直线方程复习小结.ppt

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第三章第三章直线直线与方程小结（与方程小结（11）在直线l：

3xy10上求一点P，使得P到A（4,1）和B（3,4）的距离之和最小又|PA|PB|PA|PB|，解：

设点B关于直线3xy10上的对称点为B（a，b），已知正方形的中心为G（1,0），一边所在直线的方程为x3y50，求其他三边所在直线方程设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为解得C15或C17.解：

正方形的中心G（1,0）到四边距离均为故与已知边平行的直线方程为x3y70.设正方形另一组对边所在直线方程为3xyC20，解得C29或C23.所以正方形另两边所在直线的方程为3xy90和3xy30.综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为x3y70,3xy90,3xy30.直线的方程直线的方程基础知识基础知识自主学习自主学习要点梳理要点梳理1.1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率（11）直线的倾斜角）直线的倾斜角定义：

当直线定义：

当直线ll与与xx轴相交时，我们取轴相交时，我们取xx轴作为基轴作为基准，准，xx轴轴与直线与直线ll方向之间所成的角方向之间所成的角叫叫做直线做直线ll的倾斜角的倾斜角.当直线当直线ll与与xx轴平行或重合时，轴平行或重合时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为.倾斜角的范围为倾斜角的范围为.正向正向向上向上0018018000

（2）

（2）直线的斜率直线的斜率定义：

一条直线的倾斜角定义：

一条直线的倾斜角的的叫做这条叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母直线的斜率，斜率常用小写字母kk表示，即表示，即kk=，倾斜角是倾斜角是9090的直线斜率不存在的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式经过两点经过两点PP11（xx11,yy11）,PP22（xx22,yy22）（）（xx11xx22）的直线的直线的斜率公式为的斜率公式为kk=正切值正切值tantan2.2.直线方程的五种形式直线方程的五种形式名称名称方程方程适用范围适用范围点斜式点斜式不含垂直于不含垂直于xx轴的直线轴的直线斜截式斜截式不含垂直于不含垂直于xx轴的直线轴的直线两点式两点式不含直线不含直线xx=xx1（xx1xx2）和直线和直线yy=yy1（yy1yy2）截距式截距式不含垂直于坐标轴和过原不含垂直于坐标轴和过原点的直线点的直线一般式一般式平面直角坐标系内的直线平面直角坐标系内的直线都适用都适用3.3.过过PP11（xx11，yy11），），PP22（xx22，yy22）的直线方程）的直线方程（11）若）若xx11=xx22,且且yy11yy22时，直线垂直于时，直线垂直于xx轴，方程轴，方程为为;

（2）

（2）若若xx11xx22,且且yy11=yy22时，直线垂直于时，直线垂直于yy轴，方程为轴，方程为;（3）（3）若若xx11=xx22=0=0，且，且yy11yy22时，直线即为时，直线即为yy轴，方程轴，方程为为;（4）（4）若若xx11xx22,且且yy11=yy22=0=0时，直线即为时，直线即为xx轴，方程轴，方程为为.xx=xx11yy=yy11xx=0=0yy=0=04.4.线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式若点若点PP11、PP22的坐标分别为（的坐标分别为（xx11，yy11），），（xx22，yy22），且线段），且线段PP11PP22的中点的中点MM的坐标为（的坐标为（xx,yy），），则则，此公式为线段，此公式为线段PP11PP22的中点的中点坐标公式坐标公式.题型一题型一直线的倾斜角直线的倾斜角【例例11】若若，则直线，则直线22xxcos+3cos+3yy+1=0+1=0的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是（）A.B.A.B.C.D.C.D.题型分类题型分类深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围范围，再确定倾斜角范围.解析解析设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为,则则tan=-tan=-coscos,又又，00coscos,coscos00即即-tan-tan0,0,注意到注意到00,.答案答案B思维启迪思维启迪从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围范围，再确定倾斜角范围.解析解析设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为,则则tan=-tan=-coscos,又又，00coscos,coscos00即即-tan-tan0,0,注意到注意到00,.答案答案B探究提高探究提高（11）求一个角的范围，是先求这个角）求一个角的范围，是先求这个角某一个函数值的范围，再确定角的范围某一个函数值的范围，再确定角的范围.（22）在已知两个变量之间的关系式要求其中一）在已知两个变量之间的关系式要求其中一个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的是消去变量是消去变量得到。

