一三节点三角形单元docx.docx

1、一三节点三角形单元docx有限元课程总结一三节点三角形单元1位移函数移函数写成矩阵形式为：确定六个待定系数5 6 = b . 2A 7ui匕宀=N5丫V7a4v玉矩阵形式如下：J“= TV, 0 Nj 0 Nm bJ _ 0 TV, 0 Nj 02单元刚度矩阵的计算1）单元应变和节点位移的关系由几何方程可以得到单元的应变表达式,2）单元应力与单元节点位移的关系sMdIb. =E2A(1-Z/2)MiCi%2 zEt4(1 “2)A地C$ +KJ = BrTDBsbrbs + crcs t s 2 * s“也+与仏(T = i,jjn;s = i,jjn)3)DfBi%K加K如6单元刚度矩阵卩心

2、K“KJ Ki K心Kmj3载荷移置1）集中力的移置如图3所示,图3由虚功相等可得，（丁附=（qYJWp由于虚位移是任意的，则皿=卩鬥2）体力的移置令单元所受的均匀分布体力为=由虚功相等可得，（J*r）r7?r =fNrptdxdyRe =Nrptdxdy3）分布面力的移置设在单元的边上分布有面力可二片了r,同样可以得到结点载荷,Re=NTPtds4.引入约束条件，修改刚度方程并求解1）乘大数法处理边界条件图34所示的结构的约束和载荷情况，如图37所示。结点1、4上有水平 方向的位移约束，结点4、6上有垂直方向的约束，结点3上作用有集中力（，匕）。整体刚度矩阵K求出后，结构上的结点力可以表示为

3、:F = K5根据力的平衡，结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。用表示结点载荷和支杆反力，则可以得到结点的平衡方程：K0=P （3.4）这样构成的结点平衡方程组，在右边向量P中存在未知量，因此在求解平 衡方程之前，要根据结点的位移约束情况修改方程（3-4）o先考虑结点n有水平 方向位移约朿，与n结点水平方向对应的平衡方程为：+ 2w-1.2Vl + + 几_.2幵-1冷+笛”_1.2必+ co根据支承情况，方程(3-5)应该换成下面的方程:= (3-6)对比公式(3-5)和(3-6),在式(3-4)中应该做如下修正：在K矩阵中，第2nl行的对角线元素s 改为1,该行中全部非对角 线元素改为

4、0；在P中，第2nl个元素改为0。为了保持K矩阵的对称性，将 第2ml列的全部非对角元素也改为0。同理，如果结点n在垂肓方向有位移约束，则(3-4)中的第2n个方程修改 为，=0在K矩阵中，第2n行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为10 0 0 0* * * * * * *00*00*001 0 0 0 010 0 0* * *0 Er0 T00对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式,如果结点n处存在一个已知非零的水平方向位移知，这时的约束条件为,(3-7)在K矩阵中，第2nl行的对角线元素並12灯乘上一个大数A,向量P 中的对应换成人笛“一心，其余的系数保持不变。

5、方程改为，2n-,U + 2n-,2V + + 2tt-,2n-Un + 2n-.2nVn +匕 2n-,2n- ( 38 )A的取值要足够大，例如取1010c只有这样，方程(3-8)才能与方程(3-7) 等价。二四面体单元如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i,j,m,no每个结点的位移具有三 个分量u, v,wo这样单元结点的位移列阵可表示成：m1T单元的位移模式采用线性多项式u = ccx + ccx + oc3y +q =冬 + ochx + cr7 y + z8 nVP = 6Z9 + 0()乂 + C 1 y +式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标(x

6、i, yi, zi) (xj,yj,zj)、(xm, ym, zm) (xn, yn, zn)和结点位移(ui, vi, wi) (uj, vj, wj) (um, vm, wm) (un, vn, wn)代入(2)式可得12个联立方程，解方程组 便可求出。将这十二个系数回代到(2)式，则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式:二 NJ Njl NmI Nnl3e = N疔式中，I为三阶单位阵，N为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任意 点位移之间的关系。1单元应变和应力知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单元内该点的应变。其中单元的应力列阵：b =辺旬伪=s伪=区S

