南京航空航天大学《高等数学》53三节微积分的基本公式图文.docx

南京航空航天大学《高等数学》53三节微积分的基本公式图文.docx

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南京航空航天大学《高等数学》53三节微积分的基本公式图文

⎧x2,0≤x≤1⎪∴φ（x=⎨1⎪（x+1,1

3.设f（x是[a,+∞）上的连续单调增函数,求证：

x1F（x=∫af（tdtx−a在[a,+∞）上也是单调增函数。

证：

F（x在（a,+∞内连续，而在x=a处limF（x=lim∫axf（tdtx→a+x→a+x−a=f（a令F（a=f（a则F（x在[a,+∞上连续F'（x=（x−a[∫f（t]'−∫f（tdt⋅（x−a'aaxx（x−a2xa2=（x−af（x−∫f（tdt（x−a=（x−af（x−f（ξ（x−a（x−a2f（x−f（ξ=x−ax-a>0,∴F′（x>0;∵a≤ξ≤x，f（x↑故F（x在[a,+∞）上↑.