数学归纳法上课.ppt

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2.3数学归纳法数学归纳法2.3数学归纳法数学归纳法课题引入课题引入不完全归不完全归纳法纳法费马费马（Fermat）是）是1717世纪法国著名的数学世纪法国著名的数学家，他曾认为，当家，他曾认为，当nnNN时，时，一定都是一定都是质数，这是他观察当质数，这是他观察当nn00，11，22，33，44时时的值都是质数，提出猜想得到的半个世的值都是质数，提出猜想得到的半个世纪后，纪后，1818世纪伟大的瑞士科学家欧拉世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现）发现4294967297429496729767004176700417641641，从而否定了费马的推测，从而否定了费马的推测没想到当没想到当nn55这一结论便不成立这一结论便不成立举例说明举例说明：

一个数列的通项公式是：

一个数列的通项公式是：

an=（n25n+5）2请算出请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测猜测an?

由于由于a5251，所以猜测是不正确的，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论所以由归纳法得到的结论不一定可靠不一定可靠1111猜测是否正确呢？

猜测是否正确呢？

在使用归纳法探究数学命题时，必在使用归纳法探究数学命题时，必须对须对任何可能的情况任何可能的情况进行论证后，才能进行论证后，才能判别命题正确与否。

判别命题正确与否。

思考思考11：

与正整数与正整数nn有关的数学命题能否有关的数学命题能否通过通过一一验证一一验证的办法来加以证明呢？

的办法来加以证明呢？

思考思考22：

如果一个数学命题与正整数如果一个数学命题与正整数nn有有关关,我们能否找到一种既简单又有效的证我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？

明方法呢？

思考：

这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒思考：

这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？

下的条件是什么？

多米诺骨牌（多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨）是一种用木制、骨制或制或塑料塑料制成的长方形制成的长方形骨牌骨牌。

玩时将骨牌。

玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。

倒下。

多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。

多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。

一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。

骨牌需要一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。

骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。

力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。

多米诺是种文化。

它起源于多米诺是种文化。

它起源于中国中国，有着上千年的历史。

，有着上千年的历史。

只要满足以下两个条件，所有多米诺骨只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：

牌就能全部倒下：

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

一定导致后一块倒下。

（依据）（依据）条件（条件

（2）事实上给出了一个递推关系：

当）事实上给出了一个递推关系：

当第第k块倒下时，相邻的第块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

块也倒下。

思考思考：

你认为证明数列的通项公式：

你认为证明数列的通项公式是是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？

你这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？

你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下；（基础）

（1）第一张骨牌必须能倒下）第一张骨牌必须能倒下

（2）假若第）假若第k（k1）张能倒下）张能倒下时，一定能压倒紧挨着它的时，一定能压倒紧挨着它的第第k+1张骨牌张骨牌（游戏开始的基础）（游戏开始的基础）（游戏继续的条件）（游戏继续的条件）分析：

分析：

能够使游戏一直连续运行的条件：

能够使游戏一直连续运行的条件：

类似地，把关于自然数类似地，把关于自然数n的命题的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法：

运行条件的方法：

（递推基础）（递推基础）（递推依据）（递推依据）由（由

（1）（）

（2）知，游戏可以一直）知，游戏可以一直连续运行。

连续运行。

由（由

（1）（）

（2）知，命题对于一切）知，命题对于一切nn。

的自然数。

的自然数n都正确。

都正确。

我们把以上证明关于自然数我们把以上证明关于自然数n的的命题的方法，叫做数学归纳法。

命题的方法，叫做数学归纳法。

2、根据相似性，规范两步骤、根据相似性，规范两步骤证明一个与正整数证明一个与正整数nn有关的数学命题有关的数学命题关键步骤如下：

关键步骤如下：

这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法

（1）

（1）证明证明当当nn取第一个值取第一个值nn00时命题成立时命题成立完成这两个步骤后完成这两个步骤后,就可以断定：

就可以断定：

命题对从命题对从开始的所有正整数开始的所有正整数nn都成立都成立

（2）

（2）假设假设当当时时,命题成立命题成立证明证明当当时时,命题也成立命题也成立（基础）（基础）（依据）（依据）例题例题1例题例题1：

已知数列：

已知数列an中，中，a1=1,an+1=an/（an+1）,用数学归纳法证明：

对所有的用数学归纳法证明：

对所有的正整数正整数n,有有an=1/na1=1成立成立假设假设ak=1/k成立成立,若证出若证出ak+1=1/（k+1）成立成立命题命题an=1/n成立成立.第第1张骨牌倒下张骨牌倒下.假设第假设第k张骨牌倒下张骨牌倒下保证第保证第k+1张倒下张倒下第第n张骨牌倒下张骨牌倒下骨牌倒下骨牌倒下命题成立命题成立类比例例22、用数学归纳法证明：

用数学归纳法证明：

1+3+5+1+3+5+（2n-1）n2

（2）假设假设nk时，等式成立，即时，等式成立，即

（1）n1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立；，等式成立；1+3+5+1+3+5+（2k-1）k2那么当那么当nk+1时，时，由由、可知对任何可知对任何nN*时，等式都成立时，等式都成立需要证明的式子是需要证明的式子是?

