江苏省扬州市邗江区学年高二下学期期中考试数学理试题.docx
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江苏省扬州市邗江区学年高二下学期期中考试数学理试题
20172018学年度第二学期高二数学期中测试卷
数学(理科)
2018.04
出卷人:
校对人:
(全卷满分160分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.
2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.
一、填空题(本大题共
14
小题,每小题
5分,共
70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)
1、C63
___▲
_
2、已知复数z
5
i是虚数单位),则|
z|=
▲_
1
(
3i
3、已知
(1)正方形的对角线相等;(
2)平行四边形的对角线相等;(
3)正方形是平行四边形.
由
(1)、
(2)、(3)组合成“三段论”,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是
▲_
4、观察式子1
1
3
1
1
5
1
1
1
7
22
,1
22
32
,
1
2
32
42
,,则可以归纳出
2
3
2
4
1
1
1
1
1
▲
22
32
42
(n1)2
5、若向量a
(1,1,x),b
(1,2,1),c
(1,1,1),满足条件(c
a)
(2b)
2,则x
▲
6、对于命题:
三角形的内角至多有一个是钝角,若用反证法证明,正确的反设是
_
▲_
7、用数学归纳法证明:
“
1
aa2
an
11
an2
(a1,nN*)”,在验证n1成立时,
1
a
左边计算所得的结果是
▲
8、复平面内有
A,B,C三点,点A对应的复数为2
i,向量BA对应的复数为2
3i,向量BC对
应的复数为
3i,则点C对应的复数是
▲
9、设平面
的法向量为(1,
2,2),平面
的法向量为(2,
4)
,若
∥,则
的值为
▲
10
、从
4个男生
3个女生中挑选3人参加智力竞赛,要求既有男生又有女生的选法共有
___
___
种.
▲
(用数字作答)
11、用数学归纳法证明“n3
5n(n
N*)能被6整除”的过程中,当n
k1时,(k
1)3
5(k
1)
式子应变形为
▲
12、某单位安排
7位员工在春节期间大年初一到初七值班,每人值班
1天,若
7位员工中的甲、乙排
在相邻的两天,丙不排在初一,丁不排在初七,则不同的安排方案共有
___
▲____
13、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不
可割,则与圆周合体而无所失矣
”.它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
[来源学§科§网Z§X§X§K]
1
1
1
1
中,“”即代表无数次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程
1
1
x,
1
x
求得x
5
1.类比上述过程,则3232
▲
2
14、如图所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点
M在线段
PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线
EM和AF所成的角为
,则cos
的最大
值为
▲
[来源学#科#网Z#X#X#K]
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
已知复数zm(m1)(m
1)i
(1)当实数m为何值时,复数
z为纯虚数
(2)当m
2时,计算z
z
.
1
i
16.(本小题满分14分)
(1)求证:
3
72
5;
(2)已知a
0,b
0,且a
b2,求证:
1b,1
a中至少有一个小于2.
a
b
17.(本小题满分14分)
如图,在多面体
ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EFFB,AB
2EF,
BFC90,BF
FC,H
1
为BC的中点.()求证:
FH∥平面EDB;
(2)求证:
AC
平面EDB.
18.(本小题满分16分)
如图,在长方体ABCD
ABCD
中,AB4,AD2,AA2,
点
F
是棱
BC
的中点,点
E
1111
1
在棱C1D1上,且D1E
EC1(
为实数).
(1)求二面角D1
AC
D的余弦值;
1
时,求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小;
(2)当
3
EF与直线EA不可能垂直.
(3)求证:
直线
19.(本小题满分16分)
某班级共派出n1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式,其中男生倪某为领队
时,领队男生倪某必须排第一个,然后女生整体在男生的前面,排成一路纵队入场,共有
.入场
n种
排法;入场后,又需从男生(含男生倪某)和女生中各选一名代表到主席台服务,共有
Fn种选
法.
(1)试求En和Fn;
(2)判断lnEn和Fn的大小(nN),并用数学归纳法证明.
20.(本小题满分16分)
观察如图:
1,
2,3
4,5,6,7
8,9,10,11,12,13,14,15
1
2
)此表第n行的各个数之和是多少?
问:
()此表第n行的最后一个数是多少?
(
(3
)2018是第几行的第几个数?
(4
)是否存在nN*,使得第n行起的连续
10行的所有数之和为
227
213120?
若存在,求
出n的值;若不存在,请说明理由.
扬州市邗江区2017-2018学年度第二学期期中试卷
高
二
数
学
(理)答
案
一、填空题:
(本大题共
14小题,每小题
5分,共70分)
1.
20;
2.
10;
3.
正方形的对角线相等;
2
4.
2n
1
5.
2;
6.
7、1a
a2;
n
;
假设至少有两个钝角
;
1
8.
3
3i,
9.
4
10.30;
11.
(k3
5k)
3k(k
1)
6;
12.624
;
13.
3;
14.
2
5
二、解答题:
本大题共
6小题,共计
90分.请在答题纸指定区域内
作答,解答时应写出文字说明、
........
证明过程或演算步骤.
15、解:
(1)复数z
m(m1)(m1)i
令m(m
1)0
..................4
分
m
1
0
或
..................
6
解得m0m1
分
m
1
即m
0
..................
