江苏省扬州市邗江区学年高二下学期期中考试数学理试题.docx

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江苏省扬州市邗江区学年高二下学期期中考试数学理试题

20172018学年度第二学期高二数学期中测试卷

数学（理科）

2018．04

出卷人：

校对人：

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共

14

小题，每小题

5分，共

70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1、C63

___▲

_

2、已知复数z

5

i是虚数单位），则|

z|=

▲_

1

（

3i

3、已知

（1）正方形的对角线相等；（

2）平行四边形的对角线相等；（

3）正方形是平行四边形．

由

（1）、

（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是

▲_

4、观察式子1

1

3

1

1

5

1

1

1

7

22

，1

22

32

，

1

2

32

42

，，则可以归纳出

2

3

2

4

1

1

1

1

1

▲

22

32

42

（n1）2

5、若向量a

（1,1,x）,b

（1,2,1）,c

（1,1,1），满足条件（c

a）

（2b）

2，则x

▲

6、对于命题：

三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是

_

▲_

7、用数学归纳法证明：

“

1

aa2

an

11

an2

（a1,nN*）”，在验证n1成立时，

1

a

左边计算所得的结果是

▲

8、复平面内有

A,B,C三点，点A对应的复数为2

i，向量BA对应的复数为2

3i，向量BC对

应的复数为

3i，则点C对应的复数是

▲

9、设平面

的法向量为（1,

2,2），平面

的法向量为（2,

4）

，若

∥，则

的值为

▲

10

、从

4个男生

3个女生中挑选3人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有

___

___

种．

▲

（用数字作答）

11、用数学归纳法证明“n3

5n（n

N*）能被6整除”的过程中，当n

k1时，（k

1）3

5（k

1）

式子应变形为

▲

12、某单位安排

7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班

1天，若

7位员工中的甲、乙排

在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有

___

▲____

13、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不

可割，则与圆周合体而无所失矣

”.它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式

[来源学§科§网Z§X§X§K]

1

1

1

1

中，“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程

1

1

x，

1

x

求得x

5

1.类比上述过程，则3232

▲

2

14、如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点

M在线段

PQ上，E,F分别为AB,BC的中点．设异面直线

EM和AF所成的角为

，则cos

的最大

值为

▲

[来源学#科#网Z#X#X#K]

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知复数zm（m1）（m

1）i

（1）当实数m为何值时，复数

z为纯虚数

（2）当m

2时，计算z

z

.

1

i

16.（本小题满分14分）

（1）求证：

3

72

5；

（2）已知a

0,b

0,且a

b2，求证：

1b,1

a中至少有一个小于2．

a

b

17．（本小题满分14分）

如图，在多面体

ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB,EFFB,AB

2EF，

BFC90,BF

FC,H

1

为BC的中点.（）求证：

FH∥平面EDB；

（2）求证：

AC

平面EDB.

18．（本小题满分16分）

如图，在长方体ABCD

ABCD

中，AB4,AD2,AA2,

点

F

是棱

BC

的中点，点

E

1111

1

在棱C1D1上，且D1E

EC1（

为实数）．

（1）求二面角D1

AC

D的余弦值；

1

时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；

（2）当

3

EF与直线EA不可能垂直．

（3）求证：

直线

19.（本小题满分16分）

某班级共派出n1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队

时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有

.入场

n种

排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有

Fn种选

法.

（1）试求En和Fn；

（2）判断lnEn和Fn的大小（nN），并用数学归纳法证明.

20.（本小题满分16分）

观察如图：

1，

2,3

4,5,6,7

8,9,10,11,12,13,14,15

1

2

）此表第n行的各个数之和是多少？

问：

（）此表第n行的最后一个数是多少？

（

（3

）2018是第几行的第几个数？

（4

）是否存在nN*，使得第n行起的连续

10行的所有数之和为

227

213120?

若存在，求

出n的值；若不存在，请说明理由．

扬州市邗江区2017-2018学年度第二学期期中试卷

高

二

数

学

（理）答

案

一、填空题：

（本大题共

14小题，每小题

5分，共70分）

1.

20；

2.

10；

3.

正方形的对角线相等；

2

4.

2n

1

5.

2；

6.

7、1a

a2；

n

；

假设至少有两个钝角

；

1

8.

3

3i，

9.

4

10.30；

11.

（k3

5k）

3k（k

1）

6；

12.624

；

13.

3；

14.

2

5

二、解答题：

本大题共

6小题，共计

90分．请在答题纸指定区域内

作答，解答时应写出文字说明、

．．．．．．．．

证明过程或演算步骤．

15、解：

（1）复数z

m（m1）（m1）i

令m（m

1）0

..................4

分

m

1

0

或

..................

6

解得m0m1

分

m

1

即m

0

..................

7

分

当m=2时，z2i

（2）

z

（

2

）2i

35i

..................14

分

z

i

i

i

2

1

1

16．解：

（1）证明：

因为

3

7和2

5都是正数，所以为了证明3

7

25，

只要证

（3

7）2

（25）2，只需证：

10

221

20，..........

3

分

即证:

221

10，即证:

21

5，即证:

21

25，...........

