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傅里叶描述子研究应用

姓名：

李罗川

学号：

ZY1403222

完成时间：

2015年05月06日

1

傅里叶描述子概述

1.1概念与特点

傅里叶分析的理论始于1822年,当时是由法国数学家傅里叶（FourierJ）提出的傅里叶级数的概念。

目前,傅里叶理论已经发展了近二百年,作为一种有力的信号分析处理工具,广泛应用在各个领域,但在20世纪六十年代初,才被Cosgriff引用到形状分析领域中来。

傅里叶描述子（FourierDescriptor）是一种基于频域变换的形状表示算法。

傅里叶描述子是首先将物体轮廓线表示成一个一维的轮廓线函数，然后对该函数作傅里叶变换，由傅里叶系数构成形状描述子。

同一形状不同的轮廓线函数，会产生不同的傅里叶描述子，如切角函数、曲率函数、中心距离函数、三角形面积函数等。

FD是目前形状表示方法中应用最多的描述子之一。

通过把形状在频域进行表示,可以很好的解决描述子对存在噪声和边界变化的敏感度。

傅里叶描述子按照基于轮廓和基于区域的分类方式可以分为两类:

基于轮廓的一维傅里叶描述子（1-DFD）和基于区域的二维傅进叶描述子（2-DFD）。

傅里叶描述子不仅是目前应用最广泛的描述子,而且是最具有发展潜力的形状表示算法之一。

傅里叶描述子作为全局形状特征的一种描述方式，具有计算简单，抗噪性强，较高的形状区分能力，但不包含局部形状信息，对形状的细节辨识能力较弱。

1.2现状与发展

傅里叶描述子（FourierDescriptor）是目前形状表示方法中应用最多的描述子之一。

傅里叶描述子按照基于轮廓和基于区域的分类方式可以分为两类:

基于轮廓的一维傅里叶描述子（1-DFD）和基于区域的二维傅进叶描述子（2-DFD）。

传统的一维傅里叶描述子只能处理根据形状图像提取出的闭合曲线,它依赖于边缘检测算法对形状轮廓线的准确提取。

Lin和Mitchell等经过研究和变形将1-DFD应用于部分闭合曲线。

Arbter等首次提出了具有仿射变换不变性的1-DFDoGranlund提出了可以描述轴对称形状的傅里叶不变量。

Eichmann等利用短时傅里叶变换（SFD）来提取傅里叶描述子。

同时,Zhang和Lu证明了SFD描述子在形状检索上的性能要优于传统的傅里叶描述子[31]。

这是因为SFD虽然不能提取目标形状的整体特征,但是它在提取目标物体的局部特征时有很高的准确率。

目前,有些研究者们提出了同样是基于变换域的小波形状描述子（WaveletDescriptor）。

因为小波变换在时域和频域同时具有多分辨率使得WD存在一定的优势,但是随着WD在时域上分辨率的增加,频域上的分辨率肯定会有所降低,并且通常我们都采用少量的低频系数来进行形状表示。

更重要的是,WD特征向量之间的相似度比较方法比较复杂,使得WD不适合用于实时的形状检索。

设L为小波变换的分辨率级数,N为标准化后的形状边界像素点个数,则WD形状匹配时的计算复杂度为。

不但WD形状匹配的复杂度高,而且还依赖于目标物体的轮廓边界的复杂度。

因此,小波傅里叶描述子因为具有难以克服的缺点而难以普遍运用。

1-DFD在已经发展成熟的Fourier的强大理论支持下,使得1-DFD具有很多利用其他特征提取的形状描述子不能具备的优点,如计算简单、每个傅里叶系数都有明确的物理意义、容易进行标准化,使得形状匹配时的计算复杂度很低和能同时提取局部和全局的形状特征等特点。