得到。

题型二题型二直线的斜率直线的斜率【例例22】已知直线已知直线ll过点过点PP（-1-1，22），且与以），且与以AA（-2-2，-3-3），），BB（33，00）为端点的线段相交，）为端点的线段相交，求直线求直线ll的斜率的取值范围的斜率的取值范围.分别求出分别求出PAPA、PBPB的斜率，直线的斜率，直线ll处处于直线于直线PAPA、PBPB之间，根据斜率的几何意义利之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求用数形结合即可求.解解方法一方法一如图所示，直线如图所示，直线PAPA的斜率的斜率直线直线PBPB的斜率的斜率思维启迪思维启迪当直线当直线ll绕着点绕着点PP由由PAPA旋转到与旋转到与yy轴平行的位置轴平行的位置PCPC时，它的斜率变化范围是时，它的斜率变化范围是55，+）；）；当直线当直线ll绕着点绕着点PP由由PCPC旋转到旋转到PBPB的位置时，它的斜的位置时，它的斜率的变化范围是率的变化范围是直线直线ll的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是方法二方法二设直线设直线ll的斜率为的斜率为kk，则直线，则直线ll的方程为的方程为yy-2=-2=kk（xx+1+1），），即即kxkx-yy+kk+2=0.+2=0.AA、BB两点在直线的两侧或其中一点在直线两点在直线的两侧或其中一点在直线ll上，上，（-2-2kk+3+3+kk+2+2）（）（33kk-0+-0+kk+2+2）00，即即（kk-5-5）（）（44kk+2+2）00，kk55或或kk-.-.即直线即直线ll的斜率的斜率kk的取值范围是的取值范围是55，+）.方法一方法一运用了数形结合思想运用了数形结合思想.当直线当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数需根据正切函数yy=tan=tan的单调性求的单调性求kk的范围，数的范围，数形结合是解析几何中的重要方法形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决的平面区域的性质使问题得以解决.探究提高探究提高三、解答题三、解答题10.10.已知线段已知线段PQPQ两端点的坐标分别为（两端点的坐标分别为（-1-1，11）、）、（22，22），若直线），若直线ll:

xx+mymy+mm=0=0与线段与线段PQPQ有交点，有交点，求求mm的范围的范围.解解方法一方法一直线直线xx+mymy+mm=0=0恒过恒过AA（00，-1-1）点）点.kkAPAP=-2=-2，又又mm=0=0时直线时直线xx+mymy+mm=0=0与线段与线段PQPQ有交点，有交点，所求所求mm的范围是的范围是mm.方法二方法二过过PP、QQ两点的直线方程为两点的直线方程为yy-1=-1=即即代入代入xx+mymy+mm=0,=0,整理得：

整理得：

由已知由已知-12,-12,解得：

解得：

-mm.题型三题型三求直线的方程求直线的方程【例例33】求适合下列条件的直线方程：

求适合下列条件的直线方程：

（11）经过点）经过点PP（33，22），且在两坐标轴上的截距），且在两坐标轴上的截距相等；相等；（22）经过点）经过点AA（-1-1，-3-3），且倾斜角等于直线），且倾斜角等于直线yy=33xx的倾斜角的的倾斜角的22倍倍.选择适当的直线方程形式，把所需要选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可的条件求出即可.解解（11）方法一方法一设直线设直线ll在在xx,yy轴上的截距均为轴上的截距均为aa,若若aa=0=0，即，即ll过点（过点（00，00）和（）和（33，22），），ll的方程为的方程为yy=xx，即，即22xx-3-3yy=0.=0.思维启迪思维启迪若若aa00，则设，则设ll的方程为的方程为ll过点（过点（33，22），），aa=5=5，ll的方程为的方程为xx+yy-5=0,-5=0,综上可知，直线综上可知，直线ll的方程为的方程为22xx-3-3yy=0=0或或xx+yy-5=0.-5=0.方法二方法二由题意知，所求直线的斜率由题意知，所求直线的斜率kk存在且存在且kk0,0,设直线方程为设直线方程为yy-2=-2=kk（xx-3）,-3）,令令yy=0=0，得，得xx=3-,=3-,令令xx=0,=0,得得yy=2-3=2-3kk,由已知由已知3-=2-33-=2-3kk，解得，解得kk=-1=-1或或kk=,=,直线直线ll的方程为的方程为yy-2=-2=-（xx-3-3）或）或yy-2=（-2=（xx-3）,-3）,即即xx+yy-5=0-5=0或或22xx-3-3yy=0.=0.（22）由已知：

设直线）由已知：

设直线yy=3=3xx的倾斜角为的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为则所求直线的倾斜角为2.2.tan=3,tan2=tan=3,tan2=又直线经过点又直线经过点AA（-1-1，-3-3），），因此所求直线方程为因此所求直线方程为yy+3=-（+3=-（xx+1）,+1）,即即33xx+4+4yy+15=0.+15=0.探究提高探究提高在求直线方程时，应先选择适当的直在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距判断截距是否为零，是否为零，若采用点斜式，应先若采用点斜式，应先考虑斜率不存