一三节点三角形单元docx.docx
《一三节点三角形单元docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一三节点三角形单元docx.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
一三节点三角形单元docx
有限元课程总结
一三节点三角形单元
1位移函数
移函数写成矩阵形式为：
确定六个待定系数
56>=b.
「2A'7
ui
匕・
宀=[N]{5丫
V7
a4
v玉＞
矩阵形式如下：
J“=TV,0Nj0NmbJ_0TV,0Nj0
2单元刚度矩阵的计算
1）单元应变和节点位移的关系
由几何方程可以得到单元的应变表达式,
2）单元应力与单元节点位移的关系
[sMdIb.]=
E
2A（1-Z/2）
Mi
Ci
%
2z
Et
4（1—“2）A
地C$+
[KJ=[Br]T[D][Bs]
brbs+—crcsts2*s
“也+与仏
（T=i,jjn;s=i,jjn）
3）
[DfBi
%
[K加
[K如
6
单元刚度矩阵
卩心][K“]
[K]J[K}i][K〃]
[心][Kmj]
3载荷移置
1）集中力的移置
如图3所示,
图3
由虚功相等可得，
（㈤丁附=（qYJW｛p｝
由于虚位移是任意的，则皿｝"=["卩｛鬥
2）体力的移置
令单元所受的均匀分布体力为｛〃｝=
由虚功相等可得，
（{J*r）r{7?
r=^}>f[N]r{p}tdxdy
{R}e=\\[N]r{p}tdxdy
3）分布面力的移置
设在单元的边上分布有面力{可二[片了r,同样可以得到结点载荷,
{R}e=\[N]T{P}tds
4.引入约束条件，修改刚度方程并求解
1）乘大数法处理边界条件
图3・4所示的结构的约束和载荷情况，如图3・7所示。
结点1、4上有水平方向的位移约束，结点4、6上有垂直方向的约束，结点3上作用有集中力（'，匕）。
整体刚度矩阵[K]求出后，结构上的结点力可以表示为:
{F}=[K]{5}
根据力的平衡，结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。
用{»}表示结
点载荷和支杆反力，则可以得到结点的平衡方程：
[K]0}={P}（3.4）
这样构成的结点平衡方程组，在右边向量{P}中存在未知量，因此在求解平衡方程之前，要根据结点的位移约束情况修改方程（3-4）o先考虑结点n有水平方向位移约朿，与n结点水平方向对应的平衡方程为：
+^2w-1.2Vl+…+©几_[.2幵-1冷+笛”_1.2必+••co
根据支承情况，方程（3-5）应该换成下面的方程:
^=°（3-6）
对比公式（3-5）和（3-6）,在式（3-4）中应该做如下修正：
在［K］矩阵中，第2n・l行的对角线元素©s改为1,该行中全部非对角线元素改为0；在｛P｝中，第2n・l个元素改为0。
为了保持［K］矩阵的对称性，将第2ml列的全部非对角元素也改为0。
同理，如果结点n在垂肓方向有位移约束，则（3-4）中的第2n个方程修改为，
=0
在［K］矩阵中，第2n行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为
10000
****
***
**
*
*00
*00
*00
10000
1000
***
0Er
0T
0
0
对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式,
如果结点n处存在一个已知非零的水平方向位移知，这时的约束条件为,
（3-7）
在［K］矩阵中，第2n・l行的对角线元素並12灯乘上一个大数A,向量{P}中的对应换成人笛“一…—心，其余的系数保持不变。
方程改为，
^2n-\,\U\+^2n-\,2V\+••・+^^2tt-\,2n-\Un+^2n-\.2nVn+•••匕^^2n-\,2n-\（3・8）
A的取值要足够大，例如取1010c只有这样，方程（3-8）才能与方程（3-7）等价。
二四面体单元
如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i,j,m,no每个结点的位移具有三个分量u,v,wo这样单元结点的位移列阵可表示成：
m
1T
单元的位移模式采用线性多项式
u=ccx+cc^x+oc3y+
q=冬+ochx+cr7y+^z8n
VP=6Z9+0（）乂+C]1y+
式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。
将四个结点的坐标（xi,yi,zi）>（xj,yj,zj）、（xm,ym,zm）>（xn,yn,zn）和结点位移（ui,vi,wi）>（uj,vj,wj）>（um,vm,wm）>（un,vn,wn）代入
（2）式可得12个联立方程，解方程组便可求出。
将这十二个系数回代到
（2）式，则得到由结点位移和形函数表示的
单元内任一点的位移表达式:
二NJNjlNmINnl]{3}e=[N]{疔
式中，［I］为三阶单位阵，［N］为形函数矩阵。
上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系。
1单元应变和应力
知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单元内该点的应变。
其中
单元的应力列阵：
{b}=［»］{£}=辺旬伪=［s］伪=区—SjSm-s十疗
式中：
［S］为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：
「6
A£?