6

分

因为21<25显然成立，所以原不等式成立．.................7分

（2）证明：

假设1b,

1a都不小于

2，则1b

2,

1a

2．.................

10

分

a

b

a

b

a0,b0,1b2a,1a2b,

11ab2（ab），即ab2......

13

分

这与已知ab2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立.......14分

17.

（1）如图，以H为坐标原点，分别以HB,GH,HF的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立

空间直角坐标系，

令BH1,则A（1,2,0）,B（1,0,0）,C（1,0,0）,D（1,2,0）,E（0,1,1）,F（0,0,1）......2分

（1）设AC与BD的交点为G，连接GE,GH,则G（0,

1,0），

∴GE

（0,0,1）,.............................

4

分[来源:

Z.xx.k.Com]

又∵HF

（0,0,1），∴GE∥HF，..........

6

分[来源:

Zxxk.Com]

GE平面EDB,HF

平面EDB，∴FH∥平面EDB........

7分

（2）∵AC（2,2,0）,GE（0,0,1）,

∴ACGE0∴AC

GE.

..........10

分

又AC

BD，且GE

BD

G，∴AC

平面EDB..........

14

分

1

D

xyz

．

18.解：

（）如图所示，建立空间直角坐标系

则A（2,0,0）,

C（0,4,0）,

D1（0,0,2）,

D

A

（2,0,

2），DC

（0,4,2）....................2

分

1

1

设平面D1AC的法向量为n

（x,y,z），

则nD1A0,nD1C0．即x

z,z

2y．令y1，则xz2．

∴平面D1AC的一个法向量n

（2,1,2）

．又平面DAC的一个法向量为

m（0,0,1）．．....4

分

故cosm,n

mn

2

2

，即二面角D1ACD的余弦值为2

................5

分

|m||n|

13

3

3

（2）当λ=

1时，E（0，1，2），F（1，4，0），EF

（1,3,2）．

3

所以cosEF,n

EF

n

1

14

分[来源:

|EF||n|

14

3

．.................................8

42

学科网]

因为

cosEF,n

0，所以

EF,n

为锐角，

从而直线EF与平面D

AC所成角的正弦值的大小为

14．....................10

分

1

42

（3）假设EFEA，则EFEA0．．....................12分

4

2）,F（1,4,0）

，

∵E（0,

1

∴EA（2,

4

EF（1,4

4

14

分

2），

2）．．....................

1

1

4

（4

4

4

0．化简得3

2

2

3

0．

∴2

）

1

1

该方程无解，所以假设不成立，即直线

EF不可能与直线

EA不可能垂直．．.............16

分

19解：

（1）En

Ann

Ann

（n!

）2，Fn

Cn1

1

Cn1

n（n1）.．...........................

4

分

（2）因为ln

En

2lnn!

Fn

n（n

1），所以lnE10F1

2，lnE2

ln4

F2

6，

lnE3

ln36

F312,

，由此猜想：

当n

N*时，都有lnEn

Fn，即2ln!

n

（nn1）.

下面用数学归纳法证明2lnn!

n（n1）（n

N*）.

...........................

6

分

①n

1时，该不等式显然成立

......................................

..8

分

②假设当n

k（kN*）时，不等式成立，即

2lnk!

k（k

1），................

10

分

则当n

k

1时，2ln（k

1）!

2ln（k1）

2lnk!

2ln（k

1）

k（k1）

，

要证当

n

k

1

时不等式成立

只要证：

2ln（k1）

k（k

1）

（k

1）（k

2）

，

.

只要证：

ln（k

1）k

1...............................................

...13

分

令f（x）

lnx

x,x（1,

），因为f'

（x）

1

x

0，所以f（x）在（1,

）上单调递减，

x

从而f（x）

f

（1）

10，而k

1

（1,

），所以ln（k1）k

1成立.

则当n

k

1时，不等式也成立........................................

...15

分

综合①、②得原不等式对任意的

*

nN均成立

.

16

分

..............................

20.解：

（1）由已知得出每行的正整数的个数是

1，2，4，8，，其规律：

1

1

1

2

2

1

3

1

8

4

1

n行的第一个数为：

2n1，共有2n1个，

2

2

42

2由此,得出第

所以此表第n行的最后一个数是

2n

1.....................................3

分

（

2）由

（1）得到第n行的第一个数，且此行一共有

2n1个数，从而利用等差数列的求和公

式得：

第n行的各个数之和

S

2n1（2n1

2n1）

34n

12n

3

22n3

2n2........6分

2

8

4

（3）由（1

）可知第n行的最后一个数是

2n

1.

当n

11时，最后一个数字为

1023，

当n

12时，最后一个数字为

2047，

所以2018在第12行，2018

1023

995，故2018是第12行的第

995个数；

（4）第n行起的连续10

行的所有数之和S

34n（1

4

49）

1

2n

8

4

2n

2（2n

19

2n11023）

又227

213120

23（224

21015）（*），故n

2

3,n

5.

n5时（*）式成立.

n5时，由（*）可得，

n5

n19

n1

1023）

24

10

.

2

（2

2

2

2此等1式5左,边为偶数，右边为奇数，不成立

故满足条件的n5.

..........................................16

分