1 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数.docx
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1第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识点
考纲下载
任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数
了解任意角的概念.
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.
能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦及正切公式
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
简单的三角恒等变换
能运用公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
三角函数的图象与性质
能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.
理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用
了解函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义；能画出y＝Asin（ωx＋φ）的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
解三角形应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．任意角的概念
（1）定义：
角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）角的分类
按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：
角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
（3）终边相同的角：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
（1）定义：
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
（2）公式
角α的弧度数公式
|α|＝
角度与弧度的换算
1°＝rad，1rad＝°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|·r
扇形面积公式
S＝l·r＝|α|·r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么
y叫做α的正弦，记作sinα
x叫做α的余弦，记作cosα
叫做α的正切，记作tanα
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线
有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（ ）
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（ ）
（3）不相等的角终边一定不相同．（ ）
（4）终边相同的角的同一三角函数值相等．（ ）
（5）若α∈，则tanα＞sinα.（ ）
（6）若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）× （4）√ （5）√ （6）√
（教材习题改编）若θ满足sinθ＜0，cosθ＞0，则θ的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
选D.由sinθ＜0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合，cosθ＞0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限．
若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________．
解析：
因为α＝1560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：
120°或－240°
已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
解析：
设此扇形的半径为r，
由题意得r＝2π，所以r＝6，
所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.
答案：
6π
象限角及终边相同的角
[典例引领]
（1）若角α是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
（2）终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为________．
【解析】
（1）因为α是第二象限角，
所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
（2）如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π）内，终边在直线y＝x上的角有两个：
，π；在[－2π，0）内满足条件的角有两个：
－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.
【答案】
（1）C
（2）
在本例
（1）的条件下，判断2α为第几象限角？
解：
因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z），则180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°（k∈Z），所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
（1）表示区间角集合的三个步骤
（2）求或nθ（n∈N*）所在象限（位置）的方法
①将θ的范围用不等式（含有k）表示．
②两边同除以n或乘以n.
③对k进行讨论，得到或nθ（n∈N*）所在的象限（位置）．
[通关练习]
1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：
所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°（k∈Z），
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，
代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：
－675°或－315°
2．若sinα·tanα<0，且<0，则α是第________象限角．
解析：
由sinα·tanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角；由<0，可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．
答案：
三
扇形的弧长、面积公式
[典例引领]
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解】
（1）α＝60°＝，
l＝10×＝（cm）．
（2）由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，
所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10cm，α＝2rad.
弧长、扇形面积问题的解题策略
（1）明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2（其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角）．
（2）求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．
[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．
[通关练习]
1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．4 B．2
C．8D．1
解析：
选A.设扇形的弧长为l，则l·2＝8，
即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为＝4.
2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
解析：
设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，
所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
答案：
三角函数的定义（高频考点）
三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，主要有以下四个命题角度：
（1）利用三角函数定义求值；
（2）判断三角函数值的符号；
（3）利用三角函数线解三角不等式；
（4）三角函数定义中的创新．
[典例引领]
角度一 利用三角函数定义求值
已知α是第二象限的角，其终边的一点为P（x，），且cosα＝x，则tanα＝（ ）
A.B.
C．－D．－
【解析】 因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P（x，），且cosα＝x，所以x＜0，cosα＝＝x，解得x＝－，所以tanα＝＝－.
【答案】 D
角度二 判断三角函数值的符号
若tanα>0，则（ ）
A．sinα>0B．cosα>0
C．sin2α>0D．cos2α>0
【解析】 因为tanα＞0，所以α∈（k∈Z）是第一、三象限角．
所以sinα，cosα都可正、可负，排除A，B.
而2α∈（2kπ，2kπ＋π）（k∈Z），
结合正弦函数图象可知，C正确．
取α＝，则tanα＝1>0，而cos2α＝0，故D不正确．
【答案】 C
角度三 利用三角函数线解三角不等式
函数y＝的定义域为________．
【解析】 由题意，得sinx≥，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（图中阴影部分）即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为.
【答案】 ，k∈Z
角度四 三角函数定义中的创新
（2018·南昌质检）
如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
【解析】 因为P0（，－），所以∠P0Ox＝－.
因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－.
由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，
因此d＝2.
令t＝0，则d＝2＝.
当t＝时，d＝0，故选C.
【答案】 C
（1）定义法求三角函数值的三种情况
①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．（如例3 1）．
③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
（2）三角函数值的符号及角的位置的判断
已知一角的三角函数值（sinα，cosα，tanα）中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
[提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
[通关练习]
1．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，1）
C．（，）D．（1，1）
解析：
选D.设点P的坐标为（x，y），
则由三角函数的定义得
即
故点P的坐标为（1，1）．
2．已知角α的终边经过点P（－，m），且sinα＝m（m≠0），则角α为第________象限角．
解析：
依题意，点P到原点O的距离为
r＝＝，
所以sinα＝，
又因为sinα＝m，m≠0，
所以＝m，
所以m2＝，
所以m＝±.