A&
6
A】
[sz]_[Q]0]—
6A3
V
46
A》®
6
O
（i,j,m,n）
O
A^di
AqC,
O
其中
4—
1—"-
1
—2JLl
A=
左（1—Q）
—2（1—“）
~36（1-+-
"）（1一2"）
2单刚矩阵
对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵
其中:
[K]e为单元刚度矩阵
山厂=JTfwr[Z）][B\cbcclyclz{d>}]6{d>}
写成分块形式为
g=川可[D^B^cbcdydz=[jB]t[Z?
][jB]V
—kin
rin
仏+&（g+d/J
+A2brcs
A\db+A2ht.ds
+&c/$crcs+AAdrds+brbs）\drcs+\crds
AM+\drds
+\drcs£d$+企如+g）
式屮子矩阵[Krs]*下式计算
可以看出，单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的,是一个常数矩阵。
如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点，再经过类似于平而问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程
{穴}=[尺]{£}
三平面四节点四边形单元
矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高位的模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。
矩形单元1234如图3・1所示，其边长分别为2a和2b,两边分别平行于x,y轴。
若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。
阴（5）
"2（6）
V2（^2）
"4（〃4）
2b
AV4（V4）
图3-1
矩形单元1234
在局部坐标系中，节点i的坐标是（i,i）,其值分别为±1。
取位移
模式
U=+6Z3?
7+心4百77
v=a5+cz7+a疋r/
由几何方程可以求得单元的应变
[S,
E
Aab{l—/LC）
碍（1+77。
）
M彳（1+%）
二^々77,（1+©）
4久（1+氐）W（l+£o）严碍（1+%）
对于平血应力问题
k\1
k\2
k\4
若将单元刚度矩阵写成分块形式
则其中的子矩阵可按下式进行计算
[ku]=JI[Q]'[Q][6]山5
E/1・2
如果单元厚度t是常量，则
同样，对于平面应变问题，只要将上式屮的E
1-即可。
四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为
[可附十｝
四8节点六面体单元分析
一、形函数与坐标变换
1）形函数
Z,=—（1T-厂匚厂）•（1-4-0三0）•（1T-疋”疋）
2）坐标变换
3）位移插值函数与几何矩阵
三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量
殆[v]・W〕
di
N\
0
0
0
0
N\
0…他00…0他n2…0
di
di
dx
6N\
0
0
ON2
0
0
0
0
dx
dx
dx
0
8NX
0
0
dN2
0
0
dN.
0
1
6
Sy
0
0
6N\
0
0
dN2
0
0
沁
dz
dz
dz
6N\
6N\
0
dN2
dN2
0
6N塔
0
労
dx
dx
dx
dx
0
6N\
6N\
0
dN2
8N2
0
沁
dz
Sy
dz
Qy
dz
6N\
0
6N\
dN2
0
dN2
■■■■■■■
0
8z
dx
dz
dx
dz
8x
[dNt]
<、
dr
dx
>—D]・v
ds
_ly」v
f
dNt
dNt
dt
Jy
.dz丿
写成矩阵形式有:
单元刚度矩阵可以表示为:
[Ke]=JJJ[Bf[D][B]・dv=JJJ[BY[D][B]・dxdydz
veve
进一步写成数值积分形式为：
k]二£££恢苗训[功・恢护屛）]・卩（的,讣/1側上IJ=1曰
单元体力载荷向量可以表示为
底H川町•{/；}"=jjj[N]■{Fh}-\j\drdsdt
五其他常用单元位移函数和自由度
单元名称及
适用情况
杆单元
桁架
单元图形
位移模式
平面梁单元
平面刚架
（荟^点）起始瑤
u=ax+a2x
v=a3+a4x+a5x2+a6x3
u=ax+a2x+a3yv=a4+a5x+ahy
平面四边形单
元
平面应力或应
变
平面三角形单
元
平面应力或应
变
u=ax+a2^+a3ri+a^rj
2°5+必+如77+。
向
矩形板单元薄板弯曲问题
三角形板单元薄板弯曲问题
w=+a2x+a3y
2
+a4x+a5xy
+a6y2+如兀'
22+asxy+a9xy
+aiOy3+anx3y+a]2xy3
w=a}L}+a2L2+«3L3+a4£2+a5厶3厶+a6L|L2
+©（厶2厶;一厶厶;）
+aK（LyL\-厶厶;）
+a（）（L|L~2—L2L\）
u=a】+a2e+a^ri+a4^
v=a5+ab£+tz77+
w=ag+a]o£+4]〃+Q]2：
u=a}+a2c+57++
5科+唧：
+6©+a亦
v=a9++q[〃+mg
+5印+5皿+gQ+仏釦：
w=al7+als£+alg^+a2OC
+a?
何+a22i^+幺+5品
有限元中，梁单元的节点有6个自由度，壳单元节点有5个自由度，而体单元节点有3个自由度。
升级会员 