人教版九年级数学上册全册导学案含答案40页.docx
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人教版九年级数学上册全册导学案含答案40页
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）及有关概念．
3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．
重点：
一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．
难点：
由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．（10分钟）
问题1：
如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__（100－2x）cm__，宽为__（50－2x）cm__．列方程__（100－2x）·（50－2x）＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①
问题2：
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：
全部比赛的场数为__4×7＝28__．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__（x－1）__个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②
探究：
（1）方程①②中未知数的个数各是多少？
__1个__．
（2）它们最高次数分别是几次？
__2次__．
归纳：
方程①②的共同特点是：
这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数（一元），并且未知数的最高次数是__2__的方程．
1．一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数（一元），并且未知数的最高次数是__2__（二次）的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．
点拨精讲：
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（6分钟）
1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x3－2x2＋5＝0；
（2）x2＝1；
（3）5x2－2x－＝x2－2x＋；
（4）2（x＋1）2＝3（x＋1）；
（5）x2－2x＝x2＋1;（6）ax2＋bx＋c＝0.
解：
（2）（3）（4）．
点拨精讲：
有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．
2．将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：
去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.
点拨精讲：
将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
一、小组合作：
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）
1．求证：
关于x的方程（m2－8m＋17）x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：
m2－8m＋17＝（m－4）2＋1，
∵（m－4）2≥0，
∴（m－4）2＋1>0，即（m－4）2＋1≠0.
∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
点拨精讲：
要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．
2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：
将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
点拨精讲：
要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．
二、跟踪练习：
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（9分钟）
1．判断下列方程是否为一元二次方程．
（1）1－x2＝0;
（2）2（x2－1）＝3y；
（3）2x2－3x－1＝0;（4）－＝0；
（5）（x＋3）2＝（x－3）2;（6）9x2＝5－4x.
解：
（1）是；
（2）不是；（3）是；
（4）不是；（5）不是；（6）是．
2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．
解：
∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，
∴4a＋8－5＝0，
解得a＝－.
3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
解：
（1）4x2＝25，4x2－25＝0；
（2）x（x－2）＝100，x2－2x－100＝0.
学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），特别强调a≠0.
3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）
21．2 解一元二次方程
21．2.1 配方法
（1）
1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程．
2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能．
重点：
运用开平方法解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程；领会降次——转化的数学思想．
难点：
通过根据平方根的意义解形如x2＝n（n≥0）的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程．
一、自学指导．（10分钟）
问题1：
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
__10×6x2＝1500__，
由此可得__x2＝25__，
根据平方根的意义，得x＝__±5__，
即x1＝__5__，x2＝__－5__．
可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.
探究：
对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程（2x－1）2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?
方程（2x－1）2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±__，即将方程变为__2x－1＝和__2x－1＝－__两个一元一次方程，从而得到方程（2x－1）2＝5的两个解为x1＝__，x2＝____．
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．
方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成（x＋__3__）2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.
归纳：
在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，那么可得x＝±或mx＋n＝±.
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（6分钟）
解下列方程：
（1）2y2＝8；
（2）2（x－8）2＝50；
（3）（2x－1）2＋4＝0;（4）4x2－4x＋1＝0.
解：
（1）2y2＝8，
（2）2（x－8）2＝50，
y2＝4， （x－8）2＝25，
y＝±2， x－8＝±5，
∴y1＝2，y2＝－2； x－8＝5或x－8＝－5，
∴x1＝13，x2＝3；
（3）（2x－1）2＋4＝0， （4）4x2－4x＋1＝0，
（2x－1）2＝－4<0， （2x－1）2＝0，
∴原方程无解； 2x－1＝0，
∴x1＝x2＝.
点拨精讲：
观察以上各个方程能否化成x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，若能，则可运用直接开平方法解．
一、小组合作：
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）
1．用直接开平方法解下列方程：
（1）（3x＋1）2＝7;
（2）y2＋2y＋1＝24；
（3）9n2－24n＋16＝11.
解：
（1）；
（2）－1±2；（3）.
点拨精讲：
运用开平方法解形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程时，最容易出错的是漏掉负根．
2．已知关于x的方程x2＋（a2＋1）x－3＝0的一个根是1，求a的值．
解：
±1.
