等差数列的性质优质课.ppt

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等差数列重要拓展课题：

等差数列重要拓展课题：

导航：

等差数列的定义和通项公式是处理等差数导航：

等差数列的定义和通项公式是处理等差数列问题的出发点，化基本量进行计算是基本方法，列问题的出发点，化基本量进行计算是基本方法，但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上，但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上，学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我们对函数研究时何尝不是同样的道理，们对函数研究时何尝不是同样的道理，Letsgo!

等差数列等差数列AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差如果一个数列从第如果一个数列从第22项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数.【说明说明】数列数列aann为等差数列为等差数列aann+1+1-aann=d=ddd=aann+1+1-aann公差是公差是唯一唯一的，是一个常数。

的，是一个常数。

等差数列各项对应的等差数列各项对应的点都在同一条直线上点都在同一条直线上.知识回顾知识回顾an=a1+（n-1）d或或aann+1+1=aann+d+d例1已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为aann=pn+qpn+q，其中，其中p,qp,q是常数，且是常数，且p0p0，那么这个数列一定是等差数，那么这个数列一定是等差数列吗？

如果是，其首项与公差是什么？

列吗？

如果是，其首项与公差是什么？

分析：

由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只分析：

由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看要看aannaan-1n-1（n2）是不是一个与是不是一个与n无关的常数就行了无关的常数就行了解：

取数列中的任意相邻两项解：

取数列中的任意相邻两项aan-1n-1与与aann（n2）（n2）aannaan-1n-1=（pn+q）-p（n-1）+q（pn+q）-p（n-1）+q=pn+q-（pn-p+q）=pn+q-（pn-p+q）=p=p它是一个与它是一个与nn无关的常数，所以是等差数列，且公差是无关的常数，所以是等差数列，且公差是pp在通项公式中令在通项公式中令n=1n=1，得，得aa11=p+q,p+q,所以这个所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是p+qp+q，公差是，公差是pp,等差数列的性质等差数列的性质（一一）解后反思：

解后反思：

证明一个数列是等证明一个数列是等差数列的方法差数列的方法作业讲评：

作业讲评：

1、若一个数列的通项公式为、若一个数列的通项公式为n的一次的一次型型函数函数an=pn+q,则这个数列为则这个数列为等差数列等差数列,公差公差为为p.2、非常数列非常数列的等差数列通项公式是关于的等差数列通项公式是关于n的一次函数的一次函数.常数列常数列的等差数列通项公式为常值函数。

的等差数列通项公式为常值函数。

an=3n+5a1=8，d=313414118217an=12-2na1=10，d=-2134846210y=3x+5y=12-2x等差数列的性质等差数列的性质（一一）在一个数列中在一个数列中,从第从第22项起项起,每一项每一项（有穷数列的有穷数列的末项除外末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项都是它前一项与后一项的等差中项.如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列,那么那么AA叫叫aa与与bb的等差中项的等差中项.如如:

数列数列:

1,3,5,7,9,11,13,:

1,3,5,7,9,11,13,中中,即：

即：

等差数列的性质等差数列的性质（二二）思考题思考题:

已知三个数成等差数列的和已知三个数成等差数列的和是是12，积是，积是48，求这三个数，求这三个数.设数技巧设数技巧已知三个数成等差已知三个数成等差数列，且和数列，且和为为已知时已知时常常利用对称性利用对称性设三数设三数为：

为：

a-d,a,a+da-d,a,a+d四个数怎么设？

四个数怎么设？

（1）若有三个数成等差数列，则一般设为若有三个数成等差数列，则一般设为ad，a，ad；

（2）若有四个数成等差数列，则一般设为若有四个数成等差数列，则一般设为a3d，ad，ad，a3d；（3）若有五个数成等差数列，则一般设为若有五个数成等差数列，则一般设为a2d，ad，a，ad，a2d.等差数列的设法及求解等差数列的设法及求解如何判断一个数列为等差数列如何判断一个数列为等差数列在等差数列在等差数列中，中，为公差，若公差，若且且则：

则：

等差数列的性质等差数列的性质（三三）（常用性质）（常用性质）数列数列an是等差数列，是等差数列，m、n、p、qN+，且且m+n=p+q，则，则am+an=ap+aq。

判断：

判断：

可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：

等式两注意：

等式两边作边作和的项数和的项数必须一样多必须一样多等差数列的性质等差数列的性质（三三）例例2.在在等差数列等差数列an中中

（1）已知已知a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20分析：

由分析：

由a1+a20=a6+a15=a9+a12及及a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10例题分析例题分析

（2）已知已知a3+a11=10，求，求a6+a7+a8（3）已知已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求求a14及公差及公差d.分析：

分析：

a3+a11=a6+a8=2a7，又已知又已知a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：

分析：

a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28又又a4a7=187，解解、得得a4=17a7=11a4=11a7=17或或d=_2或或2,从而从而a14=_3或或31练习练习已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an

（1）将前）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？

如果是，他的首项与公差分别是多少？

列吗？

如果是，他的首项与公差分别是多少？

am+1，am+2，an是等差数列是等差数列首项为首项为am+1，公差为，公差为d，项数为，项数为n-m等差数列的性质等差数列的性质（四四）已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，an

（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？

如果是，他的首项与公差分别是多少？

数列吗？

如果是，他的首项与公差分别是多少？

a1，a3，a5，是等差数列是等差数列首项为首项为a1，公差为，公差为2d取出的是所有偶数项呢？

取出的是所有偶数项呢？

a2，a4，a6，是等差数列是等差数列首项为首项为a2，公差为，公差为2d等差数列的性质等差数列的性质（四四）已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，ana7，a14，a21，是等差数列是等差数列首项为首项为a7，公差为，公差为7d取出的是所有取出的是所有k倍数的项呢？

倍数的项呢？

ak，a2k，a3k，是等差数列是等差数列首项为首项为ak，公差为，公差为kd（3）取出数列中所有项是）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？

如果是，他的首项与公差是多少？

是等差数列吗？

如果是，他的首项与公差是多少？

等差数列的性质等差数列的性质（四四）已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，an（4）数列）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差是等差数列吗？

公差是多少？

数列吗？

公差是多少？

a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列，公差为是等差数列，公差为4d数列数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是是等差数列吗？

公差是多少？

等差数列吗？

公差是多少？

a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，是等差数列，公差为公差为3d。

等差数列的性质等差数列的性质（四四）1、若数列、若数列an为等差数列，公差为为等差数列，公差为d，则，则kan也为等差数列，公差为也为等差数列，公差为_。

4、若数列、若数列an与与bn分别是分别是公差为公差为d1、d2等等差数差数列，则列，则an+bn也为等差数列，也为等差数列，an-bn也为等差也为等差数列数列，pan+qbn也为等差数列。

也为等差数列。

kd2、can（c为任一常数为任一常数）是公差为是公差为_的等差数列；的等差数列；3、can（c为任一常数为任一常数）是公差为是公差为_的等差数列的等差数列dcd等差数列的性质等差数列的性质（四四）例题分析例题分析例题分析例题分析重点题型：

证明一个重点题型：

证明一个数列是等差数列数列是等差数列例题分析例题分析例题分析例题分析整体思想整体思想例题分析例题分析