《正多边形和圆》课件.ppt

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正多边形和圆

（一）正多边形和圆

（一）问题问题3:

什么样的图形是正多边形？

什么样的图形是正多边形？

各边相等各边相等,各角也相等的多边形是正多边形各角也相等的多边形是正多边形.复习回顾：

复习回顾：

问题问题1：

n边形的内角和是边形的内角和是问题问题2：

n边形的外角和是边形的外角和是思考：

思考：

1.矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗?

菱形呢菱形呢?

正方形呢正方形呢?

为什么为什么?

矩形不是正多边形，因为四条边不都相等矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形因为四条边都相等，四个正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等角都相等.正多边形都是轴对称图形，一个正正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。

边形的中心。

正多边形的性质及对称性正多边形的性质及对称性4.边边数是数是偶数的正多边形还是中心对称图形，偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

它的中心就是对称中心。

议一议自主学习课本P45议一议；正正n边形与圆的关系边形与圆的关系1.把正把正n边形的边数无限增多边形的边数无限增多,就接近于圆就接近于圆.2.怎样由圆得到多边形呢？

怎样由圆得到多边形呢？

ABCD思考思考1:

把一个圆把一个圆4等分等分,并依次连并依次连接这些点接这些点,得到正多边形吗得到正多边形吗?

弧相等弧相等弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）多边形是正多边形多边形是正多边形思考思考2:

把一个圆把一个圆5等分等分,并依次连接这些点并依次连接这些点,得到正多边形吗得到正多边形吗?

证明：

证明：

AB=BC=CD=DE=EAABCDEAB=BC=CD=DE=EABCE=CDA=3ABA=B同理同理B=C=D=EA=B=C=D=E又又顶点顶点A、B、C、D、E都在都在O上上五边形五边形ABCDE是是O的的内接正五边形内接正五边形.定义：

定义：

把圆分成把圆分成nn（n3n3）等份：

等份：

依次连结各分点所得的多边形是这个圆依次连结各分点所得的多边形是这个圆的的内接正多边形内接正多边形.EFCD.OO中心角中心角半径半径RR边心距边心距rr正多边形的中心正多边形的中心:

一个正多边形的一个正多边形的外接圆的圆心外接圆的圆心.正多边形的半径正多边形的半径:

外接圆的半径外接圆的半径正多边形的中心角正多边形的中心角:

正多边形的每一条正多边形的每一条边所对的圆心角边所对的圆心角.正多边形的边心距：

正多边形的边心距：

中心到正多边形的中心到正多边形的一边的距离一边的距离.二二.正多边形有关的概念正多边形有关的概念AB新课讲解新课讲解中心中心EDCBAO半径半径中心角中心角边心距边心距正多边形中的有关概念：

正多边形中的有关概念：

F既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心每个每个正多边形正多边形的半径，分别将它们分割成什么的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？

它们有什么规律？

样的三角形？

它们有什么规律？

正正nn边形的边形的nn条半径分正条半径分正nn边形为边形为nn个全等的等个全等的等腰三角形腰三角形正多边形与三角形正多边形与三角形作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

边心距又把这边心距又把这nn个等腰三角形分成了个等腰三角形分成了2n2n个直角个直角三角形，这些直角三角形也是全等的三角形，这些直角三角形也是全等的EFCD.OO中心角中心角中心角中心角AABBGGGG边心距把边心距把AOBAOB分成分成22个个全等的直角三角形全等的直角三角形设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,a,半径为半径为RR,它的周长为它的周长为L=L=nana.RRaa新课讲解新课讲解EDCBAOF中心角与内角互补中心角与内角互补正正nn边形的一个内角的边形的一个内角的度数是度数是_;_;中心角是中心角是_;_;正多边形的中心角与外角的大小关正多边形的中心角与外角的大小关系是系是_._.相等相等抢答题：

抢答题：

1.o1.o是正是正与与的圆心。

的圆心。

ABCABC的中心，它是的中心，它是ABCABC的的22、OBOB叫正叫正ABCABC的的它是正它是正ABCABC的的的半径。

的半径。

33、ODOD叫作正叫作正ABCABC的的它是正它是正ABCABC的的的半径。

的半径。

ABC.OD半径半径外接外接圆圆边心距边心距内切圆内切圆外接外接圆圆内切内切圆圆4、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做正方形正方形ABCD的的5、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的ABCD.OE中心中心边心距边心距6、O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的，它是正五边形它是正五边形ABCDE的圆的半径。

的圆的半径。

7、AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的角，的角，它的度数是它的度数是DEABC.OF边心距边心距内切内切中心中心72度度88、图中正六边形、图中正六边形ABCDEFABCDEF的中心角是（的中心角是（）它的度数是（它的度数是（）99、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEFABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有什么数量关系？