二、跟踪练习：
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（9分钟）
用直接开平方法解下列方程：
（1）3（x－1）2－6＝0;
（2）x2－4x＋4＝5；
（3）9x2＋6x＋1＝4;（4）36x2－1＝0；
（5）4x2＝81;（6）（x＋5）2＝25；
（7）x2＋2x＋1＝4.
解：
（1）x1＝1＋，x2＝1－；
（2）x1＝2＋，x2＝2－；
（3）x1＝－1，x2＝；
（4）x1＝，x2＝－；
（5）x1＝，x2＝－；
（6）x1＝0，x2＝－10；
（7）x1＝1，x2＝－3.
学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）
1．用直接开平方法解一元二次方程．
2．理解“降次”思想．
3．理解x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）中，为什么p≥0?
学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）
21．2.1 配方法
（2）
1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．
2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．
重点：
掌握配方法解一元二次方程．
难点：
把一元二次方程转化为形如（x－a）2＝b的过程．
（2分钟）
1．填空：
（1）x2－8x＋__16__＝（x－__4__）2；
（2）9x2＋12x＋__4__＝（3x＋__2__）2；
（3）x2＋px＋__（）2__＝（x＋____）2.
2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．
一、自学指导．（10分钟）
问题1：
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少米？
设场地的宽为xm，则长为__（x＋6）__m，根据矩形面积为16m2，得到方程__x（x＋6）＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．
探究：
怎样解方程x2＋6x－16＝0?
对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解：
移项，得x2＋6x＝16，
两边都加上__9__即__（）2__，使左边配成x2＋bx＋（）2的形式，得
__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，
左边写成平方形式，得
__（x＋3）2＝25__，
开平方，得
__x＋3＝±5__， （降次）
即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，
解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．
归纳：
通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
问题2：
解下列方程：
（1）3x2－1＝5；
（2）4（x－1）2－9＝0；
（3）4x2＋16x＋16＝9.
解：
（1）x＝±；
（2）x1＝－，x2＝；
（3）x1＝－，x2＝－.
归纳：
利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（8分钟）
1．填空：
（1）x2＋6x＋__9__＝（x＋__3__）2；
（2）x2－x＋____＝（x－____）2；
（3）4x2＋4x＋__1__＝（2x＋__1__）2.
2．解下列方程：
（1）x2＋6x＋5＝0;
（2）2x2＋6x＋2＝0；
（3）（1＋x）2＋2（1＋x）－4＝0.
解：
（1）移项，得x2＋6x＝－5，
配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，（x＋3）2＝4，
由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.
（2）移项，得2x2＋6x＝－2，
二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，
配方得x2＋3x＋（）2＝（x＋）2＝，
由此可得x＋＝±，即x1＝－，
x2＝－－.
（3）去括号，整理得x2＋4x－1＝0，
移项得x2＋4x＝1，
配方得（x＋2）2＝5，
x＋2＝±，即x1＝－2，x2＝－－2.
点拨精讲：
解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．
一、小组合作：
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（5分钟）
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，CB＝6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
解：
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：
（8－x）（6－x）＝××8×6，
即x2－14x＋24＝0，
（x－7）2＝25，
x－7＝±5，
∴x1＝12，x2＝2，
x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．
答：
2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．
点拨精讲：
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．
二、跟踪练习：
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）
1．用配方法解下列关于x的方程：
（1）2x2－4x－8＝0；
（2）x2－4x＋2＝0；
（3）x2－x－1＝0;（4）2x2＋2＝5.
解：
（1）x1＝1＋，x2＝1－；
（2）x1＝2＋，x2＝2－；
（3）x1＝＋，x2＝－；
（4）x1＝，x2＝－.
2．如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求（xy）z的值．
解：
由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋＝0，即（x－2）2＋（y＋3）2＋＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.
∴（xy）z＝[2×（－3）]－2＝.
学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）
1．用配方法解一元二次方程的步骤．
2．用配方法解一元二次方程的注意事项．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）
21．2.2 公式法
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点：
求根公式的推导和公式法的应用．
难点：
一元二次方程求根公式的推导．
（2分钟）
用配方法解方程：
（1）x2＋3x＋2＝0；
（2）2x2－3x＋5＝0.