1-DFD克服了其他简单的全局描述符都具有的缺点,并且具有很好的抗噪能力和容易进行标准化的特点。

目前,1-DFD主要用于进行特征识别和目标分类中。

其中累积角函数和复坐标函数是两种最常用也是最经典的提取一维傅里叶描述子的方法。

同时,Zhang和Lu经过研究发现质心函数同样也是一种提取1-DFD很好的方法。

并且他们也发现,10个傅里叶系数已经能够很好的进行形状表示,这与以前经常采用的60个系数进行对比,很大程度上降低了计算复杂度。

并且同时证明了1-DFD在检索准确率性能和鲁棒性上的性能都优于曲率尺度空间描述子（CSS）。

这些研究成果都是我们对一维傅里叶描述子进行研究的理论基础和实验依据。

二维傅里叶描述（2-DFD）和Zernike矩方法是两种非常经典的基于区域的形状表示算法。

虽然Zemike矩描述子具有很好的鲁棒性能,但是它也有一定的缺点。

首先,Zemike矩的计算核计算复杂,所有形状首先要标准化成单位圆后才能提取矩特征。

其次,Zemike矩的径向特征和环形特征不一致,前者存在于时域,而后者存在于频域中。

并且,在径向方向,Zemike矩不允许进行形状的多分辨率分析。

第三,Zemike矩的环形特征在频域中不能均匀分布,这可能会损失一部分形状表示中需要用到的重要特征。

为了克服这些缺点,Zhang和Lu在2002年提出了二维傅里叶描述子。

2-DFD通过在形状图像的极坐标光栅中应用二维傅里叶变换得到。

与Zemike矩描述子相比较,2-DFD更加容易计算,而且特征向量中的数值代表是纯频域特征。

由于可以同时对形状的径向和环向进行多分辨率分析,所以2-DFD在形状检索中有更优的性能。

对于经过平移,旋转和尺度变换的形状,2-DFD都能进行准确的描述,并得到极为相似的特征向量。

Zhang和Lu已经证明,2-DFD在形状表示上的性能优于基于轮廓的形状表示描述子如曲率尺度空间描述子（CSS）、1-DFD和基丁区域的形状表示描述子如Zemike矩、几何矩和基于网格的形状表示算法等等。

2一维傅里叶描述子

经典的l-D傅里叶描述子是将一维傅里叶变换直接应用在形状图像的封闭轮廓线上,然后将得到的傅里叶系数组成的向量直接作为目标形状的特征由于傅里叶描述子表示的是形状的频域特征,所以其具有很好的抗噪能力和对边界细微变化的不敏感性。

一维傅里叶描述子的计算

下图显示了一个由N个像素点组成的封闭边界,其中任意一点的坐标为将XY坐标系与复数坐标系UV平面重合,这样边界上的每个点都可以用一个复数,即

。

以边界上任意一个点为起点,沿着逆时针方向跟踪形状的边界,就可以得到一个复数序列

这种复数坐标的表示方法的优点是将一个二维的目标形状转变成了一维函数。

对离散序列

进行一维离散傅里叶变换（DFT）,得到:

傅里叶系数

组成的一维行向量就是傅里叶描述子,可以代表目标形状边界所具有的特征。

将傅里叶系数进行DFT反变换,就可以还原表示形状边界的复数序列

通常,我们只保留傅里叶系数的前K个系数作为傅里叶描述子就可以近似的表示目标形状,换言之,傅里叶系数的低频系数决定了目标的整体形状,高频系数描述的是形状的细节部分但是,傅里叶描述子中存在的主要问题是应该保留多少个傅里叶系数来表示形状,或者说特征向量的维数应该怎样选取。

通常來说,保留的傅里叶系数越少,描述子的鲁棒性越好,但其形状之间的区分能力越弱;反之,如果保留的傅里叶描述子越多,则反应形状细节部分特征的能力越强,但对噪声也越敏感。

所以,目前没有一个通用的选择标准,需要在实验中根据具体的应用来进行特征向量维数的最优选择。

一维傅里叶描述子的不变性构造

利用傅里叶系数组成的特征向量并不具有形状的平移、旋转和尺度变换不变性。

由于边界的起始点是任意选择的,所以描述子也需要具备对起始点变化的不变性。

当形状发生平移变换时,复数坐标序列在水平和垂直方向上都附加一个位移

常量,变为

根据傅里叶变换的性质,当函数加上一个常量后,傅里叶变换的结果除直流分量a（0）以外,对其他傅里叶系数没有影响,如下式所示,我们可以通过舍弃a（0）项的方法解决。

当形状发生旋转变换,旋转角为θ时,复数坐标序列变为

同样根据傅里叶变换的性质,此时的傅里叶变换结果为如下式所示,因此,旋转变换只是带给每一个傅里叶系数都乘上一个常数项的影响,所以我们可以通过选取傅里叶系数的幅度值,忽略其相位值的方法解决。

