专题1二次函数与等腰三角形问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版.docx

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专题1二次函数与等腰三角形问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题1二次函数与等腰三角形问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：

分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图1，如果AB

＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么

；③如图3，如果CA＝CB，那么

．

代数法一般也分三步：

罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

图1图2图3

【例1】（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；

（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．

【例2】（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝

经过点A，且与y轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；

（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

【例3】（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣

x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；

（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

【例4】（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？

若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．

（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？

若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【例5】（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；

（3）如图2，在

（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？

若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【题组一】

1．（2021•无为市三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；

（3）直线l：

y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．

2．（2021•渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线

与x轴相交于A（6，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，D为抛物线顶点，连接AD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，P为直线AD下方抛物线上的一个动点（不与A、D重合），连接PA，PD，求△APD面积的最大值及相应点P的坐标；

（3）如图3，连接AC，将直线AC沿射线DA方向平移

个单位得到直线l，直线l与抛物线的两个交点分别为M，N（M在N的左侧），在抛物线对称轴上是否存在点K，使△CMK是以KC为腰的等腰三角形？

若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2021•广东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣

，连接AC，BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？

如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．

4．（2021•北碚区校级模拟）如图，抛物线y＝

x2﹣

x﹣

与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求直线CE的解析式．

（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．

（3）如图3，连接CD，将

（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？

若存在，求出点G的坐标．

【题组二】

5．（2020•山西模拟）综合与实践

如图，抛物线y

与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）求t为何值时，△BDE是等腰三角形；

（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：

4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

6．（2020•三水区一模）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？

若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．

7．（2020•潮南区模拟）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式．

（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？

若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．

8．（2020•南召县一模）如图，二次函数y

bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）直接写出二次函数的解析式；

（2）当P，Q运动到t秒时，将△APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；

（3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．

【题组三】

9．（2020•番禺区一模）如图，经过原点的抛物线y＝ax2﹣x+b与直线y＝2交于A，C两点，其对称轴是直线x＝2，抛物线与x轴的另一个交点为D，线段AC与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；

（2）若点E为线段BC上一点，且EC﹣EA＝2，点P（0，t）为线段OB上不与端点重合的动点，连接PE，过点E作直线PE的垂线交x轴于点F，连接PF，探究在P点运动过程中，线段PE，PF有何数量关系？

并证明所探究的结论；

（3）设抛物线顶点为M，求当t为何值时，△DMF为等腰三角形？

10．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，抛物线y＝ax2

x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（﹣1，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE

S△ABC，求E的坐标；

（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．

11．（2020•贵州省黔东南州中考第25题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．

（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2020•山东省枣庄市中考第25题）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【题组四】

13．（2020•湖北省武汉市中考第24题）将抛物线C：

y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．

（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；

（2）如图

（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；

（3）如图

（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y

x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：

直线MN经过一个定点．

14．（2021•建华区二模）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝　　；

（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；

（4）在（3）的条件下：

当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2021•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．

（1）求该抛物线与直线AC的解析式；

（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；

（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2

个单位长度，得到新抛物线：

y1＝a1x2+b1x+c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m（m是常数）．

（1）求证：

不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；

（2）二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为B，将二次函数的图象沿y轴翻折，所得图象的顶点为B1，若△ABB1是等边三角形，求m的值．

【题组五】

17．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．

（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；

（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

18．（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：

y＝a（x﹣

）2+

与x轴交于点A（﹣

，0）和点B，与y轴交于点C．

（1）求抛物线F1的表达式；

（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．

①求点D的坐标；

②判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（2020•番禺区一模）如图，经过原点的抛物线y＝ax2﹣x+b与直线y＝2交于A，C两点，其对称轴是直线x＝2，抛物线与x轴的另一个交点为D，线段AC与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；

（2）若点E为线段BC上一点，且EC﹣EA＝2，点P（0，t）为线段OB上不与端点重合的动点，连接PE，过点E作直线PE的垂线交x轴于点F，连接PF，探究在P点运动过程中，线段PE，PF有何数量关系？

并证明所探究的结论；

（3）设抛物线顶点为M，求当t为何值时，△DMF为等腰三角形？

20．（2020•义乌市校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B．

（1）求点B的坐标；

（2）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD＝

，求这个二次函数的表达式；

（3）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．