空间向量及其加减运算.ppt

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第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减数乘运算1掌握空间向量相关的概念、几何表示法、字母表示法2了解共线（平行）向量、共面向量的定义3掌握空间向量的加减、数乘运算及运算律，共线向量、共面向量的表示法4理解共线、共面向量定理及其推论，并能利用它们证明空间向量的共线、共面问题1空间向量在空间，我们把具有_和_的量叫做空间向量向量的_叫做向量的长度或模大小方向大小2向量的表示法（如图311）

（1）几何表示法：

用_表示.

（2）字母表示法：

用一个字母表示如图311，此向量的起点是A，终点是B，可记作_，也可记作_，其模记为_或_图311有向线段a|a|是_当有向线段的起点A与终点B重合时，AB0.3零向量长度为_的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向4单位向量模长为_的向量5相反向量与向量a的_相等而_相反的向量，称为a的相反向量，记作a.0任意的1长度方向6相等向量_相同且_相等的向量称为相等向量在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量图312方向模OB_；CA_.7类似于平面向量，定义空间向量的加减运算（如图312）abab8空间向量的加法运算律

（1）交换律：

_.

（2）结合律：

_.9向量的数乘实数与向量a的积仍然是一个向量，记作_，称为向量的数乘长度是_当0时，a与向量a的方向_；当|b|，但不能说ab.

（2）在空间，单位向量、向量的模、相等的向量和相反向量等概念与平面向量中相对应的概念完全一致【要点2】向量的三角形法则和平行四边形法则的要点是什么？

【剖析】对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连对于向量减法要求两向量有共同的起点【要点3】空间向量的数乘运算【剖析】空间向量数乘运算的结果仍是一个向量，可以根据定义来判断它的方向和大小向量a的模可以扩大（当|1时），也可以缩小（当|0时），也可以改变（当0时）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如a，a是没有意义的【要点4】共线向量与共面向量【剖析】对于空间任意两个向量a，b（b0），共线向量定理可分解为以下两个命题：

ab存在唯一实数使ab；存在唯一实数，使得abab.对于空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了三个非零向量a，b，c，其中任意两个向量不共线，则它们共面的充要条件：

存在三个非零实数l，m，n，使lambnc0.题型1空间向量的线性运算例1：

如图313，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有（）A1个C3个B2个D4个图313思维突破：

化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可以转化成加法，也可以按减法法则进行运算答案：

DACD7a2b，则一定共线的三点是（题型2共线问题）AA，B，DCB，C，DBA，B，CDA，C，D思维突破：

证明三点共线的关键是证明以某点为起点的两个向量中，一个向量可以表示为另一个向量与某个实数的数乘形式答案：

A

（1）OBOM3OPOA；

（2）OP4OAOBOM.题型3共面问题例3：

对于平面ABM外的任一点O，确定在下列条件下，点P是否与点A，B，M一定共面？

思维突破：

要证明四点共面，可以根据共面向量定理证明其中任意两个点所构成的向量共面，从而得到四点共面【变式与拓展】A有相同起点的向量C共面向量B等长的向量D不共面向量C