所以点P在第二或第三象限．
答案：
二或三
终边相同角的问题
（1）轴线角
终边在x轴上的角：
{α|α＝kπ，k∈Z}；
终边在y轴上的角：
；
终边在坐标轴上的角：
.
（2）终边对称角
角β与角α的终边关于x轴对称，则{β|β＝－α＋2kπ，k∈Z}；
角β与角α的终边关于y轴对称，则{β|β＝π－α＋2kπ，k∈Z}；
角β与角α的终边关于原点对称，则{β|β＝α＋kπ，k∈Z}；
由三角函数值的符号判断角所在的象限方法
当角θ为第一象限角时，sinθ＞0，cosθ＞0，tanθ＞0，反之也成立；
当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，反之也成立；
当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，反之也成立；
当角θ为第四象限角时，sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0，反之也成立．
易错防范
（1）注意易混概念的区别：
象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）三角函数的定义中，当P（x，y）是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（ ）
A. B.
C．－D．－
解析：
选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.
即为－×2π＝－.
2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
解析：
选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝r2α＝r2×4，求得r＝1，l＝αr＝4，
所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
3．已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°），且cosα＝－，则m的值为（ ）
A．－B.
C．－D.
解析：
选B.因为r＝，
所以cosα＝＝－，
所以m＞0，所以＝，因此m＝.
4．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
解析：
选C.当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋（n∈Z），此时α的终边和≤α≤的终边一样．当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋（n∈Z），此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样．故选C.
5．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C.因为点P在第四象限，根据三角函数的定义可知tanθ＝＝－，
又由θ∈[0，2π）可得θ＝π，故选C.
6．已知点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，则角θ是第________象限角．
解析：
因为点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，所以sinθcosθ<0，2cosθ<0，即所以θ为第二象限角．
答案：
二
7．顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB的长为________．
解析：
由三角函数的定义得A（cos30°，sin30°），B（cos60°，sin60°），即A，B.
所以|AB|＝
＝＝.
答案：
8．函数y＝的定义域为________．
解析：
因为2cosx－1≥0，
所以cosx≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围（如图阴影所示）．
所以x∈（k∈Z）．
答案：
（k∈Z）
9．已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sinα＝，求cosα，tanα的值．
解：
设P（x，y）．由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝（－）2＋m2（O为原点），r＝.
所以sinα＝＝＝，
所以r＝＝2，3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cosα＝＝－，tanα＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cosα＝＝－，tanα＝.
10．已知扇形AOB的周长为8.
（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：
设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
（1）由题意可得
解得或
所以α＝＝或α＝＝6.
（2）因为2r＋l＝8，
所以S扇＝lr＝l·2r
≤（）2＝×（）2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.
1．若α是第三象限角，则y＝＋的值为（ ）
A．0B．2
C．－2D．2或－2
解析：
选A.因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋π（k∈Z），
所以kπ＋＜＜kπ＋（k∈Z），
所以是第二象限角或第四象限角．
当是第二象限角时，
y＝－＝0，
当是第四象限角时，
y＝－＋＝0.故选A.
2．若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是（ ）
A．sinα＜tanα＜cosαB．cosα＜sinα＜tanα
C．sinα＜cosα＜tanαD．tanα＜sinα＜cosα
解析：
选C.如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT＞OM＞MP，故有sinα＜cosα＜tanα.
3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．
解析：
设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R（其中r＜R），则＝，
所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.
答案：
1∶2
4．已知x∈R，则使sinx>cosx成立的x的取值范围是________．
解析：
在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x∈（，）时，sinx>cosx，所以在（－∞，＋∞）上使sinx>cosx成立的x的取值范围是（2kπ＋，2kπ＋），k∈Z.
答案：
（2kπ＋，2kπ＋），k∈Z
5．若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0）．
（1）求sinθ＋cosθ的值；
（2）试判断cos（sinθ）·sin（cosθ）的符号．
解：
（1）因为角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝.
（2）当a＞0时，sinθ＝∈，
cosθ＝－∈，
则cos（sinθ）·sin（cosθ）
＝cos·sin＜0；
当a＜0时，sinθ＝－∈，
cosθ＝∈，
则cos（sinθ）·sin（cosθ）
＝cos·sin＞0.
综上，当a＞0时，cos（sinθ）·sin（cosθ）的符号为负；当a＜0时，cos（sinθ）·sin（cosθ）的符号为正．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为－，求tanα的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：
（1）由题意可得B，
根据三角函数的定义得tanα＝＝－.
（2）若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为
.
（3）若α∈，
则S扇形＝αr2＝α，
而S△AOB＝×1×1×sinα＝sinα，
故弓形的面积
S＝S扇形－S△AOB＝α－sinα，α∈.
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