随机过程课堂例题.ppt

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2、随机过程的概念与基本类型例1已知随机相位正弦波已知随机相位正弦波X（t）=acos（t+），其中，其中a0，为常数，为常数，为在（为在（0,2）内均匀分布的随机变量。

）内均匀分布的随机变量。

求随机过程求随机过程X（t）,t（0,）的的均值函数均值函数mX（t）和相关和相关函数函数RX（s,t）。

随机过程课堂习题随机过程课堂习题例2设设X（t）为信号过程，为信号过程，Y（t）为噪声过程，为噪声过程，令令W（t）=X（t）+Y（t），则则W（t）的的均值函数为均值函数为其相关函数为其相关函数为例3n设复随机过程设复随机过程，其中，其中X1,X2,Xn是相互独立且服从是相互独立且服从N（0,）的随的随机变量，机变量，1,2,n为常数，求为常数，求Zt,t0的的均值函数均值函数mZ（t）和相关函数和相关函数RZ（s,t）。

33、泊松过程、泊松过程例1已知仪器在已知仪器在0,t内发生振动的次数内发生振动的次数X（t）是具有是具有参数参数的泊松过程。

若仪器振动的泊松过程。

若仪器振动k（k1）次就会出现故障，次就会出现故障，求仪器在时刻求仪器在时刻t0正常工作的概率。

正常工作的概率。

解故仪器故仪器在时刻在时刻t0正常工作的概率正常工作的概率为为:

仪器发生第仪器发生第k振动的时刻振动的时刻Wk就是故障时刻就是故障时刻T，则，则T的概率分布的概率分布为为分布分布:

参数为参数为n和和s/t的二项的二项分布分布例2设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，且次，且0st，对于对于0kn，求在，求在0,s内事件内事件A发生发生k次的概率。

次的概率。

例3设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，求第次，求第k次次（kn）事件事件A发生的时间发生的时间Wk的条件概率密度函数。

的条件概率密度函数。

Beta分布分布例4设设X1（t）,t0和和X2（t）,t0是两个相互独立的泊松过程，它们是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为在单位时间内平均出现的事件数分别为1和和2。

记。

记Wk

（1）为过程为过程X1（t）的第的第k次事件到达时间，次事件到达时间，W1

（2）为过程为过程X2（t）的第的第1次事件到达时间，求次事件到达时间，求PWk

（1）0=1,4,6G1=j:

对某对某n0有有p1,j（3n+1）0=3,5G2=j:

对某对某n0有有p1,j（3n+2）0=2例（例例4.15）设设Xn是例是例4.14中的中的马氏链，已知马氏链，已知d=3，则，则X3n,n0的转移矩阵为的转移矩阵为15/125/127/127/121/31/31/31/31/31/31/3例（例例4.16）设马尔可夫链设马尔可夫链的转移概率矩阵为的转移概率矩阵为P，求马氏，求马氏链的平稳分布及各状态的平均返回时间。

链的平稳分布及各状态的平均返回时间。

解：

因为该因为该马氏链是马氏链是不可约的非不可约的非周期周期有有限状态限状态，所以存在平稳分布。

所以存在平稳分布。

各状态的平均返回时间分别各状态的平均返回时间分别为：

为：

平稳分布为：

平稳分布为：

例2留宿的车站号，显然这是一个马尔可夫链，转移概率矩阵为留宿的车站号，显然这是一个马尔可夫链，转移概率矩阵为设平稳分布为设平稳分布为=j,j=1，2，3，4，5，则由，则由42531例2解得解得习题1、设马尔可夫链的转移概率矩阵为、设马尔可夫链的转移概率矩阵为求此链的极限分布与平稳分布。

求此链的极限分布与平稳分布。

2、设顾客以每分钟、设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流。

求人的速率到达，顾客流为泊松流。

求

（1）在三分钟内无顾客到达的概率）在三分钟内无顾客到达的概率

（2）在第一分钟到第二分钟之间只有一个顾客到来的概率）在第一分钟到第二分钟之间只有一个顾客到来的概率（3）在二分钟内到达的顾客不超过三人的概率。

）在二分钟内到达的顾客不超过三人的概率。

解答1、解：

它的平稳分布满足、解：

它的平稳分布满足解方程组得解方程组得即不论其初始分布如何，在经过一段时间以后，有即不论其初始分布如何，在经过一段时间以后，有12/62的时间过程处于的时间过程处于状态状态1，有，有23/62的时间过程处于状态的时间过程处于状态2，有，有18/62时间过程处于状态时间过程处于状态3.故极故极限分布为（限分布为（21/62,23/62,18/62）解答2、解：

设、解：

设X（t）,t0为顾客到达数的泊松过程，为顾客到达数的泊松过程，=2（11）

（2）（3）5、连续时间的马尔科夫链例题例：

考虑两个状态的连续时间马尔可夫链，在转移到状态考虑两个状态的连续时间马尔可夫链，在转移到状态1之前在状之前在状态态0停留的时间是参数为停留的时间是参数为的指数的指数变量，而在回到状量，而在回到状态0之前它停留在之前它停留在状状态1的的时间是参数是参数为的指数的指数变量，求其量，求其转移概率，以及极限分布和移概率，以及极限分布和平平稳分布。

分布。

解：

由题意知，该链是一个齐次马尔可夫链，其转移概率为解：

由题意知，该链是一个齐次马尔可夫链，其转移概率为例题由定理由定理5.35.3知知例题由柯由柯尔尔莫哥洛夫向前方程得莫哥洛夫向前方程得其中最后一个等式来自其中最后一个等式来自因此因此或或例题于是于是由于由于可见可见c=/+则若若记则例题类似的似的由由对称性知称性知6、平稳随机过程例1白噪声设设Xn,n=0,1,2,是实是实的互不相关的互不相关随机变量随机变量序列序列，且，且EXn=0，DXn=2，试讨论随机序列的，试讨论随机序列的平稳性平稳性。

解因为因为:

（1）EXn=0故故随机序列的均值为常数，相关函数仅与随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳随有关，因此它是平稳随机序列。

机序列。

应用：

电子发射波的波动、通信设备中电流或电压的波动应用：

电子发射波的波动、通信设备中电流或电压的波动例2设有状态连续、时间离散的随机过程设有状态连续、时间离散的随机过程X（t）=sin（2t），其中，其中为（为（0,1）上均匀分布的随机变量，）上均匀分布的随机变量，t只取整数只取整数值值1,2,，试讨论随机过程，试讨论随机过程X（t）的平稳性。

的平稳性。

解因此因此X（t）是平稳随机过程。

是平稳随机过程。

例2如图所示如图所示X（t）是平稳过是平稳过程，分析过程程，分析过程Y（t）的平稳性。

的平稳性。

解故故Y（t）是平稳过程。

是平稳过程。

X（t）Y（t）延迟延迟T例1设设X（t）,tT是实均方可微过程，求其导数过程是实均方可微过程，求其导数过程X（t）,tT的协方差函数的协方差函数BX（s,t）。

解例3设有随机相位过程设有随机相位过程X（t）=acos（t+），a,为常数，为常数，为为（0,2）上服从均匀分布的随机变量，试问上服从均匀分布的随机变量，试问X（t）是否为各态历经过程。

是否为各态历经过程。

故故X（t）是为各态历经过程。

是为各态历经过程。