当形状发生尺度变换,尺度变换因子为λ时,复数坐标序列变为

。

此时DFT变换结果也是将每一个傅里叶系数都乘以一个λ因子,如下式所示,我们可以通过将傅里叶系数的每一项都除以a（l）项,消除尺度因子对傅里叶系数的影响。

当形状轮廓的起始点移位

个像素点时,复数坐标序列变为

。

此时DFT变换结果下式所示。

此时傅里叶系数的变化也可以通过只选取傅里叶系数的幅度值解决,或者也可以将起始点的变换看作形状边界进行了一定角度的旋转变换。

因此,进行平移、旋转和尺度变换归一化后的一维傅里叶描述子表示为:

其中,K为选取的傅里叶描述子的个数。

傅里叶分析的理论始于1822年,当时是由法国数学家傅里叶（FourierJ）提出的傅里叶级数的概念。

目前,傅里叶理论已经发展了近二百年,作为一种有力的信号分析处理工具,广泛应用在各个领域,但在20世纪六十年代初,才被Cosgriff引用到形状分析领域中来目前,基于一维傅里叶变换的1-D傅里叶描述子和基于二维傅里叶变换的2-D傅里叶描述子已经成为形状分析领域的经典算法。

3二维傅里叶描述子

1

2

3

一维傅里叶描述子是基于轮廓的形状描述子,它只利用形状图像边界上的像素信息,所以1-DFD依赖于边缘检测算子对形状边界曲线的准确提取,但是由于其算法简单,计算速度快,适用于形状比较简单和对检索速度要求比较高的情况,但是其平均检索精度还有待进一步提高。

二维傅里叶描述子是基于区域的形状描述子,它利用了图像整个形状区域的像素信息,因此应用范围广,检索准确率高并且形状区分能力强,但是由于其信息量大,算法复杂,所以对形状图像的特征提取比较长_。

可以说,1-DFD和2-DFD有各自的优缺点,需要根据具体的应用要求进行选择。

经典的2-D傅里叶描述子

如果对一幅离散的形状图像

直接进行二维离散傅里叶变换,得到:

其中U和V分别代表频域图像中的第U行和第V列的频域信息,对形状图像应用二维傅里叶变换可以完全不用考虑形状的边界信息,但是这样得到的傅里叶描述子是不具有旋转不变性的。

经典的2-DFD是由Zhang和Lu在2002年提出的,也称作GFD（GenericFourierDescriptorp],他们首先想到的是将二维DFT变换应用在极坐标系下采样的图像中,得到

其中,

R和T分别为径向频率和角频率。

然而由于式中的

存在于正弦函数

中,使得

的物理意义不再是第m个角频率,因此提取出的特征向量PF失去了在环向方向上的物理意义。

为了解决这个问题,Zhang和Lu提出了一个修正的极坐标傅里叶变换。

即首先将形状图像

放在极坐标空间中进行重新采样得到

其中极坐标的原点放置在形状的质心

.上R是区域形状内的半径。

其中:

然后将

重新放回至二维笛卡尔坐标系中进行表示,得到一幅横坐标为θ,纵坐标为r的矩形图像。

对其进行二维DFT变换,得到:

其中

R和T同样分别为径向频率和角度频率。

接下来需要考虑特征向量的平移、旋转和尺度变换的不变性。

首先得到的特征向量FD2是具有平移不变性的,因为在极坐标中是以图像的质心为坐标原点的。

为了得到尺度不变性,我们需要将特征向量中的第一个系数除以区域形状内部的面积,而其他的系数除以第一个系数来进行尺度归一化。

旋转不变性可以通过忽略傅里叶系数的相位信息,只保留其幅值信息来得到保证。

因此,具有平移、旋转和尺度变换不变性的特征向量FD2为:

其中area为区域形状内部的面积,m为选取的径向频率系数的个数,n为选取的环向频率系数的个数。

与一维傅叶描述子相同,一般根据其体情况来选取FD2其中的一部分低频系数组成二维傅里叶描述子特征向量。

参考文献

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