解：
（1）x1＝－2，x2＝－1；
（2）无解．
一、自学指导．（8分钟）
问题：
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题：
已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0），试推导它的两个根x1＝，x2＝.
分析：
因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
探究：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
（2）x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．
（5）一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（5分钟）
用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
（1）2x2－3x＝0；
（2）3x2－2x＋1＝0；
（3）4x2＋x＋1＝0.
解：
（1）x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根；
（2）x1＝x2＝；有两个相等的实数根；
（3）无实数根．
点拨精讲：
Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．
一、小组合作：
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）
1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是（ B ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
2．当m为何值时，方程（m＋1）x2－（2m－3）x＋m＋1＝0，
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：
（1）m＜；
（2）m＝； （3）m＞.
3.已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：
x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：
∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴4－4（1－m）＜0，∴m＜0.
对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，
Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
二、跟踪练习：
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（10分钟）
1．利用判别式判定下列方程的根的情况：
（1）2x2－3x－＝0;
（2）16x2－24x＋9＝0；
（3）x2－4x＋9＝0;（4）3x2＋10x＝2x2＋8x.
解：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）无实数根；
（4）有两个不相等的实数根．
2．用公式法解下列方程：
（1）x2＋x－12＝0;
（2）x2－x－＝0；
（3）x2＋4x＋8＝2x＋11; （4）x（x－4）＝2－8x；
（5）x2＋2x＝0; （6）x2＋2x＋10＝0.
解：
（1）x1＝3，x2＝－4；
（2）x1＝，x2＝；
（3）x1＝1，x2＝－3；
（4）x1＝－2＋，x2＝－2－；
（5）x1＝0，x2＝－2;（6）无实数根．
点拨精讲：
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根；
（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）
1.求根公式的推导过程．
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．
3.用判别式判定一元二次方程根的情况．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）
21．2.3 因式分解法
1.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
重点：
用因式分解法解一元二次方程．
难点：
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
（2分钟）
将下列各题因式分解：
（1）am＋bm＋cm＝（__a＋b＋c__）m；
（2）a2－b2＝__（a＋b）（a－b）__；
（3）a2±2ab＋b2＝__（a±b）2__．
一、自学指导．（8分钟）
问题：
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度（单位：
m）为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？
（精确到0.01s）
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0， ①
思考：
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
分析：
方程①的右边为0，左边可以因式分解得：
x（10－4.9x）＝0，
于是得x＝0或10－4.9x＝0， ②
∴x1＝__0__，x2≈2.04．
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
点拨精讲：
（1）对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
（2）如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：
如果（x＋1）（x－1）＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（5分钟）
1．说出下列方程的根：
（1）x（x－8）＝0；
（2）（3x＋1）（2x－5）＝0.
解：
（1）x1＝0，x2＝8；
（2）x1＝－，x2＝.
2．用因式分解法解下列方程：
（1）x2－4x＝0;
（2）4x2－49＝0；
（3）5x2－20x＋20＝0.
解：
（1）x1＝0，x2＝4;
（2）x1＝，x2＝－；
（3）x1＝x2＝2.
一、小组合作：
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）
1．用因式分解法解下列方程：
（1）5x2－4x＝0；
（2）3x（2x＋1）＝4x＋2；
（3）（x＋5）2＝3x＋15.
解：
（1）x1＝0，x2＝；
（2）x1＝，x2＝－；
（3）x1＝－5，x2＝－2.
点拨精讲：
用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．
2．用因式分解法解下列方程：
（1）4x2－144＝0；
（2）（2x－1）2＝（3－x）2；
（3）5x2－2x－＝x2－2x＋；
（4）3x2－12x＝－12.
解：
（1）x1＝6，x2＝－6；
（2）x1＝，x2＝－2；
（3）x1＝，x2＝－；
（4）x1＝x2＝2.
点拨精讲：
注意本例中的方程可以试用多种方法．
二、跟踪练习：
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（10分钟）
1．用因式分解法解下列方程：
（1）x2＋x＝0;
（2）x2－2x＝0；
（3
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