为什么？

什么数量关系？

为什么？

BAEFCD.OAOB60度度解答：

正六边形的半径与边解答：

正六边形的半径与边长数量关系是相等长数量关系是相等因为：

正六边形的中心角因为：

正六边形的中心角是是6060度和半径组成的三角度和半径组成的三角形是等边三角形，所以边形是等边三角形，所以边长与半径相等。

长与半径相等。

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角中心角.正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心中心.外接圆的半径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径.中心到正多边形的距离叫做正多边形的中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距边心距.OABDEFG说出图中正多边形的说出图中正多边形的中心，半径，中心，半径，中心角，边心距，中心角，边心距，COG正多边形的正多边形的边心距边心距就是就是内切圆半径内切圆半径。

中心既是中心既是外接圆的圆心外接圆的圆心也是也是内切圆的圆心内切圆的圆心。

思考思考：

正多边形的半径是外接圆半正多边形的半径是外接圆半径径。

那么，正多边形的内切圆半径。

那么，正多边形的内切圆半径是是（用图中线段表示）（用图中线段表示）回答回答：

1.正正n边形的内角和是边形的内角和是一个内角的度数是一个内角的度数是2.正正n边形的一个中心角是边形的一个中心角是3.正正n边形的一个外角是边形的一个外角是正多边形的正多边形的中心角中心角与与外角外角度数相等度数相等例例1.求出半径为求出半径为的圆内接正三角形的边长，边心距的圆内接正三角形的边长，边心距和面积和面积.ABCDO思考：

思考：

8cm例例2、如图：

已知正六边形、如图：

已知正六边形ABCDEF的边长为的边长为6cm，

（1）求正六边形）求正六边形ABCDEF的外接圆的半径。

的外接圆的半径。

（2）求正六边形）求正六边形ABCDEF的边心距。

的边心距。

作半径作半径OA、OB；OA=OBOA=OB，AOB=60OABOAB是正三角形，是正三角形，R=AB=6cm，rr6DFABCEOHR解：

解：

（1）HHOB=60=3021答：

正六边形的外接圆半径是答：

正六边形的外接圆半径是6cm，边心距是边心距是cm。

33

（2）作）作OGAB于于H，得，得RtOHB练习：

已知正六边形练习：

已知正六边形ABCDEF的的边心距为的的边心距为r=6cm，求正六边形，求正六边形ABCDEF的外接圆的外接圆的半径的半径R。

rrDFABCEOHR例例3：

如图，正三角形：

如图，正三角形ABC的边心距的边心距r3=2,求：

求：

R,a3.ABCODS3例例4:

已知正六边形已知正六边形ABCDEF的半径的半径为为R,求这个正六边形的边长求这个正六边形的边长a6、周周长长l6、面积面积S6.ABCDEFOG学以致用：

有一个亭子学以致用：

有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m的正六边形的正六边形,求地基的周长和面积求地基的周长和面积（精确精确到到0.1m2）.解解:

如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径径.因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长l=46=24（m）.在在RtOPC中中,OC=4,PC=利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距亭子地基的面积亭子地基的面积OABCDEFRPr解：

连接解：

连接OB，OC作作OEBC垂足为垂足为E，OEB=90OBE=BOE=45在在RtOBE中中BACDOE已知：

正方形已知：

正方形半径为半径为R，求，求它的边心距，它的边心距，边长和面积边长和面积2.求半径为求半径为2的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边长的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比的比。

222思考思考：

同一圆的内接正三角形，正方形，：

同一圆的内接正三角形，正方形，正六边形中，周长最大的是正六边形中，周长最大的是正六边形正六边形那么半径为那么半径为n呢？

呢？

ABCDEFO1.如图正六边形如图正六边形ABCDEF内接于内接于O，则，则ADB的度数的度数是是O圆内接正六边形的圆内接正六边形的边长边长与与半径半径。

相等相等ABO是正三角形是正三角形2.如果一个正多边形的每个外角都等于如果一个正多边形的每个外角都等于360，则这个，则这个正多边形的中心角等于正多边形的中心角等于。

.有一边长为有一边长为4的正的正n边形，它的一个内角为边形，它的一个内角为1200，其，其内切圆半径为内切圆半径为.已知正方形的内切圆半径已知正方形的内切圆半径r1，则这个正方形，则这个正方形的外接圆面积的外接圆面积S=.正多边形的正多边形的中心角中心角与与外角外角度数相等度数相等.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的半径之比1:

21.如图：

圆内接正五边形如图：

圆内接正五边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相相交于点交于点P，求，求APB的度数。

的度数。

ABCDEP2:

如图如图,M,N分别是分别是O内接正多边形内接正多边形AB,BC上的点上的点,且且BM=CN.

（1）求图求图中中MON的度数的度数;

（2）图图中中MON=;图图中中MON=;（3）试探究试探究MON的度数与正的度数与正n边形的边数边形的边数n的关系的关系.ABCOABCDOOOABCDEFMNABCMMMNNND正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积34161222284121.填表：

填表：

课堂小结课堂小结1.圆的内切与外接正多边形圆的内切与外接正多边形2.正多边形的内切圆与外接圆正多边形的内切圆与外接圆3.正多边形的中心、半径、中心角、边心距正多边形的中心、半径、中心角、边心距4.利用正多边形与圆的关系进行解题利用正多边形与圆的关系进行解题