1+3+5+1+3+5+（2k-1）+（2k+1）k2+（2k+1）（）（k+1）2这就是说，当这就是说，当nn=kk+1+1时，等式也成立时，等式也成立证明：

证明：

（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。

等式成立。

例题例题3：

用数学归纳法证明：

用数学归纳法证明

（2）假设假设当当n=k时，等式成立，时，等式成立，即即那么：

那么：

左边=12+22+k2+（k+1）2右边右边即当即当n=k+1时等式时等式也也成立。

成立。

根据（根据

（1）和（）和

（2），可知命题），可知命题对任何对任何nN都都成立。

成立。

数学归纳法数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。

是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。

主要有主要有两个步骤、一个结论两个步骤、一个结论:

（11）证明当）证明当nn取第一个值取第一个值nn00（如（如nn00=1=1或或22等）时结论正确等）时结论正确（22）假设）假设n=k（kNn=k（kN，且且knkn00）时结论正确，时结论正确，证明证明n=k+1n=k+1时结论也正确时结论也正确由（由（11）、（）、（22）得出结论正确）得出结论正确（命题成立命题成立）。

找准起点找准起点奠基要稳奠基要稳用上假设用上假设递推才真递推才真写明结论写明结论才算完整才算完整数学归纳法的概念数学归纳法的概念四、案例分析：

四、案例分析：

（缺少初始步缺少初始步）设设nN+，求证：

，求证：

2+4+6+2n=n2+n+1证明：

假设当证明：

假设当n=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么,当当n=k+1时，有时，有2+4+6+2k=k2+k+1,2+4+6+2k+2（k+1）=k2+k+1+2（k+1）=（k+1）2+（k+1）+1,这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立时等式也成立.所以，对一切所以，对一切nN+等式都成立等式都成立.案例一：

案例一：

缺乏缺乏“递推基础递推基础”事实上，我们可以事实上，我们可以用等差数列求和公用等差数列求和公式验证原等式是不式验证原等式是不成立的！

成立的！

案例二：

案例二：

设设nN+，求证：

，求证：

2+4+6+2n=n2+n证明证明:

（1）当当n=1时时,左边左边=2,右边右边=12+1=2,等式成立等式成立.

（2）假设当假设当n=k时等式成立，即时等式成立，即2+4+6+2k=k2+k,那么那么,当当n=k+1时，有时，有2+4+6+2k+2（k+1）=（k+1）2+2（k+1）2=（k+1）2+（k+1）+1,这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立时等式也成立.所以，对一切所以，对一切nN+等式都成立等式都成立.评注：

证明递推步时一定要用假设的结论，否则评注：

证明递推步时一定要用假设的结论，否则递推关系不能成立递推关系不能成立.（未证递推步未证递推步）没有用上没有用上“假假设设”，故此法，故此法不是数学归纳不是数学归纳法法请修改为数学归纳法请修改为数学归纳法证明：

明：

当当n=1时，左，左边右右边假假设n=k时，等式成立，等式成立，那么那么n=k+1时等式成立等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立根据（根据

（1）和（）和

（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立即即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求数学归纳法的证明要求案例案例33：

下面是某同学下面是某同学用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式成立的过程成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？

为什么它符合数学归纳法的证明要求吗？

为什么？

（nN）nn2112121212132-=L因此，用数学归纳法证明命因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。

第一题的两个步骤，缺一不可。

第一步是步是递推的递推的基础基础，第二步是，第二步是递递推的推的依依据据。

缺了第一步递推失。

缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。

依据，因此无法递推下去。

v练习1用数学归纳法证明12（2n1）（n1）（2n1）时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是（）vA1B13vC123D1234v答案Cv解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C.v答案D六、课后作业：

六、课后作业：

1、用数学归纳法证明：

、用数学归纳法证明：

在在验证时，等式左，等式左边的的项是（是（）A、BB、CC、DD、C22、用数学、用数学归纳法法证明：

明：

1+1+时，由，由递推到推到时左左边需添的需添的项是（是（）DD、BB、CC、AA、D33、用数学、用数学归纳法法证明不等式明不等式时的过程中，由到到时，不等式的左，不等式的左边（）AA、增加了一、增加了一项BB、增加了一、增加了一项，又减少了一，又减少了一项CC、增加了两、增加了两项DD、增加两、增加两项，又减少了一，又减少了一项D2.数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：

数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：

（1）证明当证明当取第一个值取第一个值（如（如或或2等）时命题成立等）时命题成立递推基递推基础础

（2）假设假设时时命题成立命题成立证明证明时命题也成立时命题也成立递推依据递推依据在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始开始的的所有正整数所有正整数n都成立都成立1.数学归纳法数学归纳法适用范围适用范围:

仅限于与正整数有关的数学命题仅限于与正整数有关的数学命题3.数学归纳法数学归纳法优点优点：

克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，：

克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论又克服了不完全归纳法结论不可靠不可靠的不足，是一种科学方