7、j Sm - s 十疗式中：S为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：6A ?A&6A】sz_ Q0 6A3V4 6A6O(i,j, m, n)OAdiAqC,O其中4 1 -12 JLlA =左(1 Q)2(1 “) 36(1 -+-)(1 一 2)2单刚矩阵对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚 矩阵其中:Ke为单元刚度矩阵山厂=JTfwr Z) Bcbcclyclz d 6 d写成分块形式为g =川可 DBcbcdydz =jBtZ?jBVkinrin仏+&(g+d/J+ A2brcsAdb + A2ht.ds+ &c/$ crcs + AAdrds+brb

8、s) drcs + crdsAM + drds+ drcs d$ +企如+g)式屮子矩阵Krs*下式计算可以看出，单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的, 是一个常数矩阵。如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点，再经过类似 于平而问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程穴=尺三平面四节点四边形单元矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高位的 模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。矩形单元1234如图31所示，其边长分别为2a和2b,两边分别平行于x, y 轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单

9、元共有8个自由度。阴(5)2 (6)V2 (2)4（4）2bA V4(V4)图3-1矩形单元1234在局部坐标系中，节点i的坐标是（i , i）,其值分别为1。取位移模式U = + 6Z3?7 + 心4百77v = a 5 + cz7 + a 疋 r/由几何方程可以求得单元的应变S,EAabl /LC )碍(1+ 77。)M 彳(1+ %)二77,(1 + )4久(1 +氐) W(l + o) 严碍(1 + %)对于平血应力问题k 1k2k4若将单元刚度矩阵写成分块形式则其中的子矩阵可按下式进行计算ku = JIQ Q6山5E/ 1 2如果单元厚度t是常量，则同样，对于平面应变问题，只要将上式

10、屮的E1- 即可。四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为可附十四8节点六面体单元分析一、形函数与坐标变换1）形函数Z, = （1 T-厂匚厂） （1 -4- 0三0） （1 T-疋”疋）2）坐标变换3）位移插值函数与几何矩阵三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量殆vWdiN0000N0他 0 00他 n20dididx6N00ON 20000dxdxdx08NX00dN20 0dN.016Sy006N00dN2 00沁dzdzdz6N6N0dN2dN206N塔0労dxdxdxdx06N6N0dN28N2 0沁dzSydzQydz6N06NdN20dN2 08zdxdzdxdz8xdNt D

11、vds_ lyvfdNtdNtdtJ y.dz丿写成矩阵形式有:单元刚度矩阵可以表示为:Ke= JJJBf D Bdv = JJJBYD Bdxdydzve ve进一步写成数值积分形式为：k二恢苗训功恢护屛）卩（的,讣/1側 上I J=1曰单元体力载荷向量可以表示为底 H川町/； = jjj N Fh-jdrdsdt五 其他常用单元位移函数和自由度单元名称及适用情况杆单元桁架单元图形位移模式平面梁单元平面刚架（荟点）起始瑤u = ax+ a2xv = a3 + a4x + a5x2 + a6x3u = ax +a2x + a3y v = a4 +a5x + ahy平面四边形单元平面应力或应变平

12、面三角形单元平面应力或应变u = ax + a2 + a3ri + arj25+必+如77 +。向矩形板单元 薄板弯曲问题三角形板单元 薄板弯曲问题w = + a2x + a3y2+ a4x + a5xy+ a6y2 + 如兀2 2 + asx y + a9xy+ aiOy3 +anx3y + a2xy3w = aL +a2L2 +3L3 +a42 + a5 厶3 厶 +a6 L|L2+ (厶2厶;一厶厶;)+ aK(LyL -厶厶;)+ a() (L| L2 L2L)u = a】+ a2e + ari + a4v = a5+ ab + tz77 +w = ag +ao + 4 + Q2：u = a + a2c + 57 + +5科+唧：+ 6 + a亦v = a9+ + q + mg+ 5印+ 5皿+ gQ +仏釦： w = al7+als + alg + a2OC+ a?何 + a22i +幺 + 5品有限元中，梁单元的节点有6个自由度，壳单元节点有5个自由度，而体单元 节点有3个自由度。