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1、1 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点考纲下载任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 了解任意角的概念. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.同角三角函数的基本关系式与诱导公式 理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x. 能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦及正切公式 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它

2、们的内在联系.简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角函数的图象与性质 能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性. 理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用 了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.正弦定理和余弦定理

3、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.解三角形应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度

4、制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|角度与弧度的换算1rad，1 rad5718弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正 弦余 弦正 切定 义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()

5、(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等()(5)若，则tan sin .()(6)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6) (教材习题改编)若满足sin 0，cos 0，则的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D.由sin 0，的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合，cos 0，的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x轴的非负半轴重合，故的终边在第四象限 若1 560，角与终边相同，且360360，则_解析：

6、因为1 5604360120，所以与终边相同的角为360k120，kZ，令k1或k0可得240或120.答案：120或240 已知扇形的圆心角为60，其弧长为2，则此扇形的面积为_解析：设此扇形的半径为r，由题意得r2，所以r6，所以此扇形的面积为266.答案：6象限角及终边相同的角 典例引领 (1)若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_【解析】(1)因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角(2)如图，在坐标系中画出直线yx

7、，可以发现它与x轴的夹角是，在0，2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.【答案】(1)C(2)在本例(1)的条件下，判断2为第几象限角？解：因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)，则1802k36023602k360(kZ)，所以2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角(1)表示区间角集合的三个步骤(2)求或n(nN*)所在象限(位置)的方法将的范围用不等式(含有k)表示两边同除以n或乘以n.对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限(位置)通关练习1在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析

8、：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.答案：675或3152若sin tan 0，且0，则是第_象限角解析：由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限角；由0，则()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20【解析】因为tan 0，所以(kZ)是第一、三象限角所以sin ，cos 都可正、可负，排除A，B.而2(2k，2k)(kZ)，结合正弦函数图象可知，C正确取，则tan 10，而cos 20，故D不正确【答案】C角度三利用三角函数线解三角

9、不等式 函数y 的定义域为_【解析】由题意，得sin x，作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为.【答案】，kZ角度四三角函数定义中的创新 (2018南昌质检)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】因为P0(，)，所以P0Ox.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得POP0t，所以POxt.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d2.令t0，则d2.当t时，d0，故选C.【答案】C(1)

10、定义法求三角函数值的三种情况已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(如例31)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况提醒若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同) 通关练习1

11、已知角的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角终边上的一点P到原点的距离为，若，则点P的坐标为()A(1，) B(，1)C(，) D(1，1)解析：选D.设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得即故点P的坐标为(1，1)2已知角的终边经过点P(，m)，且sin m(m0)，则角为第_象限角解析：依题意，点P到原点O的距离为r ，所以sin ，又因为sin m，m0，所以m，所以m2，所以m.所以点P在第二或第三象限答案：二或三 终边相同角的问题(1)轴线角终边在x轴上的角：|k，kZ；终边在y轴上的角：；终边在坐标轴上的角：.(2)终边对称角角与角的终边关于x轴对称，则|2k，kZ；

12、角与角的终边关于y轴对称，则|2k，kZ；角与角的终边关于原点对称，则|k，kZ； 由三角函数值的符号判断角所在的象限方法当角为第一象限角时，sin 0，cos 0，tan 0，反之也成立；当角为第二象限角时，sin 0，cos 0，tan 0，反之也成立；当角为第三象限角时，sin 0，cos 0，tan 0，反之也成立；当角为第四象限角时，sin 0，cos 0，tan 0，反之也成立 易错防范(1)注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可

13、混用(3)三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan . 1将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A. B.C D解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为2.2已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A2 B4C6 D8解析：选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2lrr2r24，求得r1，lr4，所以所求扇形的周长为2rl6.3已知角的终边过点P(8m，6

14、sin 30)，且cos ，则m的值为()A B.C D.解析：选B.因为r，所以cos ，所以m0，所以，因此m.4集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C.当k2n时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样当k2n1时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样故选C.5已知点P在角的终边上，且0，2)，则的值为()A. B.C. D.解析：选C.因为点P在第四象限，根据三角函数的定义可知tan ，又由0，2)可得，故选C.6已知点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角是第_象限角解析：因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0，2

15、cos cos x成立的x的取值范围是_解析：在0，2区间内，由三角函数线可知，当x(，)时，sin xcos x，所以在(，)上使sin xcos x成立的x的取值范围是(2k，2k)，kZ.答案：(2k，2k)，kZ5若角的终边过点P(4a，3a)(a0)(1)求sin cos 的值；(2)试判断cos(sin )sin(cos )的符号解：(1)因为角的终边过点P(4a，3a)(a0)，所以x4a，y3a，r5|a|，当a0时，r5a，sin cos .当a0时，r5a，sin cos .(2)当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cos sin0；当a0时

16、，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cossin 0.综上，当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为负；当a0时，cos(sin )sin (cos )的符号为正6如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动(1)若点B的横坐标为，求tan 的值；(2)若AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan .(2)若AOB为等边三角形，则AOB，故与角终边相同的角的集合为.(3)若，则S扇形r2，而SAOB11sin sin ，故弓形的面积SS扇形SAOBsin ，.