期末复习学年 八年级数学上 期末复习 3《第13章轴对称》.docx

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期末复习学年八年级数学上期末复习3《第13章轴对称》

期末复习（三）　轴对称

01　　本章结构图）

02　　重难点突破

重难点1　轴对称与轴对称图形

【例1】　（绵阳中考）下列图案中，轴对称图形是（D）

1．下列图案中，是轴对称图形的有（C）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠C′＝30°，则∠A的度数为60°．

3．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（5，2），C（2，1），作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标．

解：

如图，A′（－4，6）．

重难点2　线段的垂直平分线

【例2】　已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F.求证：

BE垂直平分CD.

【思路点拨】　先根据HL证明Rt△EBC与Rt△EBD全等，可得ED＝EC，即点E在CD的垂直平分线上．又由BD＝BC可知点B在CD的垂直平分线上．最后根据两点确定一条直线得证BE就是线段CD的垂直平分线．

证明：

∵BD＝BC，

∴点B在线段CD的垂直平分线上．

又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，

∴∠EDB＝∠ACB＝90°.

在Rt△EBC与Rt△EBD中，

∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）．

∴EC＝DE.

∴点E在线段CD的垂直平分线上．

∵两点确定一条直线，

∴BE垂直平分CD.

【方法归纳】　证明某条直线垂直平分某条线段时，只要分别证明该直线上任意两点到该线段两端点的距离相等即可．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（B）

A．AE＝BE

B．AC＝BE

C．CE＝DE

D．∠CAE＝∠B

5．如图所示，已知AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，垂足是E，交BC的延长线于F，求证：

∠B＝∠CAF.

证明：

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠DAC.

∵EF垂直平分AD，

∴AF＝DF.

∴∠DAF＝∠ADF.

∴∠DAF－∠DAC＝∠ADF－∠BAD.

∴∠B＝∠CAF.

重难点3　等腰三角形的性质与判定

【例3】　如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高，BD是∠ABC的平分线，与AE相交于点D，求证：

点D在∠ACB的平分线上．

【思路点拨】　连接CD，可证明△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD，由BD是∠ABC的平分线，即可证明其结论．

证明：

连接CD.

∵AB＝AC，AE是BC边上的高，

∴∠BAE＝∠CAE.

在△BAD和△CAD中，

∴△BAD≌△CAD.

∴∠ABD＝∠ACD.

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝

∠ABC.

∴∠ACD＝

∠ACB.

∴点D在∠ACB的平分线上．

【方法归纳】　等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等，又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系增添了新的理论根据．

6．如图：

已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：

M是BE的中点．

证明：

连接BD.

∵在等边△ABC中，D是AC的中点，

∴∠DBC＝

∠ABC＝

×60°＝30°，∠ACB＝60°.

∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.

∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°.

∴∠DBC＝∠E＝30°.

∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．

又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．

7．（河北中考改编）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，当M，N满足什么条件时，△PMN为等边三角形？

解：

当OM＋ON＝2时，△PMN为等边三角形．

在OA上截取OC＝OP＝2.

∵∠AOP＝60°，

∴△OCP是等边三角形．

∴CP＝OP，∠OCP＝∠CPO＝60°.

∵MC＋OM＝2，OM＋ON＝2，∴CM＝ON.

在△MCP和△NOP中，

∵CM＝ON，∠MCP＝∠NOP＝60°，CP＝OP，

∴△MCP≌△NOP（SAS）．

∴PM＝PN，∠MPC＝∠NPO.

∴∠MPC＋∠MPO＝∠NPO＋∠MPO，即∠CPO＝∠MPN.

∴∠MPN＝60°.

∴△PMN是等边三角形．

03　　备考集训

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（北京中考）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（D）

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

2．已知点P（－2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（B）

A．（－2，1）B．（－2，－1）

C．（－1，2）D．（2，1）

3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（D）

A．△AA′P是等腰三角形

B．MN垂直平分AA′，CC′

C．△ABC与△A′B′C′面积相等

D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上

4．（广安中考）等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为（C）

A．25B．25或32

C．32D．19

5．（十堰中考）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（C）

A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm

6．（聊城中考）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（A）

A．4.5cmB．5.5cmC．6.5cmD．7cm

7．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（D）

A．90°B．75°C．70°D．60°

8．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（D）

A．6个B．7个C．8个D．9个

9．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，则下列结论中错误的是（C）

A．BD⊥ACB．∠A＝∠EDA

C．2AD＝BCD．BE＝ED

10．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（D）

A．2.5秒B．3秒

C．3.5秒D．4秒

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B＝40°．

12．如图，△ABC与△A1B1C1关于某条直线成轴对称，则∠A1＝75°．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为7．

14．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是6．

15．（江西中考）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．

16．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB＝30°，OP＝8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值8cm.

三、解答题（共52分）

17．（10分）某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？

解：

作法：

如图所示，A，B，C代替三个路口．

①连接AB，BC.

②分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P.则点P就是所求作的点．

18．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明△CEF是等腰三角形．

解：

∵∠ACB＝90°，

∴∠B＋∠BAC＝90°.

∵CD⊥AB，

∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.

∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.

∵∠EAB＋∠B＝∠CEA，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，

∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.

∴△CEF是等腰三角形．

19．（10分）如图，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为（5，5），（3，2），（6，3）．

（1）作△ABC关于直线l：

x＝1对称的△A1B1C1，点A，B，C的对称点分别是A1，B1，C1；

（2）点A1的坐标为（－3，5），点B1的坐标为（－1，2），点C1的坐标为（－4，3）．

解：

如图所示．

20．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，E，D，G分别在AB，BC，AC边上，且AE＝BD＝CG.连接AD，BG，CE，相交于F，M，N.

（1）求证：

AD＝CE；

（2）求∠DFC的度数；

（3）试判断△FMN的形状，并说明理由．

解：

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC.

又∵AE＝BD，

∴△AEC≌△BDA（SAS）．

∴AD＝CE.

（2）由

（1）知△AEC≌△BDA，

∴∠ACE＝∠BAD.

∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝60°.

（3）△FMN为等边三角形，由

（2）知∠DFC＝60°，

同理可求得∠AMG＝60°，∠BNF＝60°.

∴△FMN是等边三角形．

21．（12分）（北京中考）在等边△ABC中；

（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验，提出猜想：

在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：

要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形．

想法2：

在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.

……

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM（一种方法即可）．

解：

（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP.∴∠APB＝∠AQC.又∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.∴∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAP＝20°，∴∠CAQ＝20°.∴∠AQB＝∠CAQ＋∠C＝80°.

（2）①如图．

②利用想法1证明：

首先根据

（1）得到∠BAP＝∠CAQ，然后由轴对称，得到∠CAQ＝∠CAM，进一步得到∠CAM＝∠BAP，根据∠BAC＝60°，可以得到∠PAM＝60°，根据轴对称可知AQ＝AM，结合已知AP＝AQ，可知△APM是等边三角形，进而得到PA＝PM.

利用想法2证明：

在AB上取一点N，使BN＝BP，连接PN，CM.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，BA＝BC＝AC.∴△BPN是等边三角形，AN＝PC，BP＝NP，∠BNP＝60°.∴∠ANP＝120°.由轴对称知CM＝CQ，∠ACM＝∠ACB＝60°，∴∠PCM＝120°.由

（1）知，∠APB＝∠AQC，∴△ABP≌△ACQ（AAS）．∴BP＝CQ.∴NP＝CM.∴△ANP≌△PCM（SAS）．∴AP＝PM.