7
分
当m=2时,z2i
(2)
z
(
2
)2i
35i
..................14
分
z
i
i
i
2
1
1
16.解:
(1)证明:
因为
3
7和2
5都是正数,所以为了证明3
7
25,
只要证
(3
7)2
(25)2,只需证:
10
221
20,..........
3
分
即证:
221
10,即证:
21
5,即证:
21
25,...........
6
分
因为21<25显然成立,所以原不等式成立..................7分
(2)证明:
假设1b,
1a都不小于
2,则1b
2,
1a
2..................
10
分
a
b
a
b
a0,b0,1b2a,1a2b,
11ab2(ab),即ab2......
13
分
这与已知ab2矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.......14分
17.
(1)如图,以H为坐标原点,分别以HB,GH,HF的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立
空间直角坐标系,
令BH1,则A(1,2,0),B(1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)......2分
(1)设AC与BD的交点为G,连接GE,GH,则G(0,
1,0),
∴GE
(0,0,1),.............................
4
分[来源:
Z.xx.k.Com]
又∵HF
(0,0,1),∴GE∥HF,..........
6
分[来源:
Zxxk.Com]
GE平面EDB,HF
平面EDB,∴FH∥平面EDB........
7分
(2)∵AC(2,2,0),GE(0,0,1),
∴ACGE0∴AC
GE.
..........10
分
又AC
BD,且GE
BD
G,∴AC
平面EDB..........
14
分
1
D
xyz
.
18.解:
()如图所示,建立空间直角坐标系
则A(2,0,0),
C(0,4,0),
D1(0,0,2),
D
A
(2,0,
2),DC
(0,4,2)....................2
分
1
1
设平面D1AC的法向量为n
(x,y,z),
则nD1A0,nD1C0.即x
z,z
2y.令y1,则xz2.
∴平面D1AC的一个法向量n
(2,1,2)
.又平面DAC的一个法向量为
m(0,0,1)......4
分
故cosm,n
mn
2
2
,即二面角D1ACD的余弦值为2
................5
分
|m||n|
13
3
3
(2)当λ=
1时,E(0,1,2),F(1,4,0),EF
(1,3,2).
3
所以cosEF,n
EF
n
1
14
分[来源:
|EF||n|
14
3
..................................8
42
学科网]
因为
cosEF,n
0,所以
EF,n
为锐角,
从而直线EF与平面D
AC所成角的正弦值的大小为
14.....................10
分
1
42
(3)假设EFEA,则EFEA0......................12分
4
2),F(1,4,0)
,
∵E(0,
1
∴EA(2,
4
EF(1,4
4
14
分
2),
2)......................
1
1
4
(4
4
4
0.化简得3
2
2
3
0.
∴2
)
1
1
该方程无解,所以假设不成立,即直线
EF不可能与直线
EA不可能垂直...............16
分
19解:
(1)En
Ann
Ann
(n!
)2,Fn
Cn1
1
Cn1
n(n1).............................
4
分
(2)因为ln
En
2lnn!
Fn
n(n
1),所以lnE10F1
2,lnE2
ln4
F2
6,
lnE3
ln36
F312,
,由此猜想:
当n
N*时,都有lnEn
Fn,即2ln!
n
(nn1).
下面用数学归纳法证明2lnn!
n(n1)(n
N*).
...........................
6
分
①n
1时,该不等式显然成立
......................................
..8
分
②假设当n
k(kN*)时,不等式成立,即
2lnk!
k(k
1),................
10
分
则当n
k
1时,2ln(k
1)!
2ln(k1)
2lnk!
2ln(k
1)
k(k1)
,
要证当
n
k
1
时不等式成立
只要证:
2ln(k1)
k(k
1)
(k
1)(k
2)
,
.
只要证:
ln(k
1)k
1...............................................
...13
分
令f(x)
lnx
x,x(1,
),因为f'
(x)
1
x
0,所以f(x)在(1,
)上单调递减,
x
从而f(x)
f
(1)
10,而k
1
(1,
),所以ln(k1)k
1成立.
则当n
k
1时,不等式也成立........................................
...15
分
综合①、②得原不等式对任意的
*
nN均成立
.
16
分
..............................
20.解:
(1)由已知得出每行的正整数的个数是
1,2,4,8,,其规律:
1
1
1
2
2
1
3
1
8
4
1
n行的第一个数为:
2n1,共有2n1个,
2
2
42
2由此,得出第
所以此表第n行的最后一个数是
2n
1.....................................3
分
(
2)由
(1)得到第n行的第一个数,且此行一共有
2n1个数,从而利用等差数列的求和公
式得:
第n行的各个数之和
S
2n1(2n1
2n1)
34n
12n
3
22n3
2n2........6分
2
8
4
(3)由(1
)可知第n行的最后一个数是
2n
1.
当n
11时,最后一个数字为
1023,
当n
12时,最后一个数字为
2047,
所以2018在第12行,2018
1023
995,故2018是第12行的第
995个数;
(4)第n行起的连续10
行的所有数之和S
34n(1
4
49)
1
2n
8
4
2n
2(2n
19
2n11023)
又227
213120
23(224
21015)(*),故n
2
3,n
5.
n5时(*)式成立.
n5时,由(*)可得,
n5
n19
n1
1023)
24
10
.
2
(2
2
2
2此等1式5左,边为偶数,右边为奇数,不成立
故满足条件的n5.
..........................................16
分