所以AD=AF
所以AE=AF+FE=AD+BE
6证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
ZABE=ZFBE,BE=BE,贝U"ABE也△FBE（SAS）,ZEFB=ZA;
AB平行于CD,则：
ZA+ZD=180°;
又ZEFB+ZEFC=180,则ZEFC=ZD;
又ZFCE=ZDCE,CE=CE,故"FCEADCE（AAS）,FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
7证明：
设线段AB,CD所在的直线交于E,（当ADAD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。
则：
△AED是等腰三角形。
所以：
AE=DE
而AB=CD
所以：
BE=CE（等量加等量,或等量减等量）
所以：
△BEC是等腰三角形
所以：
角B=角C.
8作B关于AD的对称点B；因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）
因为PC9作AG//BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5
AGFsCDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
10证明：
做BE的延长线，与AP相交于F点，
•/PA//BC
•••/PAB+/CBA=180；
又•••；AE；BE均为/PAB和/CBA的角平分线
•••/EAB+/EBA=90AEB=90；EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE丄BF，且AE为/FAB的角平分线•三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，
/EBC=/DFE,且BE=EF，/DEF=/CEB；
•三角形DEF与三角形BEC为全等三角形；•DF=BC
•AB=AF=AD+DF=AD+BC
11证明：
在AB上找点E；使AE=AC
•/AE=AC，/EAD=/CAD；AD=AD
•△ADE◎△ADC。
DE=CD，/AED=/C
•/AB=AC+CD；•DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
/B=/EDB
/C=/B+/EDB=2/B
12证明：
•/BE||CF
•••/E=/CFM，/EBM=/FCM
•/BE=CF
•△BEM◎△CFM
•BM=CM
•AM是厶ABC的中线.
13证明：
因为AB=AC，
所以/EBC=/DCB
因为BD丄AC,CE丄AB
所以/BEC=/CDB
BC=CB（公共边）
则有三角形EBC全等于三角形DCB
所以BE=CD
14
（1）证明：
•••/ACB=90,
•••/ACD+/BCE=90,
而AD丄MN于D,BE丄MN于E,
•••/ADC=/CEB=90，/BCE+/CBE=90,
•••/ACD=/CBE.
在Rt△ADC和Rt△CEB中，｛/ADC=/CEB/ACD=/CBEAC=CB,
•Rt△ADC也Rt△CEB（AAS）,
•AD=CE，DC=BE，
•DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：
在△ADC和厶CEB中，｛/ADC=/CEB=90/ACD=/CBEAC=CB,
•△ADC◎△CEB（AAS）,
•AD=CE，DC=BE，
•DE=CE-CD=AD-BE；
15
（1）证明;因为AE垂直AB
所以角EAB=角EAC+角CAB=90度
因为AF垂直AC
所以角CAF=角CAB+角BAF=90度
所以角EAC=角BAF
因为AE=ABAF=AC
所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F
（2）延长FB与EC的延长线交于点G
因为角ECA=角F（已证）
所以角G=角CAF
因为角CAF=90度
所以EC垂直BF
16在AB上取点N,使得AN=AC
/CAE=/EAN,AE为公共边，所以三角形CAE全等三角形EAN
所以/ANE=/ACE
又AC平行BD
所以/ACE+/BDE=180
而/ANE+/ENB=180
所以/ENB=/BDE
/NBE=/EBN
BE为公共边，
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
17证明：
作CG平分/ACB交AD于G
•••/ACB=90
•••/ACG=/DCG=45
•••/ACB=90AC=BC
•••/B=/BAC=45
•••/B=/DCG=/ACG
•/CF丄AD
•••/ACF+/DCF=90
•••/ACF+/CAF=90
•••/CAF=/DCF
•/AC=CB/ACG=/B
•△ACG◎△CBE
•CG=BE
•••/DCG=/BCD=BD
•△CDG也厶BDE
•••/ADC=/BDE
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